問(wèn)任何一個(gè)物理愛(ài)好者，什么是量子力學(xué)？他們很可能會(huì)提到“薛定諤的貓”。接下來(lái)呢？則可能是薛定諤方程。但是這個(gè)方程究竟是什么，為什么它如此重要，以至于任何一個(gè)量子物理學(xué)家都會(huì)把它記在腦海中？1 月 7 日，在第十八期《張朝陽(yáng)的物理課》上，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽(yáng)在直播間再現(xiàn)薛定諤方程奇妙的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步揭秘量子力學(xué)的核心理論。
復(fù)習(xí)經(jīng)典物理波動(dòng)方程 回顧德布羅意物質(zhì)波公式
在直播間里，張朝陽(yáng)帶領(lǐng)大家簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)前兩節(jié)課的要點(diǎn)，并重點(diǎn)回顧經(jīng)典力學(xué)中描述粒子和波的方式。在經(jīng)典物理中，力的作用導(dǎo)致粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，可以用牛頓第二定律來(lái)描述這個(gè)改變過(guò)程。粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由位置和速度來(lái)表征，力的作用會(huì)改變粒子的速度，從而改變其能量。而在量子力學(xué)中，粒子由波函數(shù)來(lái)描述。在此，張朝陽(yáng)先向網(wǎng)友介紹了經(jīng)典力學(xué)中對(duì)波的描述方式。以一維波為例，在經(jīng)典力學(xué)中，波由相應(yīng)的波動(dòng)方程來(lái)描述：
上述方程的解具有如下形式：
它示向左傳播和向右傳播的波的疊加。以平面波為例，描述平面波的 2 個(gè)主要參數(shù)為圓頻率 ω=2πf 和波數(shù) k=2π/λ。其中 λ 為波長(zhǎng)，f 為頻率。
▲ 張朝陽(yáng)介紹平面波
張朝陽(yáng)帶著網(wǎng)友回顧德布羅意波的一些關(guān)系式：
它們?cè)诮酉聛?lái)薛定諤方程的引入中將會(huì)用到。
如何猜出薛定諤方程？ 求導(dǎo)和對(duì)照是關(guān)鍵
“我們努力地猜，當(dāng)年薛定諤是怎么想到這個(gè)方程的？他看到德布羅意的論文之后，意識(shí)到電子應(yīng)該用波來(lái)描述，于是把電磁波的想法轉(zhuǎn)移過(guò)來(lái)，猜出了這個(gè)方程，最后居然是對(duì)的。”張朝陽(yáng)像說(shuō)故事一樣引出今天的主題。
德布羅意提出物質(zhì)波的時(shí)候只是給出了波長(zhǎng)和動(dòng)量的關(guān)系，但是并沒(méi)有推導(dǎo)物質(zhì)波如何演化。那么，薛定諤是如何猜出這個(gè)方程的呢？直播過(guò)程中，張朝陽(yáng)做了詳細(xì)生動(dòng)的介紹。
他在白板上寫(xiě)下光電場(chǎng)分量的平面波形式：
他解釋?zhuān)骸敖Y(jié)合德布羅意公式，可以將其中的指數(shù)部分改寫(xiě)為”：
這就是薛定諤猜測(cè)的物質(zhì)波的平面波形式。出于簡(jiǎn)潔的需求，張朝陽(yáng)先考慮了一維自由粒子的情況。其能量和動(dòng)量滿(mǎn)足如下關(guān)系：
它在量子力學(xué)下是否依然滿(mǎn)足呢？薛定諤對(duì)此作出了勇敢的假設(shè)，認(rèn)為這個(gè)關(guān)系在非相對(duì)論量子力學(xué)框架內(nèi)依然成立。那怎樣在波函數(shù)上體現(xiàn)出這個(gè)關(guān)系呢？這就需要先將物質(zhì)平面波中的動(dòng)量和能量“取”出來(lái)。
至此，張朝陽(yáng)開(kāi)始介紹求導(dǎo)得出動(dòng)量和能量的方法。在平面波的式子中，動(dòng)量和能量都出現(xiàn)在指數(shù)上，但是只要我們對(duì)位置 x 和時(shí)間 t 求偏導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)的動(dòng)量和能量不就下來(lái)了嗎？于是，張朝陽(yáng)又展示了如下推導(dǎo)：
組合在一起就得到了有關(guān)這個(gè)平面波函數(shù)的方程。張朝陽(yáng)強(qiáng)調(diào)，這個(gè)方程是線(xiàn)性偏微分方程，因此，它的各個(gè)解的線(xiàn)性組合，依然是原方程的解，這從形式上也符合量子力學(xué)的疊加原理。既然這個(gè)方程對(duì)平面波成立，而一般的波都可以看作是平面波的組合，那么這個(gè)方程對(duì)一般的自由物質(zhì)波也成立。這就得到了一維自由粒子的波動(dòng)方程：
此時(shí)，張朝陽(yáng)順勢(shì)介紹，當(dāng)存在外部勢(shì)場(chǎng)時(shí)，能量將不僅包含粒子動(dòng)能，還應(yīng)當(dāng)包含勢(shì)能：
其中 U (x,t) 是勢(shì)能函數(shù)。結(jié)合前面的推導(dǎo)，就得到了著名的一維薛定諤方程：
（張朝陽(yáng)在直播中介紹薛定諤方程的形式）
張朝陽(yáng)介紹，薛定諤方程不是推導(dǎo)出來(lái)的，而是猜測(cè)出來(lái)的。它是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程，具有公設(shè)性質(zhì)。只有根據(jù)薛定諤方程計(jì)算出結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，我們才能說(shuō)這個(gè)理論是對(duì)的。他還解釋?zhuān)Χㄖ@方程的左邊是對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)，而右邊是對(duì)空間的二次導(dǎo)數(shù)，這一點(diǎn)很關(guān)鍵。且考慮到因子 i 的存在，波函數(shù)不像電磁場(chǎng)那樣是實(shí)函數(shù)，而是復(fù)函數(shù)。
統(tǒng)計(jì)詮釋和波包速度：波函數(shù)的物理意義
不過(guò)，即使薛定諤猜出了波動(dòng)方程，也不知道這個(gè)波的物理意義是什么。張朝陽(yáng)由此引入量子力學(xué)的哥本哈根詮釋?zhuān)簿褪撬^的統(tǒng)計(jì)詮釋。
張朝陽(yáng)介紹，“波函數(shù)的模方，表示的是粒子出現(xiàn)在相應(yīng)位置的概率密度，根據(jù)這個(gè)概率密度，我們只需要對(duì)特定區(qū)域積分，就可以得到在該區(qū)域上發(fā)現(xiàn)粒子的概率。當(dāng)我們得到粒子的波函數(shù)時(shí)，我們并不知道粒子具體在哪，我們得到的信息僅僅是測(cè)量后粒子在各位置出現(xiàn)的概率?！彼€進(jìn)一步介紹波函數(shù)歸一化的概念。具體地來(lái)說(shuō)，因?yàn)檎麄€(gè)空間上發(fā)現(xiàn)粒子的概率是 1，于是波函數(shù)的模方在整個(gè)空間上的積分就等于 1。
此外，張朝陽(yáng)還提到矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的關(guān)系，他說(shuō)，“它們就像一座高山上的兩條路徑”。換言之，矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)都是描述量子力學(xué)的正確方法，是相互等價(jià)的。
張朝陽(yáng)再次演示，在量子力學(xué)中，粒子的速度不再等于 ω/k，而應(yīng)該等于相應(yīng)的波的群速度 dω/dk。根據(jù)張朝陽(yáng)的計(jì)算，ω/k 實(shí)際上等于 v / 2，為粒子速度的一半。如果使用群速度 dω/dk 來(lái)計(jì)算，則得到了正確的速度 v。他解釋道，這是因?yàn)榱Ｗ釉趯?shí)際觀測(cè)中以波包的形式存在，群速度是描述整個(gè)波包的移動(dòng)速度的，因此正好對(duì)應(yīng)于粒子的速度；而 ω/k 是等相位點(diǎn)的移動(dòng)速度，不代表粒子的運(yùn)動(dòng)速度。
▲ 張朝陽(yáng)介紹波包的群速度
“我們今天理解了薛定諤是怎么猜到薛定諤方程的，也知道描述具有波粒二象性的微觀粒子的波函數(shù)。后面，我們只要解這個(gè)方程，就能把天下所有事情給它算出來(lái)?！敝辈ノ猜?，他回顧這一課的主要內(nèi)容時(shí)說(shuō)。同時(shí)他鼓勵(lì)網(wǎng)友，量子力學(xué)很難懂，“會(huì)用很多堂課來(lái)講?！睋?jù)了解，下一講他將開(kāi)始解薛定諤方程，來(lái)解釋氫的光譜，求一些波函數(shù)的定解，以及薛定諤方程的各種應(yīng)用。
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