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空間站如何繞地球飛行?《張朝陽的物理課》講解萬有引力下的運(yùn)動

2022/3/19 19:28:04 來源:搜狐科技 作者:- 責(zé)編:瀟公子

空間站的飛行軌跡是怎樣形成的?衛(wèi)星是如何繞地飛行的?3 月 18 日 12 時,《張朝陽的物理課》開播,張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間,回歸經(jīng)典力學(xué),推導(dǎo)空間站的飛行軌道等問題。他先從牛頓力學(xué)出發(fā),為網(wǎng)友們解答了衛(wèi)星為什么能在天上運(yùn)行而不掉下來,接著帶領(lǐng)大家復(fù)習(xí)了第一、第二宇宙速度的計(jì)算以及同步衛(wèi)星的概念,在課程結(jié)尾演示了萬有引力下的能量守恒定律和衛(wèi)星軌跡方程的求解。

復(fù)習(xí)第一、第二宇宙速度 計(jì)算同步衛(wèi)星軌道半徑

為便于理解,在本次直播中張朝陽先帶網(wǎng)友復(fù)習(xí)了第一、第二宇宙速度的計(jì)算,并且介紹了同步衛(wèi)星的概念。為此,張朝陽先根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律 F=ma 寫出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的方程:

張朝陽解釋道,做勻速圓周運(yùn)動的物體,其速度大小雖然沒有改變,但是速度的方向是在不斷變化的,因此這個物體具有加速度。首先,角速度是角度隨時間的變化率,而速度等于角速度與半徑的乘積:

他畫指示圖來進(jìn)行說明:

(張朝陽在直播中推導(dǎo)圓周運(yùn)動加速度公式)

在一個很小的時間間隔上,速度的改變量指向圓心,它的大小等于速度乘以角度改變量。除以 dt 就可以得到加速度的公式:

將此加速度公式代回衛(wèi)星圓周運(yùn)動方程,化簡可得衛(wèi)星的速度:

G 和 M 分別是萬有引力常數(shù)和地球質(zhì)量。隨后,他在白板上演示了如何通過“黃金代換公式”將 G 和 M 換成更常見的物理量。為此,張朝陽考慮了地球表面的萬有引力:mg=GMm / R^2,這里 R 表示地球半徑,m 表示地球表面附近物體的質(zhì)量,g 表示地球表面附近的重力加速度。于是有 GM=gR^2。將這個結(jié)果代回衛(wèi)星速度公式就得到:

張朝陽介紹,第一宇宙速度就是地球表面附近的衛(wèi)星繞著地球做圓周運(yùn)動時的速度。此時 r 近似為 R,于是得到第一宇宙速度公式:

這個速度的值是 7.9km / s。而對于地球同步衛(wèi)星,其公轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同,即其公轉(zhuǎn)角速度應(yīng)等于地球的自轉(zhuǎn)角速度。張朝陽將速度換成角速度乘以軌道半徑,于是得到:

代入地球自轉(zhuǎn)角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數(shù)值,張朝陽算得同步衛(wèi)星軌道半徑約為 42600 km?!八?,為了保證衛(wèi)星同步轉(zhuǎn)動,其運(yùn)行的軌道半徑必須為四萬兩千多公里?!睆埑柨偨Y(jié)道。

接下來,張朝陽繼續(xù)介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度,就是物體從地球表面出發(fā)逃逸到無窮遠(yuǎn)處至少所需的初速度。

他先考慮了物體沿徑向運(yùn)動的情況。假設(shè)物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸,到了無窮遠(yuǎn)處這個物體的速度必須是零,否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時候引力做的功剛好抵消掉物體的動能,于是有:

于是得到第二宇宙速度公式:

這個速度大小是 11.2 km / s。推導(dǎo)這個結(jié)果時考慮的是徑向運(yùn)動,因此張朝陽提了一個問題,如果物體以這個速度從切線方向飛出,那它還能不能逃逸到無窮遠(yuǎn)處呢?他介紹,這個問題將在下一次課程直播中解答。

推導(dǎo)萬有引力下的能量守恒 解釋衛(wèi)星動能勢能總和不變

隨后,張朝陽又進(jìn)行了萬有引力下的能量守恒定律的推導(dǎo),揭示衛(wèi)星在引力場中的總能量由動能和引力勢能兩部分組成,衛(wèi)星運(yùn)動期間總能量保持不變。考慮到情況的普遍性,張朝陽使用了矢量分析的工具來進(jìn)行推導(dǎo)。當(dāng)物體在引力場中運(yùn)動了一小段距離時,引力場做的功是:

其中矢量 er 是徑向單位矢量。張朝陽給網(wǎng)友們詳細(xì)演示了如何對此式進(jìn)行化簡:

于是萬有引力做的功可以化為:

又因牛頓第二運(yùn)動定律:

于是得出:

張朝陽解釋道,括號里邊的值就是總能量。在物體運(yùn)動過程中,總能量的改變量為 0,這就是引力場下的能量守恒定律??偰芰勘磉_(dá)式中的第一項(xiàng)是物體的動能,帶負(fù)號的第二項(xiàng)是它的引力勢能。

(張朝陽推導(dǎo)引力場下的能量守恒定律)

推導(dǎo)萬有引力下的衛(wèi)星軌跡 計(jì)算橢圓軌道時的極值距離

在地球引力下,衛(wèi)星是如何運(yùn)行的?張朝陽繼續(xù)進(jìn)行推演。首先,他引入了極坐標(biāo),并作如下推導(dǎo):

其中上標(biāo)的撇號表示對時間求導(dǎo)。該推導(dǎo)需結(jié)合張朝陽直播所畫的示意圖來理解。

(張朝陽推導(dǎo)所用圖示)

結(jié)合萬有引力下的牛頓第二定律:

對比徑向分量和角向分量立即得到:

于是 r^2θ’是常數(shù),張朝陽將其記為 a。他解釋道,θ’是單位時間經(jīng)過的角度,r^2θ’/2 就是衛(wèi)星連接地球中心的線段在單位時間內(nèi)掃過的面積,這個面積是一個常數(shù),這就是開普勒第二定律。

利用這個常數(shù)可以消去角度對時間的導(dǎo)數(shù),從而根據(jù)上面的第一個式子得到:

為求解這個方程,張朝陽引入了新的變量 y=1 / r,并且將對時間的導(dǎo)數(shù)化為對角度的導(dǎo)數(shù):

將這個結(jié)果代入上面關(guān)于 r 的方程立即得到:

他強(qiáng)調(diào),這是一個很簡單的方程,其通解為 y=A cos (θ+θ0)+ GM / a^2,其中 A>0。并且,可以重新選取角坐標(biāo)的原點(diǎn)使 θ0=0,將 y 代回到原形式 1 / r,可得:

張朝陽解釋,這正是極坐標(biāo)下橢圓、拋物線或者雙曲線的方程,也就是說衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡只能是這三種曲線中的一種。據(jù)此,可以計(jì)算當(dāng)運(yùn)動軌跡為橢圓時的近地點(diǎn)距離和遠(yuǎn)地點(diǎn)距離。軌跡上離地球最近的距離是 1/(A+B),最遠(yuǎn)的距離是 1/(B-A)。

(張朝陽推導(dǎo)出衛(wèi)星的軌跡)

據(jù)悉,在下節(jié)課中,張朝陽將會就空間站軌道的穩(wěn)定性 —— 當(dāng)運(yùn)行軌道受到干擾時,會發(fā)生怎樣的改變進(jìn)行推導(dǎo)解答。

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關(guān)鍵詞:空間站地球,萬有引力物理

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