2 月 11 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十七期準時開播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，探究雙原子分子氣體。張朝陽先帶著網友復習氫原子薛定諤方程，根據求解得到的能級公式，討論氫原子的光譜。接著研究兩個氫原子組成的氫分子，其電子組成共價鍵將原子核束縛起來，將此勢能在平衡位置展開得到等效的諧振子勢，求解對應的薛定諤方程，解得包含振動與轉動自由度的能級，通過此分立的能級與選擇定則分析氫分子的光譜。
“我們學了那么多理論，解了那么多方程，現在需要應用一下。”張朝陽開門見山，“我們跟氫原子作戰(zhàn)了很長時間，今天要講氫分子，解決雙原子分子氣體問題?！?/p>
氫原子光譜與里德伯常量
他先帶著網友，復習氫原子的薛定諤方程，求解得到氫原子的分立能級公式。
他說，“有了能級公式，就可以研究氫原子在各能級之間躍遷所產生的光譜?！蓖ㄟ^推導，網友們發(fā)現，從初態(tài)能級到末態(tài)能級躍遷時，發(fā)射出的光線的波數為：
張朝陽解釋說，“系數 R 稱為里德伯常量，是量子力學出現之前，人們根據實驗測得的氫原子光譜，抽象出的經驗公式里得到的，這與用薛定諤方程計算的數值一致?！?/p>
他進一步解釋，當末態(tài)主量子數為 1 時，末態(tài)就是基態(tài)，從各激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷形成的光譜就是萊曼系，它處于紫外光譜區(qū)。當末態(tài)主量子數為 2 時，更高激發(fā)態(tài)到末態(tài)的躍遷形成的光譜是巴爾末系，此線系處于可見光譜區(qū)，所以首先被發(fā)現。以此類推，可以得到其它譜系。
解薛定諤方程得到氫原子能級，導出的光譜與實驗相符，重現了量子力學出現之前的各種線系，他說，“這證明了薛定諤方程的正確性?！?/p>
求解氫分子原子核的薛定諤方程
討論完氫原子的光譜，再來討論由氫原子組成的氫分子的情況。
“氫分子體系比氫原子復雜多了，它包含了兩個氫原子核與兩個電子，這四個粒子之間兩兩都有庫倫勢相互作用，直接解對應的薛定諤方程非常復雜?！睆埑栔赋鐾茖У碾y度所在和解決方案，“不過，由于電子質量遠遠小于原子核的質量，分子中電子速度遠遠大于原子核速度，所以當研究氫分子的振動和轉動時，可以把電子看成一種分布，原子核沉浸在這種云一樣的分布之中，電子云使得原子核之間具有某種有效的相互作用，從而將原子核結合在一起，這就是所謂的共價鍵。兩個電子是兩個原子所共有的?！?/p>
經推導發(fā)現，這種相互作用與原子核之間的庫侖力一起，組成總的有效勢能，若振幅較小，可將總有效勢能在平衡位置附近做近似展開，得到諧振子勢能，那么，重復之前得到的氫原子與諧振子的徑向薛定諤方程的步驟，則可得出對應的氫分子中兩原子核的徑向薛定諤方程：
注：μ 是兩個原子核的約化質量，r 是兩原子核的距離，r0 是有效勢能的平衡位置，l 是對應于角向波函數的角動量，k 是將有效勢能在平衡位置附近展開時二次項的系數。由于這里只想討論轉動與振動能量，為了方便忽略了平衡位置時的勢能項。
▲ （求解氫分子原子核徑向薛定諤方程）
此時，張朝陽先根據解氫原子與諧振子徑向薛定諤方程的經驗，定義新的函數 u 為：
再代入到薛定諤方程之中，并將其化簡為：
“這個方程有些難解?！睆埑柦忉?，由于原子核的振動距離非常小，并且轉動能遠遠小于振動能，于是可以近似地將角動量項中的 r 直接換成平衡距離 r0，若定義新的參數為：
最終，薛定諤方程可以變形為：
而這正是上節(jié)課解一維諧振子薛定諤方程時遇到過的微分方程。利用上節(jié)課的結論，馬上能得到：
其對應的氫分子原子核的振動與轉動能級就可以順勢求出：
▲ （推導氫分子的振動轉動能級）
氫分子的振動轉動光譜：疏中有密，帶狀分布
“就像氫原子一樣，一旦求出了氫分子原子核的振動與轉動能級，就可以得出其對應的光譜?！睆埑栆龑ЬW友思考，“這里需要引入能級躍遷的選擇定則?！币簿褪钦f，原子核躍遷前后的主量子數變化為 ±1，角量子數的變化也為 ±1。為了方便討論，張朝陽還引入記號 B，將氫分子原子核的振動與轉動能級寫為：
為了更方便地計算 B 的具體數值，張朝陽將 B 化為如下形式：
可以發(fā)現，關于電荷 e 的項正是氫原子的基態(tài)能量，這樣代入對應數據非常容易求得 B=59 /cm。而為了對比轉動能級與振動能級的量級差別，同樣計算振動能級差對應的波數為 4000 /cm：
這樣，明顯看出轉動能級與振動能級有巨大差距。為了更精確地得出能譜，現在考慮以主量子數和角量子數標記的能級的間距。E (n+1, l+1) 與 E (n , l) 能量相差：
E (n+1 , l-1) 與 E (n , l) 能量相差：
由于前面已經計算過，振動能級差遠遠大于轉動能級差，綜合上述躍遷的能級差，可知氫原子的光譜結構是以振動能級差為主，但周圍有波數間距為 2B=120 /cm 的多條譜線。也就是說，整體上是在間距較大、相對稀疏的振動譜周圍，輔以間距較小、相對密集的轉動譜，最終觀察到的是振-轉光譜帶。這與實驗觀測得到的氫分子光譜一致，再次證明了薛定諤方程的正確性與強大的功能。
▲ （根據能級推導氫分子振動與轉動光譜）
自 11 月 5 日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十多期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和“振動”相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發(fā)了關于音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經典物理學的兩朵烏云。
第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推導出著名的公式“E=mc2”，并論證鐘慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。
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