本文來自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：董唯元
史瓦西黑洞、RN 黑洞、克爾黑洞、克爾-紐曼黑洞…… 洞洞有精彩
黑洞是科普內(nèi)容里的?？停T如“時(shí)空奇點(diǎn)”、“事件視界”、“史瓦西半徑”，這些名詞早已成為愛好者們耳熟能詳?shù)母拍?。可如果說起黑洞內(nèi)部的多層結(jié)構(gòu)，恐怕許多人會(huì)感到莫名其妙。黑洞里面連物質(zhì)都沒有，只有嚴(yán)重扭曲的時(shí)空而已，怎么會(huì)跟雞蛋一樣有分層結(jié)構(gòu)呢？實(shí)際上，黑洞不僅有內(nèi)部結(jié)構(gòu)而且還很復(fù)雜，但我們可以從“0”開始。
0 糖 0 卡 0 公式
其實(shí)，在科普書中經(jīng)常出現(xiàn)的黑洞，只是黑洞家族里最簡(jiǎn)單的一種，被稱為史瓦西黑洞。這種黑洞既不帶電也不自轉(zhuǎn)，只有一個(gè)物理屬性 —— 質(zhì)量。在如此高度簡(jiǎn)化又各向?qū)ΨQ的前提下，當(dāng)然沒機(jī)會(huì)出現(xiàn)太復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。但真實(shí)的宇宙中，天體大多具有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，而且也多多少少帶有一些電荷，黑洞也不應(yīng)例外。當(dāng)描述黑洞的理論模型中加入了自轉(zhuǎn)角動(dòng)量和電荷之后，一些有趣的結(jié)構(gòu)便出現(xiàn)了。
我們都知道，史瓦西黑洞的結(jié)構(gòu)就是一個(gè)叫作事件視界的球面，包裹著球心處的時(shí)空奇點(diǎn)，從視界到奇點(diǎn)這部分區(qū)域是不可逆轉(zhuǎn)的單向區(qū)，掉進(jìn)這個(gè)區(qū)域的任何東西都不可避免地走向奇點(diǎn)。有個(gè)噱頭感十足的說法：在這個(gè)單向區(qū)內(nèi)，時(shí)間變成了空間，空間變成了時(shí)間。至于這句話具體該如何理解，我們稍后再談。
現(xiàn)在我們讓黑洞攜帶上電荷，即 RN 黑洞，它有內(nèi)外兩層視界，單向區(qū)只存在于兩層視界之間，黑洞所帶的電荷越多，這個(gè)球殼狀的單向區(qū)就越薄。而在內(nèi)視界以內(nèi)的區(qū)域則又回到普通時(shí)空的樣子，不存在時(shí)間維與空間維互換的情形，黑洞中心的奇點(diǎn)就躺在這片普通時(shí)空區(qū)域中。
如果黑洞有自轉(zhuǎn)，即克爾黑洞，其視界不再是勻稱的球面，而是類似南瓜的表面，而且這種南瓜皮樣的視界也有內(nèi)外兩層，中間夾著單向區(qū)。此外克爾黑洞比 RN 黑洞還多出兩個(gè)界面 —— 外靜止面和內(nèi)靜止面 —— 分別位于外視界之外和內(nèi)視界之內(nèi)。從靜止面到視界的區(qū)域被稱為能層，這個(gè)名稱的由來是彭羅斯發(fā)現(xiàn)從這個(gè)區(qū)域可以獲取能量?？藸柡诙醋钣幸馑嫉牟糠质侵行牟辉俅嬖谄纥c(diǎn)，取而代之的是一個(gè)奇環(huán)。
克爾黑洞所展現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，基本已經(jīng)達(dá)到了復(fù)雜程度的極限，再帶上電荷的克爾-紐曼黑洞，并沒有比克爾黑洞的結(jié)構(gòu)復(fù)雜更多，仍然是內(nèi)外兩個(gè)能層夾著單向區(qū)的樣子，中間也依然是代表時(shí)空奇異性的奇環(huán)。電荷的多少只是為這些結(jié)構(gòu)的具體位置又多增加了一個(gè)參數(shù)而已。
史瓦西度規(guī)
至此，我們已經(jīng)大略瀏覽了四種黑洞的結(jié)構(gòu)樣貌，可是我相信大多數(shù)讀者肯定不會(huì)滿足于如此泛泛的走馬觀花。為了說得更清楚些，我們先用半分鐘時(shí)間認(rèn)識(shí)兩個(gè)相對(duì)論中的物理概念 ——“線元”和“度規(guī)”。
“線元”可以粗略地理解為時(shí)空中臨近兩點(diǎn)的微小間隔，記做 ds。在平直時(shí)空中，
或者采用極坐標(biāo)的形式
寫成矢量?jī)?nèi)積的樣子就是
那個(gè)夾在中間的 4×4 矩陣，就是“度規(guī)”，它顯示著時(shí)空的幾何性質(zhì)。平直時(shí)空的度規(guī)是簡(jiǎn)單的 diag (-1, 1, 1, 1) 對(duì)角矩陣，而彎曲時(shí)空的度規(guī)，就會(huì)變得復(fù)雜起來。
所謂求解廣義相對(duì)論方程，其實(shí)就是計(jì)算出度規(guī)的所有分量。對(duì)時(shí)空幾何性質(zhì)的所有刻畫，都藏在這個(gè)矩陣?yán)铩?/p>
知道了這些，我們就可以根據(jù)一個(gè)線元的表達(dá)式，來閱讀出時(shí)空度規(guī)，繼而揣度時(shí)空的樣子。比如，把不自轉(zhuǎn)，不帶電，質(zhì)量為 M 的物體放在極坐標(biāo)原點(diǎn)，它周圍的真空線元表達(dá)式是
其中
我們能馬上看出來，這個(gè)史瓦西度規(guī)仍然是對(duì)角矩陣，但是對(duì)比平直時(shí)空的樣子，標(biāo)成藍(lán)色的 gtt 和 grr 兩個(gè)分量顯然有所不同，這兩項(xiàng)就是所有后相對(duì)論時(shí)代對(duì)黑洞研究的起點(diǎn)，rs 就是史瓦西半徑，r=rs 處就是史瓦西黑洞的視界。
當(dāng) s →∞的時(shí)候，史瓦西度規(guī)回到了平直時(shí)空的樣子，說明在無窮遠(yuǎn)處時(shí)空彎曲的效應(yīng)逐漸消失。那么在黑洞附近的時(shí)空又是如何彎曲的呢？讓我們派出一位冒險(xiǎn)者到臨近視界的地方進(jìn)行考察。三維空間中，冒險(xiǎn)者所處的位置是一個(gè)點(diǎn)，而四維時(shí)空中，由于時(shí)間的不斷流逝，即使冒險(xiǎn)者靜止不動(dòng)這個(gè)位置仍是一條線，被稱為“世界線”。
黑洞附近的時(shí)間膨脹
相對(duì)論告訴我們，世界線是個(gè)絕對(duì)的物理對(duì)象，無論從哪個(gè)參照系中計(jì)算，這條線上的同一段 ds 的長度都必然相同。我們選取兩個(gè)特殊的參照系，一個(gè)是相對(duì)黑洞靜止的參照系，另一個(gè)是冒險(xiǎn)者自己的隨動(dòng)參照系。
前一個(gè)參照系中，我們照舊使用已經(jīng)提到過的公式來計(jì)算冒險(xiǎn)者世界線的線元。
其中，代表沿球面切向位置變化，連同徑向位置變化 dr 一起，給出冒險(xiǎn)者的空間坐標(biāo)位置變化。需要注意的是式子中的 dt，它代表站在無窮遠(yuǎn)處且相對(duì)黑洞靜止的觀者所感受到的時(shí)間變化。
在后一個(gè)參照系中，冒險(xiǎn)者自己相對(duì)于隨動(dòng)參照系沒有任何位置變化，只是單純地經(jīng)歷著時(shí)間的流逝，所以線元就簡(jiǎn)化成了
其中 dτ 就是冒險(xiǎn)者自己所感受到的時(shí)間變化。
兩個(gè)參照系中冒險(xiǎn)者的世界線是同一根，所以
現(xiàn)在，我們命令冒險(xiǎn)者懸停，于是 dr 和 dΩ 都是 0，式子就簡(jiǎn)化成了
如果懸停的位置滿足 r=1.01rs，就會(huì)有 dt≈10dτ，冒險(xiǎn)者的時(shí)鐘變得好慢！無窮遠(yuǎn)處的觀者不得不等上十年，才能看到冒險(xiǎn)者長了一歲，這就是引力場(chǎng)所產(chǎn)生的時(shí)間膨脹效應(yīng)。如果冒險(xiǎn)者此時(shí)向遠(yuǎn)處發(fā)射一道光，那么等光到達(dá)遠(yuǎn)處的觀者時(shí)頻率已經(jīng)下降為出發(fā)時(shí)的十分之一，也就是產(chǎn)生了嚴(yán)重的紅移。
當(dāng)冒險(xiǎn)者的位置無限接近 rs 時(shí)，時(shí)間膨脹也無限接近無窮大。盡管冒險(xiǎn)者自己仍然體驗(yàn)著正常的時(shí)間流逝，但在遠(yuǎn)處的觀者看來，冒險(xiǎn)者的時(shí)間已近乎停止，其發(fā)出的光，頻率也無限接近零。也就是說，源自視界處的光，無法將能量傳遞到遠(yuǎn)方。忽然想到有那么多電視節(jié)目甚至電臺(tái)都樂意取“視界”做名字，不免讓人感覺……
空間維變成時(shí)間維
說回物理，我們來看看冒險(xiǎn)者穿過視界進(jìn)入黑洞內(nèi)部之后的情景。也許有人會(huì)提出質(zhì)疑：冒險(xiǎn)者在視界處已經(jīng)達(dá)到了時(shí)間膨脹的極限，遠(yuǎn)處的觀者即使等到地老天荒宇宙毀滅也無法等來冒險(xiǎn)者穿過視界的時(shí)刻呀？
小啦，格局小啦。
雖然遠(yuǎn)處的觀者在自己所體驗(yàn)的時(shí)間里等不到，但不代表冒險(xiǎn)者無法到達(dá)。事實(shí)上，按照冒險(xiǎn)者自己所體驗(yàn)的時(shí)間，他完全可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并順利穿過視界。當(dāng)然他最好有非常堅(jiān)硬的鎧甲和非常微小的身軀，以免被潮汐力扯碎。
當(dāng) r＜rs 時(shí)，冒險(xiǎn)者就進(jìn)入了單向區(qū)，我們來看看這里的時(shí)間與空間是如何互換的。
此時(shí)
仍然成立。
為了使冒險(xiǎn)者感受到的時(shí)間 dτ 是實(shí)數(shù)，等號(hào)左邊也必須是負(fù)數(shù)，而 r＜rs 時(shí)
只能依靠
這項(xiàng)的貢獻(xiàn)。
也就是說，進(jìn)入視界之后的冒險(xiǎn)者，根本無法再懸停在任何地方，他必須不斷靠近黑洞中心，才能感受到時(shí)間的流逝。或者干脆說，在遠(yuǎn)處觀者參照系中的空間維度 r，與冒險(xiǎn)者參照系中的時(shí)間維度 τ，建立起了奇妙的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)冒險(xiǎn)者來說，r 不再是個(gè)能來回移動(dòng)的空間維度，而是變成了時(shí)間一樣的單向維度。
RN 度規(guī)和克爾度規(guī)
通過前面對(duì)史瓦西度規(guī)的了解，我們發(fā)現(xiàn)原來黑洞的視界就出現(xiàn)在度規(guī)的某個(gè)分量為零或者發(fā)散的地方。依照這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，識(shí)別其他類型黑洞的視界，自然也可以手到擒來。僅帶電，不自轉(zhuǎn)的 RN 度規(guī)是這樣的：
其中
確定視界的位置非常簡(jiǎn)單，只需要解個(gè)小方程
就得到
這就是 RN 黑洞的內(nèi)外兩個(gè)視界。
當(dāng) r-＜r＜r+ 時(shí)，也就是兩層視界之間的部分，gtt＞0，grr＜0，就出現(xiàn)了空間維 r 變成單向維度的情形。而在 r＜r-的區(qū)域，gtt＜0，grr＞0，時(shí)間維和空間維重新回到普通的樣子。
能夠堅(jiān)持讀到這里的讀者，估計(jì)此時(shí)會(huì)產(chǎn)生一種幻覺 —— 什么神秘兮兮的時(shí)空彎曲，原來也就不過如此嘛！好吧，那讓我們?cè)賮砜纯床粠щ?，僅帶有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量 J 的克爾度規(guī)。
其中
顯然，這個(gè)度規(guī)所刻畫的時(shí)空結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比史瓦西度規(guī)和 RN 度規(guī)復(fù)雜得多，所以也經(jīng)歷了更長的時(shí)間才被計(jì)算出來。史瓦西度規(guī)早在 1915 年就被發(fā)現(xiàn)，RN 度規(guī)也在 1916~1918 年間被發(fā)現(xiàn)，而克爾度規(guī)的精確解卻要等到 1963 年。
克爾度規(guī)不僅復(fù)雜而且重要，因?yàn)橛钪嬷械奶祗w都或多或少具有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，只有克爾度規(guī)才能更準(zhǔn)確地反映這些天體的運(yùn)動(dòng)和演化。相較而言，史瓦西度規(guī)和 RN 度規(guī)就顯得過于簡(jiǎn)化，甚至遺漏掉了許多真實(shí)宇宙中的有趣內(nèi)容。
轉(zhuǎn)動(dòng)的黑洞可以發(fā)電
在史瓦西度規(guī)和 RN 度規(guī)中，gtt=0 的位置恰好也是 grr→∞的位置，于是這個(gè)位置就順理成章地被定義為黑洞的視界?？墒窃诳藸柖纫?guī)中，滿足這兩個(gè)條件的位置不再重合。
解 gtt=0 這個(gè)方程得到
解這個(gè)方程得到
這兩組解對(duì)應(yīng)四個(gè)界面，應(yīng)該把哪些定義成視界呢？
回憶前面對(duì)冒險(xiǎn)者旅程的描述，我們可以總結(jié)出兩條結(jié)論：
當(dāng)冒險(xiǎn)者懸停在空間某一位置時(shí)，他的時(shí)間流逝速度在遠(yuǎn)處觀者看來正比于，當(dāng) gtt=0 時(shí)，遠(yuǎn)處觀者所看到的冒險(xiǎn)者就徹底靜止了。
在 gtt＜0 的地方，空間維 r 變成了像時(shí)間維 t 一樣的單向維度，冒險(xiǎn)者無法懸停在空間一點(diǎn)，必須沿 r 方向持續(xù)單向運(yùn)動(dòng)。
這兩條對(duì)所有時(shí)空都是普適的，也可以用來考察克爾度規(guī)。
如果讓冒險(xiǎn)者前往一個(gè)克爾黑洞，當(dāng)他到達(dá) rE+ 位置的時(shí)候，在遠(yuǎn)處的我們看來，他就已經(jīng)靜止了，但其實(shí)他自己還能繼續(xù)向前，而且即使進(jìn)入了 r＜rE+ 的區(qū)域，理論上仍然存在逃離的可能性。只有他進(jìn)入 r＜rH+ 的區(qū)域后，才真正被黑洞捕獲，被不可逆轉(zhuǎn)地拖向 rH-位置。
所以 rH 才是黑洞的事件視界，而 rE 的位置被命名為靜止面，也叫無限紅移面，在這個(gè)位置以降的地方所發(fā)出的光，都無法將能量攜帶到遠(yuǎn)方。細(xì)心的讀者也許會(huì)問，連光都無法逃離的地方，冒險(xiǎn)者又如何能逃離呢？這就跟 rE 至 rH 之間這片區(qū)域的特殊幾何特性有關(guān)了。
在這個(gè)區(qū)域，gtt＞0 且 grr＞0，似乎時(shí)間維和 r 維度都變成了“空間維度”，為了讓冒險(xiǎn)者擁有實(shí)數(shù)的時(shí)間 τ，必須在線元表達(dá)式里找到一個(gè)負(fù)數(shù)的貢獻(xiàn)。
就成了唯一可指望的貢獻(xiàn)來源?？梢姡?rE 至 rH 間的區(qū)域內(nèi)，Φ 是一個(gè)無法停止永遠(yuǎn)單向變化的維度。這就是自轉(zhuǎn)的黑洞對(duì)周圍的空間所產(chǎn)生的極端拖拽效應(yīng)。
這片時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)著的時(shí)空被稱為能層，因?yàn)槠渲刑N(yùn)含著一種特殊的能量，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域的的冒險(xiǎn)者可以逆著轉(zhuǎn)動(dòng)方向拋出一個(gè)有質(zhì)量的物體，自己就可以獲得許多能量，繼而利用這些能量來逃離出靜止面。這個(gè)丟車保帥獲取能量的做法叫作“彭羅斯過程”（Penrose process），是彭羅斯在 1969 年發(fā)現(xiàn)的。
我們知道質(zhì)量就是能量的一種形式，而彭羅斯過程本質(zhì)上就是利用克爾黑洞的能層將質(zhì)量?jī)稉Q成能量的方法。而且這種能量?jī)稉Q方式的效率非常高，我們投喂給黑洞的質(zhì)量中，理論上最多可以有 29% 轉(zhuǎn)化為我們獲取的能量。別看這個(gè)效率大概跟用煤燒開水的效率差不多，但別忘了我們的分母不是煤炭中的化學(xué)能，而是整坨物質(zhì)的質(zhì)量。
事件視界的形狀
帶有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量 J 和電荷 Q 的克爾-紐曼度規(guī)是克爾度規(guī)的一個(gè)小小擴(kuò)展。
可以看出這個(gè)度規(guī)與克爾度規(guī)所描述的時(shí)空結(jié)構(gòu)基本沒有太多差別，我們同樣可以通過 gtt=0 和這兩個(gè)方程找到靜止面和事件視界的位置。
和
這里需要做些補(bǔ)充說明。無論克爾黑洞還是克爾-紐曼黑洞，其事件視界的計(jì)算結(jié)果都是 rH 為坐標(biāo)參數(shù)無關(guān)的確定值，似乎應(yīng)該是個(gè)球面?？蔀槭裁辞懊娼o出的圖像中，把視界畫成南瓜形呢？
其實(shí)這也是時(shí)空被扭曲后的一種結(jié)果。如果令 r=rH，dt=dr=0，也就是固定住時(shí)間，并把位置固定在 rH 處，克爾度規(guī)的線元表達(dá)式就變成了
這個(gè)表達(dá)式顯然不具備球?qū)ΨQ性。
不過，我們也不能粗暴地說這就是冒險(xiǎn)者眼中“看”到的黑洞，因?yàn)闋砍兜焦饩€傳播路線問題，會(huì)使問題更復(fù)雜。我們只能讓冒險(xiǎn)者閉上眼睛，躲過光線的欺騙，用手去觸達(dá)實(shí)際空間位置。由于黑洞處的時(shí)空嚴(yán)重扭曲，冒險(xiǎn)者會(huì)發(fā)現(xiàn)，最初遠(yuǎn)處觀者交給他的一個(gè)球形 3 維指示圖，在黑洞里會(huì)變成扁南瓜的樣子。
問題總比答案多
黑洞有關(guān)的研究課題實(shí)在太多太多了，除了頗受關(guān)注的黑洞熱力學(xué)和信息悖論之外，僅時(shí)空幾何本身的許多性質(zhì)，至今都是活躍的研究前沿。比如奇點(diǎn)對(duì)時(shí)空因果結(jié)構(gòu)的破壞，就使許多研究者非常不安：既然無法從理論上消滅它，就非常希望它永遠(yuǎn)藏在事件視界之內(nèi)，不要暴露在我們可觸及的時(shí)空之中。
然而前面在計(jì)算 rH 的時(shí)候可以看出，如果 rQ 或者 a 足夠大，也就是電荷或角動(dòng)量足夠大，那么從數(shù)學(xué)上確實(shí)有可能出現(xiàn) rH 無解的情況，對(duì)應(yīng)著不存在事件視界的時(shí)空結(jié)構(gòu)。倘若如此，奇點(diǎn)就會(huì)裸露在我們面前，這是物理學(xué)家們內(nèi)心非?？咕艿膱?chǎng)景。為此彭羅斯提出了“宇宙監(jiān)督假說”（Cosmic censorship hypothesis），認(rèn)為宇宙一定有某種機(jī)制來防止裸奇點(diǎn)的出現(xiàn)。至于這種機(jī)制到底是什么，至今也沒有特別有力的理論機(jī)制。
另外，自從知道黑洞是個(gè)超高能量轉(zhuǎn)換器之后，其自身結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，也成了物理學(xué)家們擔(dān)憂的問題。就像生產(chǎn)火藥的車間更容易發(fā)生爆炸一樣，一個(gè)進(jìn)入黑洞的粒子也許會(huì)因?yàn)榕及l(fā)的衰變而獲得巨大的能量，這些能量也許會(huì)使粒子自己原地變身成一個(gè)小黑洞。如果真有這種過程出現(xiàn)，這個(gè)小黑洞也許就會(huì)對(duì)大黑洞的時(shí)空結(jié)構(gòu)造成不可逆轉(zhuǎn)的破壞，甚至導(dǎo)致大黑洞整體結(jié)構(gòu)的徹底崩潰。
對(duì)克爾黑洞自身結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究是個(gè)非常艱深的課題，自 1963 年至今近 60 年時(shí)間里進(jìn)展一直比較緩慢。2022 年 5 月，哥倫比亞大學(xué)和普林斯頓大學(xué)的幾位研究者在一篇長達(dá) 912 頁的論文中，終于從數(shù)學(xué)上給出了 a<<rs 條件下克爾黑洞的穩(wěn)定性證明 [1]。這篇論文的證明過程還用到了幾位研究者在過去幾年中陸續(xù)得到的二十幾條引理，如果把先前鋪墊引理的論文算在一起，總共有 2100 頁之多！足見這一問題在數(shù)學(xué)上的復(fù)雜程度。
盡管與黑洞相關(guān)的課題都是如此難啃的硬骨頭，但同時(shí)這些問題也都關(guān)乎我們這個(gè)宇宙最基本的規(guī)律和法則。對(duì)這些問題的深入研究，即使無法立刻得到明確答案，也會(huì)成為“下金蛋的母雞”，我們會(huì)創(chuàng)造更豐富的工具并不斷刷新我們的認(rèn)知。
文獻(xiàn)
[1] arXiv:2205.14808 [math.AP]
出品：科普中國
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