撰文|張軒中 科普作家，互聯(lián)網(wǎng)周刊新媒體業(yè)務(wù)部總監(jiān)
2018年9月24日，德國(guó)海德堡，著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士（Michael Atiyah）在演講時(shí)表示，自己已證明了黎曼猜想。
在演講過(guò)程中，阿蒂亞公布了上面這張圖片：利用todd函數(shù)反證法，證明了所有零點(diǎn)都在臨界線上。
在演講開(kāi)始前，他公開(kāi)了這篇研究論文，總共5頁(yè)。在論文中，借助量子力學(xué)中的無(wú)量綱常數(shù)α（fine structure constant），阿蒂亞聲稱解決了復(fù)數(shù)域上的黎曼猜想。
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在這個(gè)論文的引言部分，阿蒂亞說(shuō)他希望理解量子力學(xué)中的無(wú)量綱常數(shù)——精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。
這讓人很震驚，因?yàn)榫?xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)大約等于1/137，刻畫的是電磁相互作用的強(qiáng)度。比如在氫原子中，我們大致可以說(shuō)電子繞原子核的速度是1/137再乘上光速。
這個(gè)東西物理學(xué)家已經(jīng)理解得很深了。隨后，阿蒂亞指出，理解精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)只是最初的動(dòng)機(jī)。在這個(gè)過(guò)程中發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)方法卻可以理解黎曼猜想。
隨后，阿蒂亞談到了黎曼猜想。他說(shuō)在他的證明過(guò)程中，他引入了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做todd函數(shù)。有意思的是，todd是他的導(dǎo)師。
據(jù)阿蒂亞說(shuō)，todd函數(shù)是一個(gè)弱解析函數(shù)……但中間過(guò)程不好理解，這里就先不過(guò)多展開(kāi)了。
最后，在論文的最后，阿蒂亞說(shuō)，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)與黎曼猜想，用他的方法，已經(jīng)被解決了。當(dāng)然他只解決了復(fù)數(shù)域上的黎曼猜想，有理數(shù)域上的黎曼猜想，他還需要研究。另外，隨著黎曼猜想被解決，阿蒂亞認(rèn)為，bsd猜想也有希望被解決。當(dāng)然，現(xiàn)在阿蒂亞認(rèn)為，引力常數(shù)G是一個(gè)更難理解的常數(shù)。
“牛”論文的讀后感
這就是阿蒂亞論文的大概意思。
讀了這個(gè)論文，我倒是很平靜。因?yàn)檎撐奶?，看起?lái)不是那么牛，而且充滿了物理味道。其實(shí)，我還是想知道，黎曼猜想中為什么出現(xiàn)一個(gè)固定的常數(shù)1/2
在黎曼猜想中，我們看到非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都等于1/2，這是一個(gè)讓人很意外的常數(shù)。雖然我們可以從一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)稱關(guān)系中看出為什么會(huì)出現(xiàn)1/2。
1-s=s，所以s=1/2
但是，1/2為什么那么特殊？這個(gè)數(shù)字有什么對(duì)稱性嗎？體現(xiàn)了什么周期性嗎？好像都沒(méi)有。如果我們用物理學(xué)的眼光來(lái)看，我們會(huì)覺(jué)得1/2這個(gè)數(shù)是特殊的。（不是很好理解為什么上帝要特別選擇這個(gè)數(shù)字來(lái)作為黎曼猜想的答案？為什么不選1/3或者1/7？難道是因?yàn)?是第一個(gè)素?cái)?shù)嗎？）在我看來(lái)1/2它不具備那種“廣義協(xié)變性”。
如果在黎曼猜想中，出現(xiàn)的常數(shù)不是1/2，而是圓周率，那會(huì)讓我覺(jué)得這個(gè)事情要優(yōu)美一些?，F(xiàn)在出現(xiàn)的卻是1/2，這無(wú)疑讓人覺(jué)得黎曼猜想不是一個(gè)涉及到宇宙本質(zhì)的猜想，而僅僅是一個(gè)比較粗糙的數(shù)學(xué)半成品。宇宙中可能還存在比黎曼猜想更基礎(chǔ)的更重要的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。
“?！闭撐牡膮⒖嘉墨I(xiàn)
阿蒂亞在證明黎曼猜想的論文中提到了另外一篇參考文獻(xiàn)，這個(gè)參考文獻(xiàn)被叫做“文獻(xiàn)2”，這個(gè)文獻(xiàn)的題目是“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”。
在這個(gè)論文的一開(kāi)頭，阿蒂亞就寫了幾個(gè)字：
“獻(xiàn)給莉莉”
現(xiàn)在還不太清楚這個(gè)莉莉是他女兒還是妻子，或者其他女性。
阿蒂亞證明黎曼猜想的工作，與他一開(kāi)始研究精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)有非常大的關(guān)系。精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)是量子物理學(xué)中的一個(gè)基本的常數(shù)，其數(shù)值大概等于1/137。這個(gè)常數(shù)是比較巧合的，因?yàn)橛钪娴哪挲g大概是137億年。所以，如果不考慮誤差，那么137這個(gè)數(shù)字就是很特殊的。
阿蒂亞說(shuō)，以前有一個(gè)叫愛(ài)丁頓的人，注意到136=8+128
其中8等于2的3次方，而128是2的7次方。而這些數(shù)字與所謂的克利福德代數(shù)有關(guān)。著名物理學(xué)家、引力波專家陳雁北認(rèn)為，這只是把數(shù)字寫成了2進(jìn)制，其實(shí)也不能說(shuō)明什么。但是，當(dāng)時(shí)的愛(ài)丁頓只能看到136，現(xiàn)在還必須加上1，才能得到137。
隨后，阿蒂亞給出了他的理由，為什么137會(huì)出現(xiàn)。
但是，問(wèn)題來(lái)了，阿蒂亞給出的這個(gè)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)在物理學(xué)家眼里其實(shí)不是常數(shù)，因?yàn)楦鶕?jù)量子場(chǎng)論的最新研究成果，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)其實(shí)刻畫的是電磁相互作用的強(qiáng)度，物理學(xué)家稱之為“耦合常數(shù)”。但耦合常數(shù)其實(shí)不是真的常數(shù)，它是會(huì)跑動(dòng)的——也就是會(huì)隨著時(shí)間變化。這就叫做running的常數(shù)。
所以，大多數(shù)物理學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)家阿蒂亞試圖證明1/137是一個(gè)常數(shù)覺(jué)得很尷尬，啞然失笑。
確實(shí)，根據(jù)所謂的重整化群方程，耦合常數(shù)是跑動(dòng)的，不是真的常數(shù)。在物理上，這可以被看成是隨著能量的增加，相互作用強(qiáng)度的改變。
阿蒂亞是不管物理學(xué)家如何想，因?yàn)樽鳛閿?shù)學(xué)家，他有他自己的想法。阿蒂亞認(rèn)為，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)應(yīng)該像圓周率一樣，具有同樣的數(shù)學(xué)上的意義。
在阿蒂亞的“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”的論文中，阿蒂亞寫到，在18世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了圓周率與歐拉自然常數(shù)以及虛數(shù)單位i之間存在一個(gè)關(guān)系。所以，他希望找到歐拉的這個(gè)關(guān)系在四元數(shù)領(lǐng)域到底有沒(méi)有類似的關(guān)系。
四元數(shù)是當(dāng)時(shí)的英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)現(xiàn)的。這是阿蒂亞的另外一個(gè)基本的思路。他看來(lái)時(shí)要發(fā)展四元數(shù)的歐拉公式，然后對(duì)精細(xì)機(jī)構(gòu)常數(shù)的來(lái)歷有所說(shuō)明。
隨后，阿蒂亞提到了他在1950年代的合作者希茲布魯赫的工作。在那個(gè)時(shí)代，希茲布魯赫發(fā)展了關(guān)于todd虧格的理論。這個(gè)理論可以把幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)聯(lián)系起來(lái)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，阿蒂亞與辛格等人發(fā)展了指標(biāo)定理，而這個(gè)定理對(duì)數(shù)學(xué)物理學(xué)家很有用。
所以，在“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”這個(gè)論文中，阿蒂亞用數(shù)學(xué)解釋了137這個(gè)數(shù)字的來(lái)歷。而且他把這個(gè)常數(shù)與圓周率以及歐拉的常數(shù)聯(lián)系在了一起。
他在這個(gè)時(shí)候提到了重整化，看起來(lái)他還是很懂物理的。他說(shuō)，重整化其實(shí)刻畫的就是耦合常數(shù)隨著能量的改變而改變的過(guò)程。他說(shuō)，物理學(xué)家是用費(fèi)曼圖這類工具來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題的，而且物理學(xué)家的做法是依賴于實(shí)驗(yàn)的。但阿蒂亞認(rèn)為，他自己的做法是數(shù)學(xué)化的。
隨后，阿蒂亞開(kāi)始了他用數(shù)學(xué)化的手段推導(dǎo)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的過(guò)程。
在這個(gè)過(guò)程中，阿蒂亞令人震驚得提到了歐拉的7橋問(wèn)題。隨后他又提到了希茲布魯赫的工作馮紐曼的工作。
在這個(gè)文章中，結(jié)構(gòu)太過(guò)龐雜，他還提到了他的合作者鮑特的工作。這看起來(lái)很像是他人生的回憶錄。在這里他得到了結(jié)論：
137=1+8+128
在這里1就是2的0次方。所以正如陳雁北說(shuō)的那樣，他是把137寫成了2進(jìn)制。
黎曼猜想是怎么回事呢？
黎曼猜想是黎曼在1859年提出來(lái)的一個(gè)猜想，說(shuō)白了就是與整數(shù)的求和有關(guān)。比如1+2+3+4+5+……一直加下去等于多少？高斯小的時(shí)候，能一直加到100，說(shuō)答案是5050。
但是，黎曼不是這樣看這個(gè)問(wèn)題的。
黎曼把這個(gè)求和擴(kuò)展了，他定義了一個(gè)求和f（s），其中s可以是任意復(fù)數(shù)。而高斯做的那個(gè)問(wèn)題，相當(dāng)于黎曼的一個(gè)特例，也就是f（-1）。特別要強(qiáng)調(diào)的是，f（1）是發(fā)散的，沒(méi)有定義。其實(shí)就是解方程，也就是讓f（s）=0，然后黎曼用一種很神秘的數(shù)學(xué)技巧解了這個(gè)方程，他只解出了不超過(guò)10個(gè)解，然后一看這寥寥無(wú)幾的解，他發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)解全是復(fù)數(shù)，但復(fù)數(shù)的實(shí)部全是1/2。于是，黎曼猜想這個(gè)方程的解的實(shí)部都是1/2。打個(gè)比方就是，1859年，黎曼看到3個(gè)中國(guó)女人全是裹腳的，她猜想所有中國(guó)女人都裹腳。
這個(gè)猜想太難，一直沒(méi)有被解決。
阿蒂亞爵士其人其事
Atiyah做數(shù)學(xué)喜歡與別人合作，他有很多合作者。他的三個(gè)主要的合作者是：
1、Raoul Bot，他們?cè)谝黄鸢l(fā)展了Atiyah–Bott不動(dòng)點(diǎn)定理。Raoul Bot是一個(gè)工程師出身的數(shù)學(xué)家，有著名的“Bot周期律”傳世。
2、Isadore M。Singer，他們一起發(fā)展了Atiyah–Singer指標(biāo)定理。這個(gè)定理認(rèn)為，一個(gè)微分流形上的微分算子的解空間可以揭示出流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
3、Friedrich Hirzebruch，他們一起發(fā)展了拓?fù)銴理論。
這三個(gè)人都是阿蒂亞1955年在普林斯頓高等研究院的那一年認(rèn)識(shí)的。所以，現(xiàn)在如果阿蒂亞是一個(gè)人證明黎曼猜想，那么這看起來(lái)還是比較懸的一件事情。因?yàn)槔杪孪牒茈y，而看起來(lái)Atiyah并不太擅長(zhǎng)一個(gè)人做研究。
Atiyah1966年獲得數(shù)學(xué)的最高獎(jiǎng)——Fields獎(jiǎng)金，當(dāng)時(shí)他才37歲。得過(guò)這個(gè)獎(jiǎng)的，華人只有丘成桐與陶哲軒。
后來(lái)他在英國(guó)的劍橋大學(xué)做數(shù)學(xué)教授，他的學(xué)生中也有很牛的人，比如1983年的Simon Donaldson，也是因?yàn)橛昧孔訄?chǎng)論的方法證明了四維流形上有無(wú)窮多個(gè)微分結(jié)構(gòu)獲得1986年的Fields獎(jiǎng)金。
黎曼猜想如果真的被阿蒂亞爵士證明，那么阿蒂亞爵士將成為繼高斯黎曼之后最偉大的數(shù)學(xué)家之一，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)界最難的問(wèn)題，與素?cái)?shù)有關(guān)，一旦被破解，也許我們地球上所有基于RSA密碼的電腦系統(tǒng)都將變得不安全。
總的說(shuō)來(lái)，阿蒂亞的文章非常龐雜，需要很長(zhǎng)的時(shí)間才可以看明白他的基本意思。但毫無(wú)疑問(wèn)，這個(gè)文章解釋了137的來(lái)歷。隨后，按照類似的方法，阿蒂亞證明了黎曼猜想。
雖然我們現(xiàn)在不能完全確認(rèn)阿蒂亞對(duì)黎曼猜想的證明是沒(méi)有硬傷的。但他在89歲高齡的這一場(chǎng)戰(zhàn)斗看起來(lái)充滿了畫面感。
我想，歷史會(huì)記得他的工作。
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