本文來自微信公眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：Ian Stewart
挪威數(shù)學(xué)家索菲斯?李因視力欠佳，“棄醫(yī)從理”走上學(xué)術(shù)道路。這一路他遇到了克萊因、庫默爾、魏爾施特拉斯等大數(shù)學(xué)家。他也開創(chuàng)了自己的輝煌，甚至其意義超越了其最初的想象：為了找到一種類比伽羅瓦理論的微分方程理論，判定微分方程能否求解，索菲斯?李發(fā)現(xiàn)了連續(xù)群 —— 李群，這一劃時代的工具完全改變了數(shù)學(xué)和物理的發(fā)展。
撰文 | 伊恩?斯圖爾特（Ian Stewart）
翻譯丨李思塵、張秉宇
看待幾何的新方式
馬里烏斯?索菲斯?李（Marius Sophus Lie）走上科學(xué)之路完全是因為視力太差而無法擔任任何軍職。當索菲斯 —— 人們后來這樣稱呼他 ——1865 年從克里斯蒂安尼亞大學(xué)（編者注：今奧斯陸大學(xué)）畢業(yè)的時候，他只上過很少的幾門數(shù)學(xué)課，其中包括一門由挪威人盧德維格?西洛（Ludwig Sylow）講授的伽羅瓦理論，但他在這一領(lǐng)域并沒有表現(xiàn)出任何過人的天賦。他曾一度猶豫不決 —— 他知道自己想要走學(xué)術(shù)研究的道路，但不確定應(yīng)該研究哪個領(lǐng)域，是植物學(xué)、動物學(xué)抑或是天文學(xué)。
不過大學(xué)圖書館的借書記錄顯示，他借閱了越來越多的數(shù)學(xué)書籍。1867 年的一個午夜，他茅塞頓開，看清了自己將畢生為之奮斗的事業(yè)。他的朋友恩斯特?莫茨費爾特（Ernst Motzfeldt）在睡夢中被激動萬分的李驚醒，只見他大喊著：“我找到它了，它是那么簡單！”
他所找到的是一種看待幾何的新方式。
李開始研究偉大幾何學(xué)家的工作，比如德國數(shù)學(xué)家尤利烏斯?普呂克（Julius Plücker）和法國數(shù)學(xué)家讓–維克托?彭賽列（Jean-VictorPoncelet）等。從普呂克那里，他學(xué)習(xí)到幾何體的基本元素不是人們熟悉的、歐幾里得提出的點，而是直線、平面、圓這些其他的對象。
1869 年，他自費發(fā)表了一篇論文，概括了他的主要思想。他認識到自己的思想正如先前的伽羅瓦和阿貝爾一樣，對于保守派來說太過超前激進，普通的期刊都不愿意發(fā)表他的研究。但恩斯特鼓勵他堅持做自己的幾何研究，在他的支持下，李一直沒有氣餒。最終，李的一篇論文在一家知名期刊發(fā)表，反響熱烈。這讓李獲得了一筆資助，他終于有錢去各地拜訪頂尖的數(shù)學(xué)家，與他們討論自己的想法。他去了孕育了普魯士和德意志無數(shù)數(shù)學(xué)家的搖籃 —— 哥廷根和柏林，與代數(shù)學(xué)家利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）和恩斯特?庫默爾（Ernst Kummer），以及分析學(xué)家卡爾?魏爾施特拉斯（Karl Weierstrass）進行討論。庫默爾的數(shù)學(xué)研究方法給他留下了深刻印象，而魏爾施特拉斯的方法則沒有引起他太多的注意。
最重要的會面則是在柏林拜訪費利克斯?克萊因（Felix Klein）—— 他恰巧是李十分仰慕并希望效仿的普呂克的學(xué)生。李和克萊因的數(shù)學(xué)背景非常相似，但他們的風(fēng)格卻大相徑庭?？巳R因基本上是一個傾向于幾何的代數(shù)學(xué)家，喜歡鉆研一些充滿內(nèi)在美的具體問題；而李則是一個分析學(xué)家，喜愛一般理論的全面與廣闊。諷刺的是，正是李的一般理論為數(shù)學(xué)提供了一些最重要的特殊結(jié)構(gòu)，時至今日它們依然格外優(yōu)美、格外深刻，其中大部分都是代數(shù)結(jié)構(gòu)。如果不是李將理論推向普適化，這些結(jié)構(gòu)可能根本就不會被發(fā)現(xiàn)。如果你嘗試去理解某個類別中所有的數(shù)學(xué)對象，并且成功了的話，你會不可避免地發(fā)現(xiàn)其中有很多都具備特殊的性質(zhì)。
1870 年，李和克萊因在巴黎再次相會。在那里，李受到若爾當（Camille Jordan）的影響，把研究目標轉(zhuǎn)向了群論。越來越多的數(shù)學(xué)家認識到，幾何和群論是同一枚硬幣的兩面，但這種思想經(jīng)歷了漫長的時間才全面成型。李和克萊因合作完成了一些研究，嘗試進一步明確群與幾何之間的聯(lián)系。最終，克萊因在他 1872 年的“埃爾朗根綱領(lǐng)”中明確地提出了這一思想，說明幾何和群的本質(zhì)是一樣的。
用現(xiàn)在的語言表述起來，這一思想聽起來太過簡單，早就應(yīng)該是一目了然的了。對應(yīng)于任一給定幾何的群就是該幾何的對稱群。反之，對應(yīng)于一個群的幾何就是以該群為對稱群的任意幾何。也就是說，幾何是由在群的變換下保持不變的東西來定義的。
舉例來說，歐氏幾何中的對稱是平面中保持長度、角度、直線和圓不變的變換。它們所組成的就是平面中所有剛體運動的群。反之，一切在剛體運動中保持不變的對象都自然地屬于歐氏幾何的范圍內(nèi)。非歐幾何僅僅是使用了不同的變換群而已。
那么，為什么要費力地把幾何轉(zhuǎn)換為群論呢？因為這樣你就可以用兩種不同的方式來看待幾何，同時也有兩種不同的方式來看待群。有的時候用一種方式更易于理解，有的時候則是另一種。擁有兩種視角總比只有一種要好。
探索微分方程
法國和普魯士之間的關(guān)系急劇惡化。拿破侖三世認為他可以通過對普魯士開戰(zhàn)來支撐起他下滑的支持率。普魯士宰相俾斯麥向法國發(fā)出了一份措辭嚴厲、語氣尖銳的電報，普法戰(zhàn)爭于 1870 年 7 月 19 日正式爆發(fā)?？巳R因，一個生活在巴黎的普魯士人，明智地選擇了返回柏林。
然而李是挪威人，并且非常享受自己在巴黎的訪問，于是他決定留下來。但當他意識到法國即將戰(zhàn)敗、德軍正向梅斯挺進的時候，他改變了主意。盡管他是中立國的國民，但在潛在的戰(zhàn)爭區(qū)停留仍然并不安全。
李決定迅速動身，向意大利進發(fā)。但他沒能走遠：法國當局在巴黎東南大約 25 英里（約 40 千米）的楓丹白露抓住了他，而他隨身攜帶著許多文件，上面寫滿了難以理解的符號。由于這些符號看起來顯然是密文，他被當作德軍間諜逮捕入獄。法國頂尖數(shù)學(xué)家加斯東?達布（Gaston Darboux）介入后，才說服了當局相信那些符號是數(shù)學(xué)推演。李得以獲釋，隨后法軍投降，德軍封鎖了巴黎，而李再一次前往意大利 —— 這次他成功了。他從意大利返回了挪威。途中他還順便拜訪了安全地留在柏林的克萊因。
1872 年，李獲得了博士學(xué)位。李的研究深深震動了挪威學(xué)術(shù)界，以至于克里斯蒂安尼亞大學(xué)同年專門為他設(shè)立了一個職位。他和從前的老師盧德維格?西洛一起，開始著手編輯收集到的阿貝爾的研究。1874 年他娶了安娜?比爾克，他們一共生下了三個孩子。
此時，李已把研究重點集中在了一個他認為發(fā)展時機已經(jīng)足夠成熟的特定主題上。數(shù)學(xué)中有很多不同種類的方程，但其中有兩類格外重要。第一類是代數(shù)方程，已經(jīng)被阿貝爾和伽羅瓦充分地研究過了。第二類是微分方程，是牛頓在他關(guān)于自然規(guī)律的研究中引入的。這種方程涉及微積分的概念，與直接描述物理量不同，它們描述的是物理量隨時間如何變化。更準確地說，它們給出的是這個量的變化率。例如，牛頓最重要的運動定律說的是，一個物體的加速度與作用在該物體上的合力成正比。加速度就是速度的變化率。定律沒有直接告訴我們這個物體的速度，而是告訴了我們速度的變化率。與之類似，牛頓提出的另一個解釋物體在冷卻時溫度如何改變的方程，說的是溫度的變化率與物體溫度和周圍環(huán)境溫度的差成正比。
物理學(xué)中很多重要的方程 —— 關(guān)于流體流動、引力作用、行星運動、熱的傳遞、波的運動、磁性作用，以及光和聲的傳播等 —— 都是微分方程。牛頓最先認識到，如果去留意我們想要觀察的量的變化率，而不是只盯著這些量本身，大自然的規(guī)律往往會變得更加簡單，也更容易被發(fā)現(xiàn)。
李給自己提出了一個重大的問題：是否存在一種類比于伽羅瓦的代數(shù)方程理論的微分方程理論？是否存在某種方式來判定一個微分方程什么時候可以用特定的方法求解？
問題的關(guān)鍵又一次回到了對稱性。李如今意識到，他在幾何上得到的一些結(jié)果可以重新用微分方程的語言來闡釋。一旦有了某個特定微分方程的一個解，李就可以對它施加（來自某個特定的群的）某種變換，然后證明結(jié)果同樣是方程的一個解。從一個解可以得到很多個解，全部由這個群關(guān)聯(lián)起來。換言之，這個群是由微分方程的對稱組成的。
這是個明顯的暗示，暗示有某種優(yōu)美的理論亟待發(fā)現(xiàn)?；叵胍幌沦ち_瓦對對稱性的應(yīng)用給代數(shù)方程帶來了什么 —— 現(xiàn)在想象一下，如果同樣的事情發(fā)生在重要得多的微分方程身上，會怎么樣？
李群與李代數(shù)：比想象更偉大
伽羅瓦研究的群都是有限群。也就是說，群中包含的變換數(shù)量是一個有限的整數(shù)。舉例來說，由五次方程五個根的所有置換組成的群一共有 120 個元素。不過，還有很多有意義的群是無限群，包括微分方程的對稱群。
一個常見的無限群就是圓的對稱群，其中包含以任意角度旋轉(zhuǎn)這個圓的所有變換。因為可能的旋轉(zhuǎn)角度有無窮多個，所以圓的旋轉(zhuǎn)群是無限群。表示這個群的符號是 SO (2)。這里的 O 指的是“正交的”（orthogonal），意思是這些變換都是平面中的剛體運動，而 S 指的是“特殊的”（special）—— 旋轉(zhuǎn)不會把平面翻轉(zhuǎn)過來。
圓還具有無窮多條反射對稱軸。如果你沿著任意一條直徑反射這個圓，都會得到同樣的圓。在旋轉(zhuǎn)群中加上反射變換，就得到了一個更大的群，O (2)。
SO (2) 和 O (2) 是無限群，但屬于容易操控的一類。只要明確給出一個數(shù) —— 旋轉(zhuǎn)角度，各種不同的旋轉(zhuǎn)就都可以被確定下來了。當兩個旋轉(zhuǎn)組合起來時，你只需要把它們各自對應(yīng)的角度相加即可。李把這種情形稱為“連續(xù)的”，用他的術(shù)語來說，SO (2) 群就是一個連續(xù)群。而由于只需要用到一個數(shù)來確定角度，SO (2) 群也就是一維的。
O (2) 也一樣是一維的，因為我們所需要的只是一種區(qū)分反射和旋轉(zhuǎn)的方式，而在代數(shù)中這就是一個正負號的問題。
SO (2) 群是最簡單的李群。李群同時具有兩種結(jié)構(gòu)：它既是一個群，也是一個流形 —— 一個多維空間。對 SO (2) 來說，流形就是圓，而聯(lián)結(jié)圓上兩點的群運算，就是把兩個相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度相加。
李發(fā)現(xiàn)了李群的一個優(yōu)美的特點：李群的群結(jié)構(gòu)可以“線性化”。這就是說，李群所在的彎曲流形可以被替換為一個平直的歐幾里得空間。這個空間就是流形的切空間。對于 SO (2)，如圖 3 所示。
通過這種方式線性化后的群結(jié)構(gòu)賦予了切空間一個屬于自身的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這是一種“無窮小”版本的群結(jié)構(gòu)，描述了非常接近恒等變換的變換有怎樣的表現(xiàn)。這個結(jié)構(gòu)被稱作該群的李代數(shù)。它和群的維數(shù)相同，但是它的幾何形式簡單得多，是平坦的。
實現(xiàn)這樣的簡化當然要付出代價：李代數(shù)可以捕捉到對應(yīng)群的最重要的性質(zhì)，但會損失掉一些小細節(jié)，而且這些捕捉到的性質(zhì)也會發(fā)生細微的變化。盡管如此，通過轉(zhuǎn)換到李代數(shù)你依然可以了解到一個李群的很多性質(zhì)，而且絕大多數(shù)問題用李代數(shù)都更容易解答。
可以證明 —— 這是李的偉大洞察之一 —— 李代數(shù)上自然的代數(shù)操作不是乘積 AB，而是 AB – BA 的差，被稱作換位子（在物理學(xué)中被稱作對易子）。對于像 SO (2) 這樣滿足 AB = BA 的群，換位子等于 0。但對于三維線性空間上的旋轉(zhuǎn)群 SO (3) 這樣的群，除非 A 和 B 的旋轉(zhuǎn)軸重合或者相互垂直，否則 AB – BA 不會為 0。所以群的幾何特征在換位子的表現(xiàn)中得到了體現(xiàn)。
20 世紀初，隨著“微分域”理論的誕生，李建立微分方程版“伽羅瓦理論”的夢想終于成為現(xiàn)實。但事實證明，李群理論遠比李預(yù)期的更加重要，其應(yīng)用也更加廣泛。李群和李代數(shù)的理論不再只是判斷微分方程是否可以用特定方法求解的工具，而是幾乎已經(jīng)遍及所有的數(shù)學(xué)分支?！袄罾碚摗币呀?jīng)超越了它的創(chuàng)造者，變得比他能想象到的更加偉大。
事后來看，原因在于對稱性。對稱性已經(jīng)深入數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域之中，也是大部分數(shù)學(xué)物理基本思想的根基。對稱性表達了這個世界蘊藏的規(guī)律，正是這些規(guī)律推動著物理學(xué)不斷向前。旋轉(zhuǎn)等連續(xù)對稱與空間、時間和物質(zhì)的性質(zhì)緊密相連；它們暗示著各種守恒定律的存在，比如能量守恒定律，說的是封閉系統(tǒng)既不能獲得能量，也不會失去能量。對稱性與守恒定律之間的這種聯(lián)系是希爾伯特的學(xué)生埃米?諾特（Emmy Noether）發(fā)現(xiàn)的。
當然，下一步就是要去理解這些可能的李群，就像伽羅瓦和他的后繼者從有限群中整理出多種性質(zhì)一樣。
此時，另一位數(shù)學(xué)家加入了這場探尋。
作者簡介
伊恩?斯圖爾特（Ian Stewart），英國沃里克大學(xué)數(shù)學(xué)系榮退教授，英國皇家學(xué)會會員。曾獲英國皇家學(xué)會的法拉第獎?wù)拢绹茖W(xué)促進會的“公眾理解科學(xué)技術(shù)獎”和英國倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會與英國數(shù)學(xué)及應(yīng)用研究院頒發(fā)的“賽曼獎?wù)隆?。斯圖爾特著作頗豐，特別是在科普方面，《不可思議的數(shù)》《誰在擲骰子：不確定的數(shù)學(xué)》，F(xiàn)earful Symmetry: Is God a Geometer? 等作品。
本文經(jīng)授權(quán)摘自《迷人的對稱》（Why Beauty Is Truth: The History of Symmetry）（中信出版社?鸚鵡螺，2022 年 9 月版）第 10 章《立志從軍的近視眼與虛弱不堪的書呆子》，有刪減，標題為編者所加。
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