1 月 28 日 12 時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第二十三期開(kāi)播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，繼續(xù)討論氫原子問(wèn)題。他先回顧三個(gè)有關(guān)氫原子的重要算符，復(fù)習(xí)上次波函數(shù)角向部分的結(jié)果，補(bǔ)充了量子疊加概念，進(jìn)而開(kāi)始對(duì)薛定諤方程具體地求解波函數(shù)的徑向部分。
張朝陽(yáng)通過(guò)分析 r 趨于 0 與 r 趨于無(wú)窮的情況，猜測(cè)徑向波函數(shù)解的大致形式，將氫原子徑向薛定諤方程變形并化簡(jiǎn)。將解表示為級(jí)數(shù)展開(kāi)形式，推導(dǎo)出其各項(xiàng)系數(shù)的遞推關(guān)系，并求解出氫原子量子化的能級(jí)和徑向波函數(shù)。通過(guò)分析電子的概率分布，尋找 r 方向上的極大值，得到氫原子半徑。
分析 r 趨于 0 與無(wú)窮的漸進(jìn)行為 化簡(jiǎn)與變形氫原子徑向薛定諤方程
“我們跟氫原子較勁很長(zhǎng)時(shí)間了?！睆埑?yáng)在直播間開(kāi)場(chǎng)說(shuō)到，“宇宙中第一個(gè)元素就是氫。知道了氫，便知道了天下，包括了解我們自己，每個(gè)人身上有多少碳水化合物？”
在開(kāi)始講解氫原子徑向波函數(shù)之前，張朝陽(yáng)復(fù)習(xí)了上次角向波函數(shù)的結(jié)果，并補(bǔ)充說(shuō)明利用量子疊加的概念，可得出沿不同方向旋轉(zhuǎn)的角向波函數(shù)，完結(jié)了關(guān)于氫原子角向的所有討論。這節(jié)課是求解氫原子的最后一步，張朝陽(yáng)要帶著網(wǎng)友求解氫原子徑向薛定諤方程。
這個(gè)方程是類氫離子方程，比之前幾節(jié)課的方程多出了 Z，代表的是原子核所帶電荷數(shù)是 Z，氫原子 Z=1 代表氫原子核帶 1 個(gè)單位正電荷。引入 Z 是為了方便下節(jié)課討論多電子原子。為了方便，之后仍然稱此類氫離子方程為氫原子方程。
“為了讓它看起來(lái)簡(jiǎn)潔。”他先介紹求解方法，“我們定義如下兩個(gè)新參數(shù)，化簡(jiǎn)這個(gè)方程。”
并定義新的函數(shù) u：
這樣，徑向薛定諤方程可以化簡(jiǎn)為：
“但是，這個(gè)新形式的方程還是不好解，若我們還是強(qiáng)行用級(jí)數(shù)展開(kāi)求解，遞推關(guān)系會(huì)很復(fù)雜。”他指出問(wèn)題所在?！盀榱诉M(jìn)一步化簡(jiǎn)，我們先分析它在 r 趨于無(wú)窮與 r 趨于 0 的漸進(jìn)行為。”他邊推導(dǎo)邊分析，當(dāng) r 趨于無(wú)窮時(shí)，方程會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，可以解得函數(shù) u 在 r 趨于無(wú)窮的時(shí)候有如下漸進(jìn)行為。他也提到，另外一個(gè)解由于不滿足波函數(shù)的束縛態(tài)條件而舍棄掉了。
他繼續(xù)推導(dǎo)，當(dāng) r 趨于 0 時(shí)，方程也變得比較簡(jiǎn)單。同樣也可以解得 u 函數(shù)在 r 趨于 0 的時(shí)候則有如下漸進(jìn)行為。而另外一個(gè)解對(duì)應(yīng)的波函數(shù)在 r=0 處過(guò)于發(fā)散，導(dǎo)致粒子在此處任意小體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率為無(wú)窮大，因而也舍去。
最后，將這兩者的漸進(jìn)行為專門(mén)提取出來(lái)，定義新的函數(shù) R：
并且將此關(guān)系式，代入 u 所滿足的方程，可以得到 R 所滿足的方程：
所以，只需要解出 R，就能解出氫原子的徑向薛定諤方程了。
級(jí)數(shù)解法與遞推關(guān)系 解出能級(jí)與徑向波函數(shù)
為了解出 R，類比上一節(jié)解勒讓德方程的方法，張朝陽(yáng)將 R 寫(xiě)成級(jí)數(shù)展開(kāi)的形式：
并將其代入到 R 所滿足的方程之中，得到其系數(shù)所滿足的遞推關(guān)系：
他介紹說(shuō)，若這個(gè)級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)，那么 k 可以取到無(wú)窮大，而當(dāng) k 很大的時(shí)候可以發(fā)現(xiàn)，R 的展開(kāi)系數(shù)的遞推關(guān)系就與 e 指數(shù)的泰勒展開(kāi)系數(shù)的遞推關(guān)系一樣，即函數(shù) R（r）在 r 趨于無(wú)窮的時(shí)候按照 e 指數(shù)發(fā)散，代回最初的波函數(shù)的表達(dá)式中，會(huì)發(fā)現(xiàn)波函數(shù)不符合束縛態(tài)的條件。
所以，為了得到束縛態(tài)，或者說(shuō)為了讓徑向波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于 0，必須得要求此級(jí)數(shù)不能是無(wú)窮多項(xiàng)，即必須有個(gè)截?cái)?，?duì)應(yīng)的條件就是在某一個(gè) k 的時(shí)候上式遞推關(guān)系的分子為零。
“這樣大于 k 的展開(kāi)系數(shù)全部為 0。”他給出答案“根據(jù) α 與 E 的關(guān)系，就可以將能量的表達(dá)式具體寫(xiě)出來(lái)。”
（由遞推關(guān)系導(dǎo)出氫原子分立能級(jí)）
通過(guò)推導(dǎo)能清晰看出，氫原子的能級(jí)是分立的，而不像經(jīng)典力學(xué)那樣是連續(xù)的。
張朝陽(yáng)再進(jìn)一步利用 u 與 R 的關(guān)系以及徑向波函數(shù)與 u 的關(guān)系，得到徑向波函數(shù)的表達(dá)式：
他介紹，若將這個(gè)徑向波函數(shù)歸一化，并結(jié)合上節(jié)課解得的角向波函數(shù)，就能得出氫原子整體波函數(shù)的表達(dá)式：
“其中 n 稱為主量子數(shù)，用來(lái)標(biāo)記能級(jí)。l 稱為角量子數(shù)，用來(lái)標(biāo)記角動(dòng)量。m 稱為磁量子數(shù)，用來(lái)標(biāo)記角動(dòng)量的 z 分量?！彼忉?。
（最終解得的氫原子波函數(shù)）
解得氫原子徑向波函數(shù)后，張朝陽(yáng)具體帶網(wǎng)友看了看氫原子的基態(tài)，這時(shí) Z 取為 1，n 取 1，l 與 m 都取 0。根據(jù)量子態(tài)的概率詮釋，可以利用徑向波函數(shù)計(jì)算出電子出現(xiàn)在不同半徑球殼的概率。
可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球殼半徑剛好為波爾半徑的時(shí)候，電子出現(xiàn)的概率最大，即氫原子半徑正是波爾半徑，這說(shuō)明氫原子薛定諤方程解出的氫原子半徑正好與粗糙的舊量子力學(xué)得出的氫原子半徑驚人地一致。
（推導(dǎo)氫原子半徑）
推導(dǎo)過(guò)程中，因?yàn)樾枰玫胶芏鄶?shù)學(xué)知識(shí)，張朝陽(yáng)一度開(kāi)玩笑說(shuō)，“今天是堂數(shù)學(xué)課，你們跟我學(xué)數(shù)學(xué)了?！彼步忉屨f(shuō)，“我們這個(gè)課，你說(shuō)大學(xué)水平也好，中學(xué)水平也好，我們是為了解決問(wèn)題，逢山開(kāi)道，遇水架橋。需要用到什么就學(xué)什么。”
自 11 月 5 日至今，《張朝陽(yáng)的物理課》已直播二十余期。在第一、二課中，張朝陽(yáng)科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國(guó)空間站每日繞地飛行圈數(shù)；第三、四課和“振動(dòng)”相關(guān)，科普可見(jiàn)光的基本知識(shí)；第五、六課引發(fā)了關(guān)于音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經(jīng)典物理學(xué)的兩朵烏云。
第十、十一課重點(diǎn)回顧黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第十二、十三、十四課嘗試進(jìn)入愛(ài)因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E=mc2”，并論證鐘慢尺縮效應(yīng)；第十五課講解了原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變；第十六課開(kāi)始進(jìn)入量子力學(xué)，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。
從二十余期的物理課可以看出，《張朝陽(yáng)的物理課》的直播風(fēng)格獨(dú)樹(shù)一幟 —— 通過(guò)觀察日常生活現(xiàn)象、用網(wǎng)友最熟悉的話題來(lái)提升興趣，再以公式推導(dǎo)的方式解釋其背后的物理原理，“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，進(jìn)而反過(guò)來(lái)解決生活中的類似問(wèn)題。
張朝陽(yáng)認(rèn)為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅(qū)使下，了解自然界的奧秘，了解我們?cè)谶@個(gè)世界生存的道理”。在后續(xù)課程中，他還將繼續(xù)以這種直播風(fēng)格解釋生活中常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，讓普通人能夠聽(tīng)懂、專業(yè)人士也能認(rèn)可，激發(fā)科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。該課程于每周周五、周日 12 時(shí)在搜狐視頻直播。同時(shí)，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽(yáng)”，觀看往期完整視頻回放。
廣告聲明：文內(nèi)含有的對(duì)外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時(shí)間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。