1 月 23 日 12 時(shí)，《張朝陽的物理課》第二十二期開播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，繼續(xù)討論氫原子問題。上節(jié)課已經(jīng)將氫原子定態(tài)薛定諤方程分為徑向部分與角向部分，這節(jié)課主要求解角向部分的薛定諤方程。
為了尋求角動(dòng)量平方及 z 方向角動(dòng)量的共同本征函數(shù)，本節(jié)物理課利用分離變量法，將角向部分的 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)部分獨(dú)立出來，剩余部分得到連帶勒讓德方程，求解連帶勒讓德方程，并把結(jié)果歸一化可得到最終的球諧函數(shù)，最終解得了氫原子波函數(shù)的角向部分，在求解的過程中還發(fā)現(xiàn)了量子力學(xué)特有的分立性。
“20 多堂課聽下來，大家都有了一定的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在你們都成了‘高年級’學(xué)生，我會講的更快一點(diǎn)?！睆埑栂蛑辈ラg里的網(wǎng)友問好，并在小白板上寫下：“氫原子問題繼續(xù)?！睆牡谑陂_始，張朝陽在一直討論量子力學(xué)?！霸诹孔恿W(xué)里面，我們要做什么？”他講解道，“找到盡可能多的算符，這些算符是可對易的，可以描述系統(tǒng)的態(tài)。在定態(tài)的薛定諤方程中，尋找一組可對易的哈密頓算符。要解決氫原子問題，就要做到這些?！?/p>
求解波函數(shù)角向部分 引出連帶勒讓德方程
張朝陽首先回顧上節(jié)課，將氫原子相對運(yùn)動(dòng)部分的哈密頓算符的徑向與角向分開，哈密頓算符（H）的角向部分全部吸收到角動(dòng)量算符的平方之中，還證明了角動(dòng)量算符的平方與哈密頓算符對易?，F(xiàn)在將波函數(shù)也分解為徑向與角向部分：
并且要求此角向部分的波函數(shù)是角動(dòng)量算符平方的本征函數(shù)，具體的本征方程為：
由于哈密頓量已經(jīng)被分解為徑向與角向部分，那么將上述分離變量之后的波函數(shù)代入到氫原子相對運(yùn)動(dòng)部分的定態(tài)薛定諤方程中，即可將其角向部分分離出去，得出徑向定態(tài)薛定諤方程：
張朝陽說，這個(gè)徑向方程與角度完全無關(guān)，留到下節(jié)課來處理。這節(jié)課要把能完成上述薛定諤方程分解的角動(dòng)量算符平方的本征態(tài)給具體求解出來。
此外，上節(jié)課也證明了角動(dòng)量算符的 z 分量與角動(dòng)量算符的平方是對易的，并且角動(dòng)量算符的 z 分量在球坐標(biāo)系下有非常簡單的形式，只與球坐標(biāo)系的一個(gè)角度有關(guān)：
那么又可以考慮把角向部分的波函數(shù)繼續(xù)分解為如下形式：
其中關(guān)于角度 φ 的波函數(shù)是 Lz 的本征函數(shù)，對應(yīng)的本征方程是：
由于角動(dòng)量算符的 z 分量在球坐標(biāo)系下的表示非常簡單，其本征函數(shù)（未歸一化）也非常容易求得為：
形式上看起來像平面波，但又跟平面波不同，因?yàn)?，在球坐?biāo)系中，φ=2π 時(shí)相當(dāng)于 φ=0，而量子力學(xué)的波函數(shù)得是連續(xù)且單值的，所以有邊界條件：
“由此，求得 m 只能取整數(shù)，不能是連續(xù)的，這再次體現(xiàn)了量子力學(xué)的分立性。”張朝陽指出。得到了角動(dòng)量 z 分量算符的本征函數(shù)后，角向部分的波函數(shù)就可以進(jìn)一步設(shè)為：
代入到描寫角動(dòng)量平方算符的本征方程中，即可得到連帶勒讓德方程：
（從角向部分薛定諤方程到連帶勒讓德方程）
得到 L2 和 Lz 的共同本征函數(shù) 介紹球諧函數(shù)及其圖像
查閱數(shù)學(xué)物理工具書，可以馬上得到勒讓德方程的解，從而得到角動(dòng)量平方及 z 方向角動(dòng)量的共同本征函數(shù)。但為了看清角動(dòng)量是如何分立化的，張朝陽決定把 m=0 時(shí)的勒讓德方程解出來給大家看看。他先把方程的解表示成泰勒級數(shù)：
然后代入 m=0 時(shí)的勒讓德方程中，可以得到泰勒級數(shù)的系數(shù)的遞推關(guān)系：
他解釋，“這樣可以證明，若 l 不取正整數(shù)的話，這個(gè)泰勒級數(shù)在 x=1 時(shí)不收斂，得不到方程的解，所以 l 只能取正整數(shù)，此時(shí)的泰勒級數(shù)是有限項(xiàng)的多項(xiàng)式，這樣的解稱為勒讓德多項(xiàng)式。”
至于 m 不為零時(shí)的解，也可以通過對勒讓德多項(xiàng)式多次求導(dǎo)得出連帶勒讓德多項(xiàng)式：
“m 不等于零時(shí)，l 也是整數(shù)。不過，你們誰來幫我證明一下？”張朝陽給直播間里的網(wǎng)友布置了一道有趣的作業(yè)。
隨后，他進(jìn)一步推導(dǎo)，若把所求得的角動(dòng)量算符的 z 分量的本征函數(shù)與角動(dòng)量算符的平方的本征函數(shù)代入回最初分離變量的角向波函數(shù)中，并進(jìn)行歸一化，由于連帶勒讓德多項(xiàng)式是相互正交的，就能得到角動(dòng)量算符的 z 分量和角動(dòng)量算符的平方的正交歸一的共同本征函數(shù)，這個(gè)波函數(shù)同時(shí)也是特殊函數(shù)球諧函數(shù)：
至此，張朝陽已成功解得氫原子波函數(shù)的角向部分，用分立的量子數(shù) m 與 l 描述，具體滿足的條件是：
為了給大家一個(gè)比較直觀的物理圖像，他還舉出幾個(gè)常見的氫原子角向部分波函數(shù)的例子：
（幾個(gè)氫原子角向部分波函數(shù)的例子與圖像）
直播尾聲，張朝陽告訴網(wǎng)友，“今天終于觸摸到氫原子的波函數(shù)在角向的分布，講到 l 和 m 的關(guān)系，學(xué)到了量子化，解開了角向方程。還有一步，下一課講徑向方程。這樣就解出氫原子的全貌?！?/p>
自 11 月 5 日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十余期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數(shù)；第三、四課和“振動(dòng)”相關(guān)，科普可見光的基本知識；第五、六課引發(fā)了關(guān)于音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經(jīng)典物理學(xué)的兩朵烏云。
第十、十一課重點(diǎn)回顧黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第十二、十三、十四課嘗試進(jìn)入愛因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E=mc2”，并論證鐘慢尺縮效應(yīng)；第十五課講解了原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變；第十六課開始進(jìn)入量子力學(xué)，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。
從二十余期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風(fēng)格獨(dú)樹一幟 —— 通過觀察日常生活現(xiàn)象、用網(wǎng)友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導(dǎo)的方式解釋其背后的物理原理，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，進(jìn)而反過來解決生活中的類似問題。
張朝陽認(rèn)為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅(qū)使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個(gè)世界生存的道理”。在后續(xù)課程中，他還將繼續(xù)以這種直播風(fēng)格解釋生活中常見的物理現(xiàn)象，讓普通人能夠聽懂、專業(yè)人士也能認(rèn)可，激發(fā)科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。該課程于每周周五、周日 12 時(shí)在搜狐視頻直播。同時(shí)，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視頻回放。
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