一個(gè)完美的世界離不開數(shù)，數(shù)隱藏了萬物之間的規(guī)律。自古以來，數(shù)不僅成為處理各種事務(wù)的工具，揭示數(shù)的規(guī)律更體現(xiàn)了人類研究自然現(xiàn)象中的理性能力、根源和力量。探討現(xiàn)象背后數(shù)的規(guī)律吸引著偉大的智者，歐幾里得、哥白尼、開普勒、笛卡爾、伽利略、帕斯卡、牛頓、愛因斯坦等諸多大師，在探索數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建起一座座宏偉的科學(xué)大廈：歐幾里得幾何大廈、牛頓經(jīng)典力學(xué)大廈、門捷列夫元素周期大廈、達(dá)爾文進(jìn)化論大廈、愛因斯坦的相對(duì)論的時(shí)空大廈、微觀物理的量子力學(xué)大廈……
面對(duì)這一座座宏偉的科學(xué)大廈，人們不僅對(duì)這些科學(xué)巨匠產(chǎn)生敬仰之情，也讓我們對(duì)中國(guó)古代莊子所說 “原大地之美，而達(dá)萬物之理”有了更深刻的體會(huì)。在這“原大地之美”與“達(dá)萬物之理”中，數(shù)的規(guī)律一直是人類追尋的目標(biāo)。
文藝復(fù)興之后，相繼出現(xiàn)了阿拉伯計(jì)數(shù)法、十進(jìn)小數(shù)和對(duì)數(shù)，它們成為數(shù)學(xué)世界中的三大發(fā)明，它們的出現(xiàn)促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展。其中對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)很難出于直覺，因而更為艱難。
18 世紀(jì)法國(guó)偉大數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯認(rèn)為，對(duì)數(shù)的發(fā)明“縮短了計(jì)算時(shí)間，延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。實(shí)際上，對(duì)數(shù)的優(yōu)越性遠(yuǎn)不只在對(duì)付大量數(shù)據(jù)的處理上，在更多的領(lǐng)域中，對(duì)數(shù)有著更重要的應(yīng)用。
人類關(guān)于對(duì)數(shù)的思考起源很早，早在公元前 500 年，阿基米德就曾對(duì)比過兩個(gè)數(shù)列：一個(gè)數(shù)列是 10 的連乘，這就是 1，10，102，103，104，…，另一個(gè)是 0，1，2，3，4，… 表面看來，兩個(gè)數(shù)列沒有直接關(guān)系，但他卻找到了其間的內(nèi)在關(guān)系，以第二個(gè)數(shù)列的加減可以表述第一個(gè)數(shù)列的乘除，例如 1 與 2 相加，對(duì)應(yīng)第一個(gè)數(shù)列中 103 中 3 的方次。按照這一思路，本可以發(fā)展出對(duì)數(shù)關(guān)系，可惜的是，他沒能繼續(xù)下去。
2000 年過去了，德國(guó)數(shù)學(xué)家史蒂非再次注意到了這件事，他對(duì)比了另外兩個(gè)數(shù)列，0，1，2，3，4，5，… 和 1，2，4，8，16，32，…，他發(fā)現(xiàn)前一個(gè)數(shù)列中的加減運(yùn)算和后一個(gè)數(shù)列中的乘除運(yùn)算有對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如前一個(gè)數(shù)列中 2 和 5 相加得 7，在后一個(gè)數(shù)列中對(duì)應(yīng)項(xiàng) 4 和 32 之積 128 正好是 2 的 7 次方，在這兩個(gè)數(shù)列之間，也隱含了對(duì)數(shù)關(guān)系。按照這個(gè)思路發(fā)展下去，也可能發(fā)展出對(duì)數(shù)關(guān)系來，可惜在當(dāng)時(shí)還沒有完善分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，使進(jìn)一步擴(kuò)展這一想法遭遇到了困難。
阿基米德與史蒂非的這些發(fā)現(xiàn)，對(duì)對(duì)數(shù)的建立起到了開啟性的作用，而 15、16 世紀(jì)天文學(xué)的發(fā)展，又促進(jìn)了對(duì)數(shù)的建成。在這一時(shí)期，龐雜而巨大的天文數(shù)字?jǐn)[在了人們的面前。
例如，在計(jì)算星球軌道與星球之間相對(duì)位置的關(guān)系時(shí)，面臨大量數(shù)據(jù)的乘除、乘方和開方運(yùn)算，躲避不開的繁難數(shù)字運(yùn)算使天文學(xué)家倍感苦惱。尋求一種簡(jiǎn)單的辦法，將大數(shù)縮減為小數(shù)、用加減代替乘除，成為開啟天文時(shí)代的需求，這一絕妙的辦法終于被英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰?納皮爾發(fā)現(xiàn)了。
1550 年納皮爾生于蘇格蘭的愛丁堡，關(guān)于他的早年情況所知甚少，僅找到一封來自當(dāng)?shù)啬翈?—— 也是納皮爾的舅舅寫給他父親的信。信是這樣寫的，“上帝保佑你，先生，把兒子送到學(xué)校去吧，你可以把他送到法國(guó)去。在家里，他不可能受到良好的教育，也不可能適應(yīng)這個(gè)險(xiǎn)惡的世界。把他送出去，反倒能使他得到更好的保護(hù)，而且還可能做出偉大的壯舉來。我敢向你保證，他一定會(huì)做到的。”這時(shí)納皮爾年僅 10 歲。舅舅的兩個(gè)判斷都對(duì)了，納皮爾出生時(shí)，父親年僅 16 歲，“在家里不可能受到良好的教育”，事后更證明，納皮爾的確做出了“偉大的壯舉”。
1565 年，納皮爾 16 歲時(shí)，進(jìn)入圣?安德魯斯大學(xué)。兩年以后，他喜歡上了神學(xué)，但他并沒有拿到學(xué)位。之后輾轉(zhuǎn)于法國(guó)、意大利和荷蘭，最后回到他的蘇格蘭家鄉(xiāng)。他把大量時(shí)間用于神學(xué)研究，同時(shí)也癡迷于數(shù)的研究，但數(shù)學(xué)于他只是一種業(yè)余愛好而已。
納皮爾的“業(yè)余愛好”使他有了重要的發(fā)現(xiàn)。納皮爾再次注意到了等差數(shù)列和等比級(jí)數(shù)數(shù)列間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但他比阿基米德和史蒂非更進(jìn)一步，他想找到一種方法，把兩者的關(guān)系表述出來。經(jīng)他研究發(fā)現(xiàn)，后一組數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間的乘積關(guān)系對(duì)應(yīng)著前一組數(shù)中兩個(gè)數(shù)之和，如果把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系加以實(shí)用，就可以以加減法代替乘除運(yùn)算了。為了找到這種替代關(guān)系，他花了二十多年的時(shí)間研究數(shù)，并在此期間發(fā)明了對(duì)數(shù)，還找到了用于解決球面三角問題的公式記憶術(shù)，發(fā)明了三角函數(shù)的表達(dá)形式，并為分?jǐn)?shù)引進(jìn)了十進(jìn)位的小數(shù)表達(dá)方式。其中，對(duì)對(duì)數(shù)的研究占據(jù)了他較多的時(shí)間。
1614 年，納皮爾出版了名為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說明書》，其中討論了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，還附帶了一個(gè)正弦對(duì)數(shù)表。當(dāng)時(shí)并沒有完善指數(shù)的符號(hào)，也沒有“底”的概念，這使納皮爾的對(duì)數(shù)公式的表示受到了限制，但從這張表中仍然可以看出他數(shù)學(xué)思想的高超。
《奇妙的對(duì)數(shù)》一書發(fā)表兩年后，由拉丁文翻譯為英文再次出版。在這本書的前言中，納皮爾講述了他思考這個(gè)發(fā)明時(shí)的想法，他說：“我之所以找到這種方法，實(shí)際上是出于計(jì)算的繁瑣給我?guī)硖嗟臒?，在乘法、除法、乘方、開方中，我遇到了特別多的數(shù)，并不是這些數(shù)不能算下去，實(shí)在是這些數(shù)既冗長(zhǎng)又繁瑣，占據(jù)了太多的時(shí)間令人煩惱。有時(shí)在計(jì)算中，還常常會(huì)出錯(cuò)。因此，我想要找出一個(gè)辦法解決這些煩人的攔路虎和障礙。為此，我想出了很多辦法，但最有效的還是對(duì)數(shù)法?！?/p>
1614 年，在這本書還沒有翻譯成英文時(shí)，英國(guó)的一位數(shù)學(xué)家克拉特?布里格斯首先做出了積極的反應(yīng)，他立刻意識(shí)到納皮爾對(duì)數(shù)的重要意義。在 1615 年 3 月 10 日寫給朋友的一封信中，他說，“納皮爾，這位馬金斯頓（納皮爾在蘇格拉家的領(lǐng)地）的主人，他的對(duì)數(shù)使我佩服得五體投地，我真希望能在這個(gè)夏天見到他。感謝上帝，我從沒有見過這樣一部書，讓我這樣的感興趣，太令人神往了?！?/p>
布里格斯真的去見納皮爾了。他騎馬經(jīng)過 4 天長(zhǎng)途跋涉來到蘇格蘭的馬金斯頓。1615 年 7 月 2 日這一天兩人見了面，這次相見成為對(duì)數(shù)發(fā)展關(guān)鍵的一天。布里格斯建議納皮爾，把對(duì)數(shù)以 10 為“底”，也就是以 1 對(duì)應(yīng) 10，以 2 對(duì)應(yīng) 100，即以 n 對(duì)應(yīng) 10n。這一關(guān)鍵性建議，不僅使對(duì)數(shù)有了“底”的概念，更形成了有“底”的對(duì)數(shù)格局。布里格斯還建議他，用這種方法建立對(duì)數(shù)表?？上У氖?，此時(shí)納皮爾的健康狀況很糟，難以完成這項(xiàng)工作了。
1617 年 4 月 4 日，納皮爾去世。這一年布里格斯發(fā)表了世界上首個(gè)以 10 為“底”的常用對(duì)數(shù)表，接著，在 1620 年，格萊斯哈姆學(xué)院的甘特教授制作成功世界上首把用于實(shí)用計(jì)算的對(duì)數(shù)尺，從此開始了對(duì)數(shù)研究與實(shí)用的大發(fā)展。
對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)在世界上引起極大的反響，它如同開源的一股閘流，不到一個(gè)世紀(jì)，幾乎傳遍整個(gè)世界，迅速滲透到了貿(mào)易往來和天文學(xué)研究中。尤其是當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家，幾乎以狂喜的心情來接受這一發(fā)現(xiàn)。在計(jì)算機(jī)發(fā)明以前，對(duì)數(shù)是十分重要的計(jì)算工具。經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的耕耘，對(duì)數(shù)的意義已經(jīng)不僅是一種計(jì)算技術(shù)，特別是以自然數(shù) e 為底的對(duì)數(shù)發(fā)展，更使對(duì)數(shù)與諸多領(lǐng)域間千絲萬縷的關(guān)系逐漸展現(xiàn)出來。
對(duì)數(shù)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)，它簡(jiǎn)化了數(shù)的運(yùn)算程序，降低了求解問題的復(fù)雜度。在自然科學(xué)和技術(shù)中，對(duì)數(shù)有著廣闊的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)的大數(shù)定律與分形學(xué)研究中，在物理學(xué)熱力學(xué)第二定律熵與混沌的研究中，在計(jì)算機(jī)科學(xué)的對(duì)數(shù)分析與集成對(duì)數(shù)定律中，在生物學(xué)螺旋結(jié)構(gòu)研究與微生物生長(zhǎng)期研究中，在信息學(xué)光信息的處理中，在經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展中，在心理學(xué)人類認(rèn)知的希格斯法則研究中，甚至在音樂和美術(shù)學(xué)中，如音樂創(chuàng)作的音頻與間隔的關(guān)系中，等等，對(duì)數(shù)規(guī)律無處不在，對(duì)數(shù)的發(fā)展對(duì)天文學(xué)、宇宙學(xué)、無線電電子學(xué)、通信等領(lǐng)域更是帶來了重大的推動(dòng)與發(fā)展。
更為重要的是，通過對(duì)數(shù)的研究，人們認(rèn)識(shí)到了重要的科學(xué)研究方法。從對(duì)數(shù)的發(fā)展可以看出歸納和類比的重要作用。世間萬物都存在著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，科學(xué)的任務(wù)就在于揭露這些關(guān)聯(lián)的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律性，數(shù)學(xué)研究的是其間的數(shù)量關(guān)系，其中最基本的是，兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找到這種關(guān)系的重要研究方法就是歸納和類比。
拉普拉斯曾說：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！崩脷w納和類比，不僅使人們看到數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性和強(qiáng)邏輯性，更可以看到不同表述間的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)不是偶然的，它顯示著數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)的強(qiáng)大。它可以使表面上看似沒有聯(lián)系的東西之間出現(xiàn)聯(lián)系，從看似無從下手的事物上找到突破口，令看似模糊的東西明朗化和清晰化，從中找到一個(gè)從此岸攀登到彼岸的“手杖”。在數(shù)學(xué)內(nèi)部“隔岸”間的轉(zhuǎn)換中，有著妙趣橫生的東西，可以說，奇妙的對(duì)數(shù)無所不在。納皮爾因這一發(fā)現(xiàn)，揭示這一奇妙的源泉而被載入史冊(cè)。
本文來自微信公眾號(hào)：原點(diǎn)閱讀 （ID：tupydread），作者：魏鳳文、武軼，編輯：張潤(rùn)昕
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