神奇沙堆中的數(shù)學(xué)：理解大自然的自組織

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：Jordan Ellenberg（威斯康星大學(xué)麥迪遜分校數(shù)學(xué)教授），編譯：許釗箐

你聽(tīng)說(shuō)過(guò)多米諾骨牌理論（Domino theory）嗎？這是冷戰(zhàn)時(shí)期美國(guó)為遏制共產(chǎn)主義提出的地緣政治理論，指社會(huì)主義國(guó)家會(huì)輻射影響周邊國(guó)家進(jìn)行社會(huì)主義變革。此理論極大地影響了美國(guó)二十世紀(jì)中期的外交政策，被用來(lái)為其霸權(quán)主義行為正名。但拋開(kāi)政治理論，在自然界確實(shí)也有類(lèi)似的多米諾骨牌行為，從物理學(xué)的角度上講，它應(yīng)該被稱為 “沙堆理論（sandpile theory）”。

現(xiàn)實(shí)世界的政權(quán)轉(zhuǎn)變往往不是有條不紊的發(fā)生，而是在突然間的協(xié)調(diào)配合下發(fā)生的，比如阿拉伯之春以及東歐劇變（最終蘇聯(lián)解體）。這些歷史事件中，平靜的時(shí)期里暗藏危機(jī)，然后在某一刻陡然倒塌。就像沙堆一樣，假如你在一個(gè)沙堆上頂部再放一些沙礫，沙堆可能在短時(shí)間內(nèi)沒(méi)有明顯變化。但是，頃刻間，類(lèi)似于一場(chǎng)雪崩，頂部的沙礫會(huì)以不規(guī)則的方式突然沖下，并且在過(guò)程中很可能引發(fā)小的次級(jí)流沙。

這個(gè)比喻不一定會(huì)給我們帶來(lái)什么。畢竟，真實(shí)的沙子很難去分析，就像現(xiàn)實(shí)世界的政治一樣。但奇跡也在這里，物理學(xué)家巴克（Per Bak），湯超（Chao Tang）和維森菲爾德（Kurt Wiesenfeld）在 1987 年提出了一種由沙堆的抽象而來(lái)的 “阿貝爾沙堆模型（Abelian sandpile model）”。這種模型在保持足夠簡(jiǎn)單以便于應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)研究的同時(shí)，似乎又可以刻畫(huà)真實(shí)沙堆的一些有趣但無(wú)序的特點(diǎn)，并且適用于其他一些源自生物學(xué)、物理學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的復(fù)雜系統(tǒng) [1]。

阿貝尓沙堆模型

它的過(guò)程是這樣的：我們可以想象一個(gè)無(wú)窮網(wǎng)格，在每一個(gè)網(wǎng)格上都有一小堆沙子，并在每一個(gè)格子內(nèi)用數(shù)字表示沙礫的數(shù)目。

但在垂直方向沙堆的高度是有一定限制的。所以這里假設(shè)每當(dāng)網(wǎng)格中沙礫數(shù)目到達(dá)四，則四粒沙礫會(huì)向周邊四個(gè)格子流散。所以如果初始是兩個(gè)網(wǎng)格中有四粒沙礫：

則沙堆流散之后左側(cè)的網(wǎng)格變成了：

此時(shí)右側(cè)網(wǎng)格已經(jīng)超過(guò)四粒的沙堆，那么它會(huì)繼續(xù)朝周邊的四個(gè)網(wǎng)格各流散一粒沙礫：

現(xiàn)在因?yàn)樗形恢玫纳车[數(shù)目都不超過(guò)四，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)都處在穩(wěn)定的狀態(tài)，所以沙堆流散的過(guò)程就停止了。

以上的分析過(guò)程中，我們先進(jìn)行的是原本兩個(gè)網(wǎng)格中左側(cè)的流散，其次是右側(cè)的。我們?nèi)绾沃滥膫€(gè)網(wǎng)格應(yīng)該先向四周流散呢？好消息是，選擇的順序并不重要。因?yàn)槲覀兛梢杂煞€(wěn)定狀態(tài)網(wǎng)格的對(duì)稱性得出，這種“阿貝爾沙堆”的最終狀態(tài)并不取決于我們選擇模擬流沙網(wǎng)格的順序。這也是其取名為阿貝爾的原因，意味著我們選擇的先后順序不影響最后的結(jié)果。[譯者注：數(shù)學(xué)命名中的阿貝爾通常是為了紀(jì)念挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯?阿貝爾 (Niels Henrik Abel，1802-1829)。他開(kāi)啟了許多領(lǐng)域的研究，并以證明五次方程的根式通解不存在以及橢圓函數(shù)的研究聞名。盡管他數(shù)學(xué)成就極高，但其生活遇到了很多困難，最后因肺結(jié)核不滿 27 歲逝世。]

比如說(shuō)，加法這種運(yùn)算是阿貝爾的，我們指加法中元素是可以交換的：先加 2 再加 3 等價(jià)于先加 3 再加 2。但是大多數(shù)的運(yùn)算或操作都不是阿貝爾的。比如說(shuō)先解鎖汽車(chē)，再拉開(kāi)車(chē)門(mén)，那么車(chē)門(mén)就打開(kāi)了；但是先拉車(chē)門(mén)，再解鎖汽車(chē)，得到結(jié)果完全不同 —— 車(chē)門(mén)還是關(guān)閉的。所以沙堆的阿貝爾性質(zhì)可以算是一個(gè)驚喜。

那么你可能會(huì)問(wèn)，如果我們?cè)谝粋€(gè)網(wǎng)格上放很多很多沙礫，比如說(shuō)一百萬(wàn)粒，會(huì)發(fā)生什么？當(dāng)沙礫向四周不斷流散，最后穩(wěn)定下來(lái)時(shí)會(huì)是什么樣子？你可能會(huì)想象最后會(huì)是一個(gè)巨大平整的沙堆，其中接近中心的一個(gè)很大的區(qū)域會(huì)有很多包含三個(gè)沙礫的網(wǎng)格。

但并不是這樣。下面這幅圖展現(xiàn)了最終穩(wěn)定后的網(wǎng)格情況：

好吧，會(huì)不會(huì)是一百萬(wàn)不足以使得沙堆數(shù)量是光滑變化的？如果我們用十億粒沙礫呢，會(huì)得到一個(gè)平坦的大的沙堆嗎？最終的圖像是這樣的：

我們期待的平坦情況沒(méi)有出現(xiàn)。相反，那些奇異的分形圖樣持續(xù)存在。在接近中心的地方，復(fù)雜的圖案就像是一個(gè)圓頂，其內(nèi)部還鑲嵌著很多格子，看起來(lái)是某種幾何圖案但又像是隨機(jī)的；在沙堆的邊界，則是眾多一致的三角形，以規(guī)則的模式緊密連接。

這些圖片是由卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)教授 Wes Pegden 及合作者康奈爾大學(xué)的 Lionel Levine 和 Charlie Smart 在沙堆的前沿研究中繪制的 [2]。在 Pegden 教授的網(wǎng)站上，甚至可以看到十億粒沙堆的交互式的圖片，我們可以將其放大或者移動(dòng)到任何位置再放大，比如直接觀察沙堆的中心：

或者看到外緣尖銳怪異的細(xì)節(jié)：

如果仔細(xì)觀察，你還可以觀察到更精細(xì)的局部結(jié)構(gòu)。像很多數(shù)學(xué)文章一樣，我們?cè)谶@里給感興趣的讀者一個(gè)家庭作業(yè)：沙堆穩(wěn)定之后，請(qǐng)說(shuō)明兩個(gè)鄰近網(wǎng)格為什么不可能同時(shí)為空？（有答案！）事實(shí)上，一些實(shí)驗(yàn)表明，我們可能有更強(qiáng)的結(jié)論：空的網(wǎng)格不僅不會(huì)相鄰，它們甚至傾向于不接近彼此，就像帶相同電荷的粒子，它們會(huì)相互排斥。

參考解答：假設(shè)現(xiàn)在有相鄰的格子 1 和格子 2。并且兩個(gè)網(wǎng)格在沙堆的內(nèi)部而不是邊緣，所以我們不妨假設(shè)格子 1 是兩個(gè)格子中在穩(wěn)定之前最后向四周流散的那個(gè)。那么當(dāng)格子 1 中的沙礫向相鄰格子流散時(shí)，格子 2 就會(huì)包含一粒來(lái)自格子 1 的沙礫。但是因?yàn)楦褡?1 是最后流散的那個(gè)，格子 2 的沙礫并沒(méi)有流失，因此兩個(gè)格子不會(huì)同時(shí)為空。

復(fù)雜中所蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單規(guī)律

在你真的去拿顯微鏡觀察沙堆之前，我不得不提醒你，真正的沙堆是不會(huì)產(chǎn)生這種自發(fā)性的結(jié)構(gòu)的 [3]。這里的阿貝爾沙堆模型甚至不具有模擬真實(shí)物理材料的性質(zhì)。相反，我們看到的所有復(fù)雜性都來(lái)自于一個(gè)抽象、簡(jiǎn)單的確定性算法，甚至只用五行代碼就可以寫(xiě)下。這不禁讓人想到約翰?康威（John Conway）的《生命游戲》（Conway's Game of Life，https://playgameoflife.com/ ）。這個(gè)游戲也是從非常簡(jiǎn)單的規(guī)則中產(chǎn)生了豐富的復(fù)雜性。就像《生命游戲》一樣，阿貝爾沙堆也是一個(gè)元胞自動(dòng)機(jī)（cellular automaton）：它是一個(gè)微型的宇宙，其中的運(yùn)行規(guī)律可以被計(jì)算機(jī)可接受的離散語(yǔ)言全然描述。在沙堆中，每個(gè)網(wǎng)格都具有從 0 到 4 中的一個(gè)數(shù)字，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)則決定相鄰網(wǎng)格的值。而在《生命游戲》中，網(wǎng)格的狀態(tài)更為簡(jiǎn)單，每個(gè)狀態(tài)非生（值為 1）即死（值為 0）。

但是兩者還是有區(qū)別的：《生命游戲》作為一種典型的元胞自動(dòng)機(jī)，復(fù)雜的行為可以出現(xiàn)，但更傾向于簡(jiǎn)單的模式 [4]；但是對(duì)于沙堆模型，我們似乎不需要特別設(shè)置初始條件，它就會(huì)自動(dòng)趨向復(fù)雜的模式。

實(shí)際上，沙堆中復(fù)雜行為的出現(xiàn)取決于一個(gè)所謂的臨界閾值，在這個(gè)值附近，往往會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的行為。我們對(duì)于自然界中的臨界閾值這一概念是很熟悉的：水在較高溫度下是一種無(wú)序的液體，但是當(dāng)溫度下降到達(dá)某個(gè)臨界值，水就會(huì)發(fā)生巨大的轉(zhuǎn)變 —— 結(jié)晶成冰。而對(duì)于沙堆來(lái)說(shuō)，它的密度就類(lèi)似于水的溫度。（這里的密度是指平均每個(gè)網(wǎng)格中有多少的沙礫。）如果有太多的沙礫，沙堆就會(huì)不穩(wěn)定，“雪崩”隨之發(fā)生；如果沙礫太少，沙堆則會(huì)很快穩(wěn)定下來(lái)。那么多少算是我們說(shuō)的太多呢？事實(shí)上，這個(gè)答案出乎意料的簡(jiǎn)單。巨大變化和微小變化的分界線是：平均每個(gè)網(wǎng)格里 2.125 粒沙礫。

值得注意的是，在網(wǎng)格有限，并假設(shè)當(dāng)沙礫到達(dá)邊緣格子時(shí)再流散就會(huì)消失的情況下，平均每個(gè)網(wǎng)格的沙礫數(shù)會(huì)是 2.125。在一開(kāi)始，所有的網(wǎng)格都是空的，我們一粒一粒地將沙礫放至中心的那個(gè)網(wǎng)格。一段時(shí)間后，沙堆開(kāi)始向四周流散，會(huì)慢慢形成類(lèi)似于我們之前展示過(guò)的 Pegden 教授生成的圖像（這個(gè)圖像是假設(shè)網(wǎng)格在所有方向都有無(wú)限多個(gè)。）我們?nèi)酉乱涣Ｉ?，待沙堆穩(wěn)定后，就再扔下一粒，這樣沙礫會(huì)越來(lái)越多。但如果沙礫到達(dá)邊緣，流散出去的沙礫就消失了。此后沙堆會(huì)接近一個(gè)平衡：沙礫在邊界掉落的速率等于我們?cè)黾由车[的速率，密度會(huì)在某個(gè)臨界值穩(wěn)定下來(lái)。當(dāng)然，系統(tǒng)會(huì)有局部波動(dòng)，隨著時(shí)間推移，密度低的地方和密度高的地方會(huì)有一定的交替變化，但對(duì)于整體，平均每個(gè)網(wǎng)格沙礫數(shù)會(huì)在 2.125 粒左右。

如果一開(kāi)始我們盡可能地將每個(gè)網(wǎng)格布滿沙礫，即每個(gè)網(wǎng)格放置 3 粒，那會(huì)發(fā)生什么呢？這種初始布局是穩(wěn)定的，但它是很脆弱的穩(wěn)定。我們?cè)谌我庖粋€(gè)網(wǎng)格放置一粒沙礫，之后一場(chǎng)巨大的“雪崩”就開(kāi)始了，直到密度下降到 2.125 它才會(huì)停止。

那么，當(dāng)沙礫密度到達(dá)臨界值時(shí)會(huì)發(fā)生什么？這時(shí)的沙堆會(huì)處在最有趣的狀態(tài)。向四周流散的過(guò)程一直在發(fā)生，但卻不是持續(xù)的大范圍混亂狀態(tài)；相反，流散會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似于海浪一波接一波，不時(shí)也會(huì)發(fā)生罕見(jiàn)的橫跨所有網(wǎng)格的雪崩災(zāi)難。而流散活動(dòng)在閾值密度下的分布似乎遵從冪律，流散活動(dòng)的頻率和它的規(guī)模成反比。其中也有持續(xù)的流散活動(dòng)，但它們是有某種結(jié)構(gòu)和規(guī)律的。不僅如此，為了展示其復(fù)雜的行為，沙堆不需要做精細(xì)的調(diào)整，它自己具備調(diào)整的能力。不論系統(tǒng)從哪里開(kāi)始，只要新的沙礫以常數(shù)速率增加，系統(tǒng)都會(huì)通向臨界閾值狀態(tài)。

眼見(jiàn)為實(shí)。美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所（NIST）的 R.M. Dimeo 就制作了一個(gè)系列沙堆處于臨界狀態(tài)的無(wú)聊電影。

對(duì)我來(lái)說(shuō)，這個(gè)過(guò)程看起來(lái)就像是有生命力的，而不是一個(gè)巧合。思考豐富的生命結(jié)構(gòu)是如何從簡(jiǎn)單系統(tǒng)中涌現(xiàn)出來(lái)的，它們會(huì)自動(dòng)尋找臨界閾值，使用自組織臨界性的概念是一種流行的方式。一些生物學(xué)家認(rèn)為自組織臨界性是復(fù)雜生物行為的潛在統(tǒng)一理論。這一理論支配著一群鳥(niǎo)兒同步飛行的模式，就像遺傳信息支配鳥(niǎo)兒個(gè)體的發(fā)展一樣 [5]。理論生物學(xué)家斯圖亞特?考夫曼（Stuart Kauffman）寫(xiě)道，“生命系統(tǒng)存在于臨近混亂邊緣的一個(gè)穩(wěn)固的狀態(tài)，是自然選擇實(shí)現(xiàn)并維持了這種平衡狀態(tài)?！?就像是我們討論的沙堆。它當(dāng)然不是一個(gè)生命，但它卻生機(jī)勃勃，不是嗎？

沙堆是第一個(gè)，也是被研究的最多的自組織臨界性的例子。此外還有很多其他的例子。（在 Pegden 教授的網(wǎng)站上還有一些。） 但是，我們并不知道沙堆的散落規(guī)則到底是什么，為什么它使得系統(tǒng)不可避免地朝著復(fù)雜的臨界狀態(tài)發(fā)展；也不清楚哪些元胞自動(dòng)機(jī)可能表現(xiàn)出這種自組織臨界性。

一些深刻的理解可能會(huì)從沙堆理論和其他數(shù)學(xué)理論的驚人聯(lián)系中產(chǎn)生。對(duì)于我這樣的幾何學(xué)家來(lái)說(shuō)，沙堆理論與最近新興的熱帶幾何學(xué)理論（tropical geometry）有關(guān)，該領(lǐng)域的目標(biāo)是用類(lèi)似的離散幾何現(xiàn)象來(lái)模擬連續(xù)的幾何現(xiàn)象。[譯者注：熱帶幾何學(xué)理論是首先由巴西數(shù)學(xué)家及計(jì)算機(jī)科學(xué)家伊姆雷?西蒙（Imre Simon）于 1980 年代發(fā)展，“熱帶”一詞源于部分法國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)于巴西的刻板印象。熱帶幾何可以看成是分片線性化的代數(shù)幾何，在計(jì)數(shù)代數(shù)幾何中有重要的應(yīng)用。]

對(duì)于概率學(xué)家來(lái)說(shuō)，沙堆與所謂的生成樹(shù)密切相關(guān)。生成樹(shù)（在方形網(wǎng)格上）是一個(gè)分支路徑，它接觸網(wǎng)格上的每個(gè)點(diǎn)，但不會(huì)形成閉合的回路。無(wú)論這些理解是來(lái)自于哪里，沙堆理論提醒我們，數(shù)學(xué)中非常有趣的現(xiàn)象，就像物理學(xué)很多有趣的現(xiàn)象，經(jīng)常出現(xiàn)在相變之中。就是在這里，我們處于兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)理論之間，既擁有它們的特征，又可以跨越邊界傳遞信息和問(wèn)題。當(dāng)然通常來(lái)說(shuō)，問(wèn)題總是比答案多。

參考資料

• [1] Bak, P., Tang, C., & Wiesenfeld, K. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise. Physical Review Letters 59, 381-384 (1987).

• [2] Levine, L., Pegden, W., & Smart, C.K. Apollonian structure in the Abelian sandpile. preprint arXiv.:1208.4839 (2014).

• [3] Mehta, A. & Barker, G.C. Disorder, memory and avalanches in sandpiles. Europhysics Letters 27, 501-506 (1994).

• [4] Aron, J. First replicating creature spawned in life simulator. New Scientist 2765, 6-7 (2010).

• [5] Mora, T. & Bialek, W. Are biological systems at criticality? Journal of Statistical Physics 144, 268-302 (2011).

本文譯自 Nautilus “Dominoes” 2015 年 4 月刊

https://nautil.us/issue/107/the-edge/the-math-of-the-amazing-sandpile

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