古埃及分?jǐn)?shù)的現(xiàn)代奇遇

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持

古埃及分?jǐn)?shù)

考古發(fā)現(xiàn)，數(shù)千年前的古埃及人就已經(jīng)熟練掌握了相當(dāng)程度的數(shù)學(xué)知識(shí)?？v然歷經(jīng)滄海桑田，仍有文獻(xiàn)流傳了下來(lái)，其中最著名的就是萊因德古本（Rhind Mathematical Papyrus）和莫斯科古本（Moscow Mathematical Papyrus）。這些莎草紙上記錄了數(shù)十個(gè)問題及解答，其中一題是：如何讓個(gè)人平分片面包？就其涉及的數(shù)學(xué)而言，這個(gè)問題對(duì)于今天的我們而言似乎過于顯然了：只需要每人分片就行了。但是考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在古埃及，并沒有這個(gè)數(shù)字！在現(xiàn)存文獻(xiàn)中，除了和以外，所有的分?jǐn)?shù)都是以的形式出現(xiàn)的。這可能是因?yàn)?，在分面包的時(shí)候，將一塊面包平均分成份更容易操作。古埃及人在計(jì)算的時(shí)候，似乎需要借助分?jǐn)?shù)表，這也在上述古本中占據(jù)了一定篇幅。而對(duì)于上面的問題，古埃及人給出的答案是

也就是說：將片面包中的片，每片平均分成塊，這塊每人拿塊；剩下的片，每片平均分成塊，這塊中的塊每人再拿塊；最后還剩的小塊，每塊等分，最后每人拿塊。今天，我們把形如的分?jǐn)?shù)稱為古埃及分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，每一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以拆分成古埃及分?jǐn)?shù)的和，因?yàn)?/p>

這自然沒有什么難度。這說明古埃及人的分?jǐn)?shù)雖然復(fù)雜，但跟我們今天所使用的分?jǐn)?shù)表示的東西是一樣的：一塊面包不管怎么等分，得到的都是有理數(shù)。但要是反過來(lái)問的話，難度就大大提高了：假如選定一組互不相同又大于的整數(shù)，那么能否用它們的部分倒數(shù)和組合出一塊面包呢？或者說，對(duì)于集合, 是否存在子集滿足

如果是有限的，那肯定存在固定的答案，只需要窮舉就行了。比如，當(dāng)時(shí)，我們可以借用上面的例子

但是這只是運(yùn)氣好；如果，那就根本湊不成，畢竟這個(gè)數(shù)全加在一起也比小。你肯定會(huì)說：這是因?yàn)?svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -716 750 716" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0px;width: 1.697ex;height: 1.62ex;">太小了，要是再大一點(diǎn)不就有了嗎？

那這回我們?nèi)?svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -716 750 716" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0px;width: 1.697ex;height: 1.62ex;">為所有素?cái)?shù)。存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，但是素?cái)?shù)的子集沒辦法構(gòu)造出上面的等式：假如存在互不相同的素?cái)?shù)滿足

那么

這說明整除，這與他們是互不相同的素?cái)?shù)矛盾，說明上述等式不存在。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？難道素?cái)?shù)的集合還不夠大嗎？

集合論中，一般通過映射來(lái)比大?。喝绻麅蓚€(gè)集合和之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則稱二者等勢(shì)，。如果與的某個(gè)子集等勢(shì)，則。但是對(duì)于無(wú)限集和，它卻有可能與自己的子集等勢(shì)?？梢宰C明，在等勢(shì)意義下，自然數(shù)集是最小的無(wú)限集，而它包含的所有無(wú)限子集都與等勢(shì)，這就包括了素?cái)?shù)集。但是就上文中遇到的問題而言，素?cái)?shù)集顯然是不夠大的。那么我們就需要定義新的大小概念。

自然密度

那么我們所需要的“大”是怎么個(gè)大法呢？其實(shí)核心訴求是：我們不管是奇是偶，是素是合，只要它剛好包含了我們需要的幾個(gè)數(shù)字就行。這其實(shí)跟概率的觀點(diǎn)不謀而合：隨手抓一把數(shù)字，要是抓的比例夠大，就更有可能抓到滿足要求的數(shù)字。

這個(gè)概率該怎么算呢？我們定義中不大于的數(shù)的個(gè)數(shù)為，那在整個(gè)中被隨機(jī)抽出的概率就是

這里被稱為自然密度。不過這個(gè)極限并不一定總是收斂的，所以一般使用的是上極限

稱為上密度，以及下極限

稱為下密度。當(dāng)數(shù)列不收斂的時(shí)候，會(huì)趨于上下擺動(dòng)，而上下極限就是擺動(dòng)的上界和下界。自然密度的概念非常符合我們的直觀，比如偶數(shù)集和奇數(shù)集的自然密度都是，剛好一半一半。那么質(zhì)數(shù)的密度呢？根據(jù)著名的素?cái)?shù)定理，當(dāng)足夠大時(shí)

也就說，素?cái)?shù)的自然密度是。這與我們所預(yù)想的是相符的：素?cái)?shù)集的確太小了。那么究竟一個(gè)集合的自然密度得有多大，才能起碼裝下一個(gè)倒數(shù)和為的子集呢？對(duì)此，兩名數(shù)學(xué)家大膽提出了猜想。

在 1980 年的一篇文章 [1] 中，匈牙利數(shù)學(xué)家埃爾德什?帕爾（Erd?s Pál，英語(yǔ)中寫作 Paul Erd?s）與美國(guó)數(shù)學(xué)家羅納德?葛立恒（Ronald Graham）提出了將分解為古埃及分?jǐn)?shù)的問題，使用上文中的符號(hào)，可以分為兩個(gè)版本：

如果把大于的整數(shù)分成有限個(gè)份（或者用數(shù)學(xué)家們的話講，把數(shù)字染成種不同顏色），那么是否必有一份包含了我們想要的有限子集？

如果，那么中是否包含了我們想要的？

前一問中分出的份中，起碼有一份的自然密度是大于零的。所以如果證明了后一問，也就證明了前一問。這樣的二連問并不是無(wú)中生有。在數(shù)論中，每一個(gè)涉及染色的命題，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)涉及自然密度的命題：雖然證明前一問并不能推出后一問，但用到的方法卻能把我們引向更遠(yuǎn)的地方。

尋找解析數(shù)論的新方法

不過即便是證明第一問，也并非易事。這種涉及加法的數(shù)論研究一般將其稱為加性數(shù)論或堆壘數(shù)論。這個(gè)分支相信許多數(shù)學(xué)愛好者有所耳聞，因?yàn)橹袊?guó)解析數(shù)論學(xué)派的代表人物華羅庚、陳景潤(rùn)等人，都在這一方面作出巨大貢獻(xiàn)。華羅庚還寫過《堆壘素?cái)?shù)論》一書；大家熟知的哥德巴赫猜想也屬于這一領(lǐng)域。

對(duì)于加性數(shù)論的大多數(shù)問題，常用初等方法乃至代數(shù)方法接連失效，剩下能打的就只有解析數(shù)論了。所謂解析數(shù)論，就是將數(shù)論問題轉(zhuǎn)化為對(duì)某個(gè)函數(shù)或積分的估計(jì)（所謂解析就是分析，即涉及極限，微積分及其衍生產(chǎn)物的學(xué)科）。這也是加性數(shù)論對(duì)外行來(lái)說過于抽象的原因：明明是一個(gè)數(shù)論問題，證明過程卻全是積分和估計(jì)式。

埃爾德什和葛立恒的猜想也是如此。埃爾德什于 1996 年與世長(zhǎng)辭，他一生未婚，也沒有兒女；只留給人類 1525 篇論文，他也因此成為了發(fā)表論文數(shù)量最多的數(shù)學(xué)家。直到生命的盡頭，他都沒有看到自己的猜想得到證實(shí)。幾年后的 2003 年，歐內(nèi)斯特?克魯特（Ernest S. Croot III）的論文 [2] 橫空出世，證明了猜想的第一問。值得一提的是，早在 2000 年，克魯特就在自己的博士論文中證明了這一結(jié)論?？唆斕匾肓藦?qiáng)有力的調(diào)和分析方法，既優(yōu)雅又極富技巧性。這讓學(xué)術(shù)界對(duì)這位新星大為期待。

所謂調(diào)和（harmonic），在物理中一般翻譯為諧波，這門學(xué)科來(lái)自于傅立葉的驚人發(fā)現(xiàn) —— 很多周期函數(shù)都能分解成三角函數(shù)的無(wú)窮和，也就是傅里葉級(jí)數(shù)。更加神奇的是，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分可以用來(lái)估計(jì)數(shù)論中的一些函數(shù)，這就將調(diào)和分析和解析數(shù)論緊密地聯(lián)系在了一起。從那時(shí)起，這兩門學(xué)科就互相支撐著向前，并在二十世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象浪潮下飛速發(fā)展。

但面對(duì)第二問，克魯特的巧妙方法失效了。不論他如何擺弄現(xiàn)有的工具，都沒辦法取得更多進(jìn)展。此后，克魯特轉(zhuǎn)向了其他問題的研究，我們的猜想也在二十年中停滯不前。到了 2020 年，葛立恒因病去世，他也沒有能夠看到猜想的解決。

轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在 2021 年。九月的一天，牛津大學(xué)的博士后托馬斯?布魯姆（Thomas Bloom）接到了一項(xiàng)任務(wù)，給他們的討論組講解二十年前克魯特的論文。在準(zhǔn)備的過程中，布魯姆突然靈感乍現(xiàn) —— 克魯特的方法并沒有走到盡頭！他馬上著手這項(xiàng)工作。

在這二十年中，雖然猜想并沒有進(jìn)展，但調(diào)和分析等前沿?cái)?shù)學(xué)并沒有止步不前。現(xiàn)在，布魯姆的手上掌握了更多工具。他采用更先進(jìn)的組合數(shù)論 / 解析數(shù)論技術(shù)，改進(jìn)了克魯特的方法，最終在幾個(gè)月內(nèi)完成了證明。

布魯姆證明的結(jié)論甚至比原來(lái)的猜想更強(qiáng) —— 只要就行了。也就是說，數(shù)列并不一定要收斂，只需要在某個(gè)正數(shù)附近無(wú)窮震蕩即可。這是一項(xiàng)非常出色的成果，雖然目前還只是掛在預(yù)印本網(wǎng)站上沒有正式發(fā)表，但已經(jīng)獲得了很多數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。

那么現(xiàn)在，這個(gè)跨越了 40 年的猜想總算告一段落。不過數(shù)學(xué)是沒有止境的；除了那些令人眼花繚亂的技巧，我們還剩下一些問題：哪些集合的倒數(shù)和湊不成呢？如上文所說，素?cái)?shù)集不滿足要求。但是并不是所有自然密度為的集合都不滿足要求。

更多的新問題又將把我們引向何處呢？讓我們拭目以待。

參考文獻(xiàn)

• [1] Erd?s, P. and Graham, R. L.: Old and new problems and results in combinatorial number theory. Enseign. Math. 30-44 (1980)

• [2] Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054.

• [3] Cepelewicz, Jordana (2022-03-09). "Math's 'Oldest Problem Ever' Gets a New Answer". Quanta Magazine. Retrieved 2022-03-09.

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