2 月 6 日 12 時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第二十六期開(kāi)播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，開(kāi)講諧振子模型的量子化問(wèn)題。張朝陽(yáng)先回顧經(jīng)典力學(xué)中諧振子的運(yùn)動(dòng)方程、勢(shì)能，再?gòu)碾p原子分子中兩個(gè)原子間的勢(shì)能出發(fā)，通過(guò)泰勒展開(kāi)得到最低勢(shì)能點(diǎn)附近的諧振子近似，以此闡述了諧振子在微觀世界的普遍性，最后通過(guò)求解諧振子的薛定諤方程，帶領(lǐng)網(wǎng)友成功理解諧振子模型的量子化問(wèn)題。
回顧經(jīng)典線(xiàn)性諧振子：胡克定律與運(yùn)動(dòng)方程
張朝陽(yáng)先帶著網(wǎng)友回顧經(jīng)典力學(xué)中的諧振子問(wèn)題。以彈簧-小球模型為例，在經(jīng)典力學(xué)中，諧振子的回復(fù)力是 F=-kx，即所謂的胡克定律。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，可以得到諧振子的運(yùn)動(dòng)方程：
他告訴網(wǎng)友，在通常的處理中，物理學(xué)家會(huì)通過(guò)定義角頻率 ω0=√(k / m) 來(lái)簡(jiǎn)化符號(hào)的使用。他快速給出上述方程的解的形式：x=Re [x0 e^(iω0 t)]。他提醒說(shuō)，“諧振子以正弦的形式振動(dòng)，ω0 是振動(dòng)的角頻率?！彼岔槃?shì)介紹諧振子在振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化，總能量保持不變。在諧振子中，勢(shì)能的微分 du=-Fdx，于是得出諧振子的勢(shì)能公式。
分子勢(shì)能模型：選取平衡位置點(diǎn) 泰勒展開(kāi)做近似
諧振子是彈簧的理想模型，但是微觀世界并沒(méi)有彈簧，那么諧振子對(duì)于量子力學(xué)有什么意義呢？張朝陽(yáng)以雙原子分子為例，對(duì)此作出生動(dòng)的介紹。他在小白板上明示雙原子分子中的兩個(gè)原子之間的勢(shì)能。
雙原子分子中的兩個(gè)原子之間的勢(shì)能曲線(xiàn) (右上角)
他說(shuō)，“這個(gè)勢(shì)能曲線(xiàn)有一個(gè)最低點(diǎn)?！睆慕?jīng)典力學(xué)來(lái)看，當(dāng)系統(tǒng)能量比較小時(shí)，雙原子分子將會(huì)處在最低能處附近。而勢(shì)能曲線(xiàn)在勢(shì)能最低的形狀恰好和拋物線(xiàn)類(lèi)似，因此可以近似成諧振子。對(duì)此，張朝陽(yáng)帶著網(wǎng)友進(jìn)行公式推導(dǎo)，主要方法來(lái)自于勢(shì)能在能量最低點(diǎn)的泰勒展開(kāi)：
他提醒網(wǎng)友，“省略號(hào)表示泰勒展開(kāi)的高階項(xiàng)，可忽略。”他還指出，在勢(shì)能最低點(diǎn)，勢(shì)能的一次導(dǎo)數(shù)為 0，于是上式的一次項(xiàng)為 0。把二階導(dǎo)數(shù)記為 k，重新定義勢(shì)能零點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，即可以把勢(shì)能近似為諧振子勢(shì)能的形式：
“諧振子在物理中顯得特別重要”，張朝陽(yáng)強(qiáng)調(diào)了這個(gè)結(jié)論的普遍性?？偟膩?lái)說(shuō)，只要是考慮勢(shì)能極小值附近的微擾問(wèn)題，都可以近似為諧振子。
求解薛定諤方程：諧振子能級(jí)與波函數(shù)
提到諧振子的哈密頓算符，張朝陽(yáng)再列公式做推導(dǎo)。
“μ 是等效質(zhì)量”，他說(shuō)，處理氫原子的時(shí)候由于質(zhì)子比電子重很多，質(zhì)子可以近似為在質(zhì)心系中靜止，因此哈密頓量可以直接用電子質(zhì)量 m。但是對(duì)于雙原子分子，分子間的質(zhì)量相差不大，哈密頓量里邊的質(zhì)量不能再直接使用其中某個(gè)原子的質(zhì)量。
“有了諧振子的哈密頓量之后，就可以直接寫(xiě)出定態(tài)薛定諤方程了?！彼嬖V網(wǎng)友。
于是，張朝陽(yáng)作了變量代換：
其中關(guān)于 ξ 的二次項(xiàng)已經(jīng)被消掉了。至此，張朝陽(yáng)將 H 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)代入方程，得到了系數(shù)的遞推關(guān)系。（備注：后面將看到波函數(shù)中的 H 函數(shù)為 Hermite 多項(xiàng)式形式，故這里取其首字母。）
緊接著，張朝陽(yáng)分析了如此遞推公式下的冪級(jí)數(shù)，如果不截?cái)喑啥囗?xiàng)式，會(huì)導(dǎo)致波函數(shù)不滿(mǎn)足邊界條件，也就是波函數(shù)無(wú)法歸一化。如果要求這個(gè)冪級(jí)數(shù)截?cái)喑啥囗?xiàng)式，則有 2k+1-λ=0，從而 λ=2k+1。按照一般習(xí)慣將 k 寫(xiě)為 n，再結(jié)合前方變量代換中 λ 和 E 的關(guān)系，可得：
據(jù)此，張朝陽(yáng)強(qiáng)調(diào)，諧振子的能量不是連續(xù)的，而是存在間隔的。這就是諧振子量子化的體現(xiàn)。他說(shuō)，“經(jīng)典力學(xué)中的諧振子能量就像斜坡，量子力學(xué)中的諧振子能量則是臺(tái)階，一級(jí)一級(jí)的?！?/p>
最后，他還介紹了諧振子定態(tài)波函數(shù)的具體形式。
拓展討論：基態(tài)波函數(shù)、不確定性關(guān)系、等間距能級(jí)與零點(diǎn)能
張朝陽(yáng)以諧振子基態(tài)波函數(shù)為例，強(qiáng)調(diào)基態(tài)的概率分布是高斯分布。先是通過(guò)概率分布的集中部分估算了 Δx，然后根據(jù)動(dòng)量和能量的關(guān)系估算了 Δp，最后確認(rèn)了兩者的乘積確實(shí)滿(mǎn)足不確定性關(guān)系。
諧振子基態(tài)滿(mǎn)足不確定性關(guān)系
他強(qiáng)調(diào)，諧振子最低能態(tài) (n=0 的態(tài)) 的能量不是 0，也就是具有所謂的“零點(diǎn)能”。這是和經(jīng)典力學(xué)不一樣的。不過(guò)，由于諧振子相鄰能級(jí)之間的差為固定值，而熱激發(fā)只和能量差有關(guān)，因此，當(dāng)年普朗克的黑體輻射公式才能和實(shí)驗(yàn)完全吻合。
廣告聲明：文內(nèi)含有的對(duì)外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時(shí)間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。