1 月 21 日 12 時(shí)，《張朝陽的物理課》第二十一期開播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，繼續(xù)講解氫原子。為方便求解氫原子薛定諤方程，張朝陽將定義在直角坐標(biāo)系上的拉普拉斯算符變換到球坐標(biāo)系，接著討論角動(dòng)量算符的定義與性質(zhì)，尤其是角動(dòng)量算符之間的對(duì)易關(guān)系，最后將哈密頓算符分解為徑向動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符，實(shí)現(xiàn)徑向與角向的分離，最終得到完備的算符集。后續(xù)只要解出其共同本征函數(shù)就能解出氫原子的薛定諤方程。
“我們目前正處在研究量子力學(xué)的階段，我還是想把解決氫原子問題作為最近的課題?！睆埑枏?qiáng)調(diào)課程重點(diǎn)，“今天繼續(xù)講氫原子。氫是宇宙中最重要的元素，了解氫原子，就會(huì)了解很多重要的分子，比如水。氫原子是一個(gè)三維系統(tǒng)，比一維勢(shì)阱復(fù)雜得多。”
從直角坐標(biāo)到球坐標(biāo)：拉普拉斯算符大變身
直播課開始，張朝陽先帶網(wǎng)友們一起復(fù)習(xí)二體系統(tǒng)定態(tài)薛定諤方程，將其分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分與相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分，前者容易求解，且與氫原子結(jié)構(gòu)無關(guān)；而相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分的薛定諤方程，則是討論的重點(diǎn)。
張朝陽介紹，相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分的薛定諤方程中的勢(shì)能項(xiàng)，只與電子和質(zhì)子之間的相對(duì)距離有關(guān)，與他們相對(duì)位置的方向無關(guān)，也就是說，勢(shì)能只與徑向部分有關(guān)，而與角向部分無關(guān)。因此可以考慮把相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能項(xiàng)也分解成徑向與角向兩個(gè)部分。然而在此前，動(dòng)能項(xiàng)中的拉普拉斯算符是定義在直角坐標(biāo)系當(dāng)中的：
若將這個(gè)拉普拉斯算符也分解為徑向部分和角向部分，則需要先求出它在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式?！案鶕?jù)球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的變換關(guān)系，可以得到球坐標(biāo)系中的導(dǎo)數(shù)算符?！睆埑栔v到。
他繼續(xù)推導(dǎo)，與直角坐標(biāo)系不同，球坐標(biāo)系的單位基矢量與坐標(biāo)有關(guān)。他具體計(jì)算了這三個(gè)單位基矢量關(guān)于三個(gè)球坐標(biāo)的各種偏導(dǎo)，并最終得到拉普拉斯算符在球坐標(biāo)系下的形式：
從經(jīng)典矢量到算符表示：角動(dòng)量算符及其對(duì)易關(guān)系
此外，為了給大家介紹角動(dòng)量的概念，張朝陽回到經(jīng)典物理，計(jì)算了單擺的運(yùn)動(dòng)方程，并引入角動(dòng)量的定義：
在量子力學(xué)中，直接把對(duì)應(yīng)的動(dòng)量變成動(dòng)量算符即可得到角動(dòng)量算符：
在此定義的基礎(chǔ)上，張朝陽帶著網(wǎng)友開始討論角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，并計(jì)算角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)系下的表示。他利用坐標(biāo)與動(dòng)量算符的正則對(duì)易關(guān)系、算符的運(yùn)算規(guī)則，推導(dǎo)出角動(dòng)量算符不同分量之間的對(duì)易關(guān)系。
▲ 角動(dòng)量算符分量之間的對(duì)易關(guān)系
據(jù)此，可以進(jìn)一步證明角動(dòng)量算符的平方與角動(dòng)量算符的 z 分量對(duì)易：
哈密頓量變形式 徑向角向相分離；H、L2、Lz，構(gòu)成完備算符集
張朝陽繼續(xù)講解，前面已經(jīng)介紹了球坐標(biāo)系、導(dǎo)數(shù)算符在球坐標(biāo)系下的表示，那么，根據(jù)角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符的定義，就可以將角動(dòng)量算符也用球坐標(biāo)系表示出來：
并逐步求得角動(dòng)量算符的平方：
他還提醒網(wǎng)友，對(duì)比此算符與拉普拉斯算符在球坐標(biāo)系的表示，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中關(guān)于角度的部分可以用角動(dòng)量算符的平方表示出來：
“將拉普拉斯算符代回哈密頓算符的動(dòng)能項(xiàng)當(dāng)中，就可以將哈密頓算符用角動(dòng)量算符表示出來?！睆埑柦視宰罱K答案。
▲ 哈密頓算符的徑向與角向分離
通過推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，角向部分被全部吸收到角動(dòng)量算符中，哈密頓量的徑向與角向也因此被分離?！坝捎诮莿?dòng)量與 r 無關(guān)，根據(jù)上述形式的哈密頓量，很容易就能證明角動(dòng)量算符的平方與哈密頓算符對(duì)易。另外前面也證明了角動(dòng)量算符的平方與角動(dòng)量算符的 z 分量對(duì)易。由此，哈密頓算符、角動(dòng)量算符的平方、角動(dòng)量算符的 z 分量，這 3 個(gè)算符就構(gòu)成了一組完備的相互對(duì)易的算符集，”張朝陽說，“后續(xù)只要解出其共同本征函數(shù)就能解出氫原子的定態(tài)薛定諤方程?！?/p>
“氫原子就是太復(fù)雜，我們不得不用到什么就學(xué)什么?！敝辈ノ猜?，他再次鼓勵(lì)網(wǎng)友?！拔锢韺W(xué)就是要一步步尋找最簡化的方案。在這個(gè)過程中，我們需要什么知識(shí)，就學(xué)什么知識(shí)。”
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