開普勒第二定律是角動量守恒的結(jié)果？中子星的自轉(zhuǎn)角速度怎么估算？4 月 17 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十六期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，帶著網(wǎng)友們復(fù)習(xí)了上一次直播課所介紹的角動量知識，并借助角動量守恒定律證明了開普勒第二定律，然后回到本次課程的最初目的，即科普中子星是怎么形成的，最終利用所介紹的角動量知識估算了中子星的旋轉(zhuǎn)速度。
復(fù)習(xí)角動量定理 重溫開普勒第二定律
直播開始后，張朝陽首先寫出上次課程推導(dǎo)出來的質(zhì)點系角動量定理：
這個定理應(yīng)用于剛體的定軸轉(zhuǎn)動可以得到非常簡潔的形式。他把牛頓第二定律一并寫下作為比較：
其中第一個式子是剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理在轉(zhuǎn)軸方向的分量的表達(dá)式，其中 τ 是外力矩，I 是剛體的轉(zhuǎn)動慣量。第二個式子是質(zhì)點的牛頓第二定律。張朝陽介紹說，這兩個式子形式上非常相似。力矩在轉(zhuǎn)動里起到類似力的作用，而轉(zhuǎn)動慣量就則與質(zhì)量類似，衡量轉(zhuǎn)動改變的難易程度，也就是剛體的“轉(zhuǎn)動慣性”。剛體定軸轉(zhuǎn)動的情況下，轉(zhuǎn)動慣量的公式為：
其中 r 是質(zhì)量微元 dm 距離轉(zhuǎn)軸的距離。此時，角動量的表達(dá)式為：
如果外力矩等于 0，那么角動量不隨時間改變，這就是角動量守恒定律。對于理想剛體，角動量守恒表現(xiàn)為轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積不隨時間改變。
(張朝陽通過角動量守恒證明開普勒第二定律)
角動量定理是普遍成立的，因此不僅可以用在剛體的運動上，還可以應(yīng)用于中心力場的運動中。引力場作為典型的中心力場，角動量定理也能發(fā)揮重要作用。在質(zhì)量為 M 的星球的引力場中，質(zhì)量為 m 的質(zhì)點受到的引力為：
那么質(zhì)點受到的力矩為：
所以，質(zhì)點的角動量不隨時間變化。張朝陽繼而推導(dǎo)質(zhì)點的角動量表達(dá)式，具體地：
其中 v 是粒子的速度。以質(zhì)點的軌跡平面為極坐標(biāo)面、星球所在位置為原點，建立柱坐標(biāo)系，那么粒子的速度矢量可以寫為：
其中字母上方加一點表示對時間求一階導(dǎo)數(shù)。將上式代入角動量公式后可得：
因此，mr^2dθ/dt 不隨時間變化。
對這個結(jié)果，張朝陽進(jìn)一步解釋說，考慮質(zhì)點和星球的連線，dθ 是這根線在 dt 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，因此 r^2dθ/2 是這根線在 dt 時間內(nèi)掃過的面積。換言之，這根連線在單位時間內(nèi)掃過的面積為常數(shù)，這就是開普勒第二定律，它可以作為角動量守恒的簡單推論。
恒星的演化與中子星的形成
復(fù)習(xí)完角動量定理，張朝陽把我們帶回了最初的目的：計算中子星的旋轉(zhuǎn)速度。對此，我們先來了解一下中子星的形成過程。
測量眾多恒星的溫度和光度，并繪制在一張圖表上，從而反映恒星顏色與星等的分布特征，這有助于分析恒星的演化過程。該圖被稱為赫羅圖（Hertzsprung-Russell diagram）。當(dāng)恒星處在主序星階段時，會根據(jù)自身質(zhì)量而處于光度-溫度圖上一條特定的曲線附近，形成一個被稱為主序帶的帶狀圖形。
(張朝陽展示的赫羅圖)
恒星的質(zhì)量越大，其表面溫度越高，光度越大，同時壽命也越短。處于主序階段的恒星都是通過氫核聚變成氦核獲取能量，當(dāng)恒星的燃料逐漸消耗殆盡時，它會逐步離開主序帶。與太陽質(zhì)量相當(dāng)?shù)暮阈?，在生命末期時，其外層會被推開，變成紅巨星，并進(jìn)一步形成行星狀星云，而它的核心最后會變成白矮星。
白矮星是一種靠內(nèi)部電子氣體的簡并壓抗衡引力收縮的天體，它發(fā)出的光接近白色。而大于 8 倍太陽質(zhì)量的恒星，生命末期會發(fā)生超新星爆發(fā)，并將大量的物質(zhì)拋灑出來。超新星爆發(fā)會產(chǎn)生非常極端的物理環(huán)境，從而使原子序號排在鐵原子之后的元素被創(chuàng)造出來。
太陽系中的重元素就來自于超新星爆發(fā)過程。太陽內(nèi)部目前只能制造一些輕核，重核則來自于很久以前在附近發(fā)生的超新星爆發(fā)。超新星爆發(fā)也會留下一個致密的核心，這個核心的質(zhì)量超過 1.4 倍太陽質(zhì)量，導(dǎo)致電子簡并壓不足以抗衡引力的壓縮，從而繼續(xù)塌縮直到質(zhì)子和電子反應(yīng)成為中子，并由中子簡并壓來抵抗引力。處于這個階段的天體就被稱為中子星。如果這個核心的質(zhì)量更大，使得中子簡并壓也無法抗衡引力，那么它就會進(jìn)一步塌縮成為黑洞。
中子星內(nèi)部原子結(jié)構(gòu)不復(fù)存在，只靠核子緊密地擠壓在一次。這導(dǎo)致中子星的體積極小，大約在 10 公里量級；同時它的質(zhì)量又很大，大約為 2 倍太陽質(zhì)量。于是中子星的密度極高，一小勺中子星物質(zhì)就有好幾億噸。
恒星一般都存在自轉(zhuǎn)。即使之前其自轉(zhuǎn)速度很低，在形成中子星之后，由于體積急劇縮小、轉(zhuǎn)動慣量也急劇變小，最終中子星的轉(zhuǎn)速也會非常之高。這就像是花樣滑冰運動員在轉(zhuǎn)動時把手縮回來，從而提高了自轉(zhuǎn)速度。
另一方面，中子星表面存在非常強(qiáng)的磁場，由于各種物理效應(yīng)，中子星會沿磁極發(fā)生強(qiáng)烈的輻射，就像一個手電筒那樣。中子星的磁極和旋轉(zhuǎn)軸一般不重合，于是其輻射方向會不斷地、快速地周期變化。從地球的角度來看，人們會觀測到中子星不斷地發(fā)射脈沖。當(dāng)“手電筒”旋轉(zhuǎn)指向地球時，會觀測到一個脈沖峰值。這樣的脈沖峰值會因中子星的自轉(zhuǎn)而不斷重復(fù)，這就是中子星作為脈沖星模型的由來。
估算中子星的自轉(zhuǎn)角速度
接下來開始估算脈沖星的自轉(zhuǎn)角速度。因為 8 至 15 倍太陽質(zhì)量的恒星最后會形成中子星，張朝陽取典型情況，以恒星質(zhì)量約為 10 倍太陽質(zhì)量進(jìn)行估算。由于恒星的質(zhì)量大部分集中在內(nèi)核，若把內(nèi)核看成均勻球體，可以估算其核心質(zhì)量大約是太陽核心的 10 倍，從而核心半徑大約是太陽核心半徑的兩倍。
在超新星爆發(fā)之后，這個恒星內(nèi)部的 1.5 倍太陽質(zhì)量會變成中子星。在這里，張朝陽作了一個假定：超新星爆發(fā)時內(nèi)部物質(zhì)的角動量沒有被傳遞出來，于是最終中子星的角動量就等于原來 1.5 倍太陽質(zhì)量的內(nèi)部物質(zhì)的角動量。為了估算這部分角動量，就需要知道其轉(zhuǎn)動慣量，所以接下來需要估算這 1.5 倍太陽質(zhì)量的物質(zhì)在恒星階段的體積是多大。
由于這個恒星初始質(zhì)量為 10 倍太陽質(zhì)量，根據(jù)以前直播課程對太陽的介紹，可以估算這個恒星的內(nèi)核大約為 5 倍太陽質(zhì)量。而內(nèi)核里 1.5 倍太陽質(zhì)量的物質(zhì)會變成中子星，占整個核心質(zhì)量大約 1/3，于是可以估算這部分物質(zhì)的半徑大約是核心半徑的 3 的三次方根分之一，也就是大約是核心半徑的 0.6 (注：3 的三次方根分之一約等于 0.69，不過由于這里做的是估算，采用 0.6 同樣合理)。
太陽核心半徑約為 16 萬公里，而前面估算 10 倍太陽質(zhì)量的恒星，其核心半徑約是太陽核心半徑的 2 倍，于是可以估算得到恒星內(nèi) 1.5 倍太陽質(zhì)量物質(zhì)對應(yīng)的半徑約為 0.6×2×16 萬公里，約等于 20 萬公里。
有了質(zhì)量也有了半徑，就可以估算它的轉(zhuǎn)動慣量了。不過，張朝陽還通過另一種方法估算了這 1.5 倍太陽質(zhì)量的核心物質(zhì)的平均密度。因為恒星的能量來源主要是氫的聚變，這就決定了不同質(zhì)量的恒星內(nèi)核溫度大致相同，而在恒星形成之初，氫核主要通過引力加速達(dá)到能產(chǎn)生核聚變的溫度，于是：
其中 T 是核心溫度，k 是玻爾茲曼常數(shù)，m_p 是質(zhì)子質(zhì)量，Mc 和 Rc 分別是核心質(zhì)量和半徑，ρ 上加一橫表示核心的平均密度。由于不同質(zhì)量的恒星內(nèi)核溫度大致相同，所以核心平均密度與核心半徑的平方成反比。前面估算了 10 倍太陽質(zhì)量的恒心的核心半徑大約是太陽的核心半徑的 2 倍，所以：
其中 ρ_sc 表示太陽核心的平均密度。由于 1.5 倍太陽質(zhì)量的物質(zhì)處于核心的里邊，密度必然比平均密度高，所以張朝陽估算它的密度是整個核心平均密度的 2 倍，也就是 60g / cm^3。(注：根據(jù)前面估算的半徑，計算得到的密度約為 90g / cm^3，比此處估算值大一半。后文將采用 60g / cm^3 的估算值進(jìn)行計算。)
接下來估算這 1.5 倍太陽質(zhì)量物質(zhì)的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式中的 r 是柱坐標(biāo)上的 r，不過為了簡化計算，張朝陽將其看成是球坐標(biāo)下的 r，于是：
其中下標(biāo) mc 表示與這 1.5 倍太陽質(zhì)量的物質(zhì)相關(guān)的量。
對于中子星，根據(jù)目前天體物理的認(rèn)識，張朝陽估算中子星核心密度約為表面密度的 1/4，而且密度從內(nèi)到外線性變化，用 ρ_nc 表示中子星中心密度，于是中子星密度分布為：
其中 R 是中子星半徑。這樣可以估算中子星的轉(zhuǎn)動慣量為：
那么根據(jù)角動量守恒，可以估算得到中子星的自轉(zhuǎn)角速度為：
其中 n 下標(biāo)表示中子星，s 下標(biāo)代表太陽。張朝陽假設(shè)恒星內(nèi)核的旋轉(zhuǎn)速度不依賴于質(zhì)量，因此使用太陽內(nèi)核的旋轉(zhuǎn)速度作為中子星形成前的旋轉(zhuǎn)速度。根據(jù)目前天體物理對中子星密度的估值，張朝陽使用 5×10^14 g / cm^3 作為中子星中心密度，代入數(shù)值可以得到中子星旋轉(zhuǎn)角速度約為太陽內(nèi)核旋轉(zhuǎn)角速度的 10^9 倍。這是一個非常強(qiáng)的放大效應(yīng)。
接著，張朝陽展示了太陽內(nèi)部各處的旋轉(zhuǎn)頻率：
(張朝陽展示的太陽內(nèi)部各處旋轉(zhuǎn)頻率)
其中核心的旋轉(zhuǎn)頻率約為 400×10^(-9) Hz，因此可以推算得到中子星的旋轉(zhuǎn)頻率為 400Hz，也就是每秒轉(zhuǎn) 400 圈?？紤]到中子星存在兩個磁極，也就是兩個發(fā)射脈沖的方向，從而中子星每秒脈沖約 800 下?！爸凶有堑拿}沖頻率在毫秒量級”。這些估算結(jié)果與目前的天文觀測值比較接近。
(張朝陽估算中子星的旋轉(zhuǎn)頻率)
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