無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程怎么解？1 月 9 日 12 時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第十九期開(kāi)播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，仔細(xì)分析了相速度與群速度的差別，闡明群速度才是傳遞能量與信息的速度。并利用分離變量法，得到定態(tài)薛定諤方程，又以無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題為例，具體解出分立的能級(jí)和能量本征態(tài)波函數(shù)。最后引入并賦予傅立葉變換物理意義，再次探討不確定性原理，一窺量子力學(xué)世界。
與往期直播逐步推導(dǎo)公式不同，一開(kāi)場(chǎng)張朝陽(yáng)直奔主題，在“直播白板”上寫(xiě)下薛定諤方程?！八喈?dāng)于微觀世界的牛頓定律?！睆埑?yáng)說(shuō)，“數(shù)學(xué)家要窮盡所有的可能性，但搞物理的人，會(huì)去猜幾種特別的情況，所以今天我們來(lái)猜猜它的解?！彼瑫r(shí)也提醒網(wǎng)友，“學(xué)習(xí)量子力學(xué)，需要掌握微積分、線性代數(shù)，傅立葉變換等基礎(chǔ)知識(shí)?！边@些知識(shí)也在講課中盡數(shù)用到。
利用分離變量法求解 得到定態(tài)薛定諤方程
張朝陽(yáng)先是帶著網(wǎng)友復(fù)習(xí)上節(jié)課講到的波的速度的概念，探討了相速度與群速度。隨后，他開(kāi)始通過(guò)分離變量法解薛定諤方程。方程里的波函數(shù)既含有對(duì)時(shí)間 t 的偏導(dǎo)，也有對(duì)位置 x 的偏導(dǎo)，采取分離變量法，將時(shí)間 t 與位置 x 分開(kāi)，也就是假設(shè)波函數(shù)具有如下的形式：
代入薛定諤方程中，便可將含有位置 x 的項(xiàng)與含有時(shí)間 t 的項(xiàng)，分開(kāi)到等號(hào)兩邊，即：
張朝陽(yáng)介紹，由于這個(gè)式子對(duì)任意的位置 x 與時(shí)間 t 都成立，所以等號(hào)左邊（或右邊）是一個(gè)與位置 x 和時(shí)間 t 都無(wú)關(guān)的常數(shù)，我們假設(shè)這個(gè)常數(shù)為 E，則可將原來(lái)復(fù)雜的二元微分方程分解為兩個(gè)一元微分方程：
“這就大幅降低了解方程的難度。若再將其化簡(jiǎn)一下，即可得到定態(tài)薛定諤方程?！睆埑?yáng)邊寫(xiě)邊說(shuō)。
（張朝陽(yáng)在“直播白板”上推導(dǎo)定態(tài)薛定諤方程）
探索無(wú)限深勢(shì)阱 得到分立的能級(jí)
為具體展現(xiàn)求解薛定諤方程的完整過(guò)程，張朝陽(yáng)舉了無(wú)限深勢(shì)阱的例子。他介紹說(shuō)，當(dāng)位置 x 在 0 到 a 之間，勢(shì)能 U（x）為零，而其它地方勢(shì)能無(wú)窮大，所以波函數(shù)在位置 0 到 a 區(qū)域之外都為零，而由于波函數(shù)又有連續(xù)的性質(zhì)，所以波函數(shù)在 x=0 與 x=a 時(shí)也為零。于是，當(dāng) x 在 0 到 a 之間時(shí)，可寫(xiě)出其定態(tài)薛定諤方程：
對(duì)應(yīng)的邊界條件為：
這個(gè)微分方程是非常經(jīng)典而容易解的，張朝陽(yáng)解出這個(gè)一元微分方程，便得到能級(jí) E 的表達(dá)式：
與對(duì)應(yīng)的能量本征態(tài)波函數(shù)：
其中，n 取正整數(shù)。
（張朝陽(yáng)在“直播白板”上解無(wú)限深勢(shì)阱的能級(jí)）
“與經(jīng)典理論的連續(xù)性有很大不同，可以看到能量 E 是分立的。”張朝陽(yáng)總結(jié)。
賦予傅立葉變換物理意義 探討不確定性原理
在隨后的直播中，張朝陽(yáng)還介紹了數(shù)學(xué)的傅立葉變換與量子力學(xué)表象之間的關(guān)系。“動(dòng)量在量子力學(xué)里其實(shí)是個(gè)算符。”他在白板上逐步推導(dǎo)：
“這跟量子力學(xué)不確定性原理是相符的?！睆埑?yáng)說(shuō)。
“我們今天介紹了薛定諤方程在一個(gè)簡(jiǎn)單情形下的應(yīng)用。未來(lái)將繼續(xù)講解薛定諤方程，求解氫原子問(wèn)題。”直播尾聲，張朝陽(yáng)告訴網(wǎng)友，“下一堂課，將對(duì)量子力學(xué)做進(jìn)一步的探討。”
自 11 月 5 日至今，《張朝陽(yáng)的物理課》已直播十八期。在第一、二課中，張朝陽(yáng)科普了“力”和“速度”，算出飛船和空間站每日繞地飛行圈數(shù)；第三、四課和“振動(dòng)”相關(guān)，科普可見(jiàn)光的基本知識(shí)。第五、六課引發(fā)了關(guān)于音速和溫度的大討論。在第七、八、九課重溫經(jīng)典力學(xué)的“兩朵烏云”；第十、十一課重點(diǎn)回顧黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第十二、十三、十四課嘗試進(jìn)入愛(ài)因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E=mc2”，并論證鐘慢尺縮效應(yīng)。第十五課講解了原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變。第十六課開(kāi)始進(jìn)入量子力學(xué)，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性，以及薛定諤方程等。
從這十多期的物理課可以看出，《張朝陽(yáng)的物理課》的直播風(fēng)格獨(dú)樹(shù)一幟 —— 通過(guò)觀察日常生活現(xiàn)象、用網(wǎng)友最熟悉的話題來(lái)提升興趣，再以公式推導(dǎo)的方式解釋其背后的物理原理，“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，進(jìn)而反過(guò)來(lái)解決生活中的類(lèi)似問(wèn)題。
張朝陽(yáng)認(rèn)為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅(qū)使下，了解自然界的奧秘，了解我們?cè)谶@個(gè)世界生存的道理”。在后續(xù)課程中，他還將繼續(xù)以這種直播風(fēng)格解釋生活中常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，讓普通人能夠聽(tīng)懂、專(zhuān)業(yè)人士也能認(rèn)可，激發(fā)科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。該課程于每周周五、周日 12 時(shí)在搜狐視頻直播。
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