AI 在最不擅長的數(shù)學(xué)方面，這次大幅刷新了最好成績。
其中關(guān)鍵角色是 OpenAI 給 Lean 做的一個定理證明器。
聽起來有點耳熟？沒錯，就是去年參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）的“非人”選手 Lean~
自從 2013 年微軟研究院推出 Lean 以來，就一直嘗試讓 AI 在數(shù)學(xué)命題證明這方面取得進展。
而這次也確實得到了回報，OpenAI 新做的這個定理證明器讓它學(xué)會了解決一部分有難度的高中奧數(shù)題，包括美國的數(shù)學(xué)競賽 AMC12、AIME 甚至是國際奧數(shù)競賽中的題。
它首先會用語言模型將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一種形式，列出隱藏的條件和已知信息，然后來推理求證。
雖然在剛開始效果并不明顯，只能證明幾個命題。但是在不斷地搜索新的證明，經(jīng)過八次迭代之后，在 miniF2F 測試中，成功地把分?jǐn)?shù)從 29.3% 刷到了 41.2%。
我們來看看這 AI 是怎么在奧數(shù)題上施展拳腳的。
AI 如何做奧數(shù)題
先來看一個簡單的問題熱熱身：
對于所有大于等于 9 的整數(shù) n，證明下圖中的式子是一個完全平方數(shù)。
按照普通人的思考方式，可以先把式中分子提出一個 n 的階乘，與分母約去。
然后分子化簡為（n+1）2。這在形式上就是一個完全平方數(shù)，問題得證。
那 AI 是怎么做的呢？
它首先從文本中提取了條件和已知信息，例如 n 是整數(shù)、n 大于等于 9。
接下來，它把需要證明的問題換了一種說法，改為：
存在一個整數(shù) x，使 x2 和原式相等。
然后在解題的過程中，完全由模型直接生成了一個數(shù)學(xué)項“n+1”作為一個解：use n+1。接下來再去驗證這個解是否成立。
如果沒有語言模型，這是不可能做到的。
這么看來這模型能耐了，還有了一些數(shù)學(xué)想法，再拿一道國際奧賽的改編題來考考它：
設(shè) a、b、c 是一個三角形的三條邊，證明 a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c）≤3abc。
同樣地，AI 還是先把條件都列出來。不過這次還列出了與三角形有關(guān)的隱藏條件：
a、b、c 都是大于 0 的實數(shù)，并且有任意兩邊之和大于第三邊。
然后模型還自創(chuàng)了一個方法，列出了（b-a）、（c-b）、（c-a），看起來好像不明所以。
但是如果把目標(biāo)式子展開，你就會發(fā)現(xiàn)這三項正是舒爾不等式的幾個對稱項：
根據(jù)舒爾不等式，對所有非負(fù)實數(shù) x、y、z 和正數(shù) t，都有：
當(dāng) t=1 時，這和奧數(shù)題中的形式完全一樣，命題得證。
這么看來，AI 這水平著實不簡單啊，要構(gòu)造出這種效果可絕非易事。
對奧數(shù)下手的難點
讓 AI 來做奧數(shù)，確實比學(xué)生自己磕高數(shù)題難多了。
這第一個難點就是，模型不是從有限的選項中做選擇。要是像下圍棋那樣，格點就那么多，選擇空間有限，還好說一點。
但是做奧數(shù)，模型要從一組復(fù)雜的無限策略中做選擇，期間還要生成一些數(shù)學(xué)中的術(shù)語，例如“存在”、“任意”等。
針對這個難點，OpenAI 通過在搜索證明方法時從語言模型中采樣來解決。
而第二點就是模型缺乏自我對抗和博弈。做奧數(shù)題和雙人游戲不同，它不是和另一個玩家比賽，而是要證明一個數(shù)學(xué)命題。
這樣一來在雙人游戲上成功的算法就不能遷移過來。
為了解決這個問題，研究人員提供了一套不同難度“教輔資料”，用來輔助描述問題而不需要證明。
當(dāng)這些輔助的描述難度越來越大時，模型就能解決越來越難的問題。
不過這兩個難點，反倒可以成為它的優(yōu)勢。
一方面，因為這類數(shù)學(xué)命題的證明就是需要推理，需要無限的創(chuàng)造力和洞察力。
另一方面，這種輔助描述式的方法也有助于 AI 自動推理的發(fā)展。
說不好，將來深度學(xué)習(xí)模型還能征服奧數(shù)這座高山。
參考鏈接：
https://openai.com/blog/formal-math/
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