龐加萊是有史以來世界上最偉大、最有創(chuàng)見的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家之一。他差一點(diǎn)搶在愛因斯坦之前發(fā)現(xiàn)狹義相對論。他幾乎是憑一己之力創(chuàng)建了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)極其重要的分支 —— 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。龐加萊知識廣泛，成就斐然，其研究涵蓋了數(shù)學(xué)的好幾個(gè)分支，以及天體力學(xué)、現(xiàn)代物理學(xué)甚至心理學(xué)，因此他被稱為世上最后一位偉大的科學(xué)全才。
龐加菜很像黎曼，喜歡從基本原理出發(fā)，開展自己的研究工作，而不是把研究建立在其他人的成果甚至自己先前的工作之上?，F(xiàn)今大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為他是有史以來最偉大的天才之一。他還對數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)有著一種濃厚的興趣。1908 年，他在反省自己思想過程的基礎(chǔ)上，作了關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造性的著名演講，題目為“數(shù)學(xué)的發(fā)明”。
龐加萊自己寫道∶“我們通過邏輯去證明，通過直覺去創(chuàng)造?！彼绕洳毁澩柌氐挠^點(diǎn)∶數(shù)學(xué)推理能被公理化并（在原則上）被“機(jī)械化”。這是一個(gè)龐加萊認(rèn)為不可能成功的計(jì)劃，后來哥德爾證明他是對的。
龐加萊對數(shù)學(xué)的第一個(gè)重大貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了自守函數(shù)的概念和理論，這是一類從復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的特殊函數(shù)。在他隨后的生涯中，龐加萊對涉及復(fù)數(shù)的函數(shù)作了進(jìn)一步的研究，人們普遍把他譽(yù)為多復(fù)變解析函數(shù)理論的創(chuàng)建者。他還研究了數(shù)論和幾何學(xué)。
龐加萊猜想
在龐加萊對拓?fù)鋵W(xué)的研究中，產(chǎn)生了一個(gè)世界難題∶龐加萊猜想。1895 年，龐加萊出版了他的著作《位置分析》。在這本書中，龐加萊引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)中的幾乎所有的概念和主要方法。
拓?fù)鋵W(xué)是一種“超幾何”。數(shù)學(xué)家通過拓?fù)鋵W(xué)研究曲面和其他數(shù)學(xué)對象的非常一般的性質(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中，數(shù)學(xué)家的興趣大都集中在三維或更高維的數(shù)學(xué)對象上，龐加萊錯(cuò)誤地認(rèn)為某個(gè)關(guān)于二維物體很顯然的事實(shí)對于三維或更高維的類似對象也會成立（這是龐加萊猜想的來源）。
二維拓?fù)鋵W(xué)有時(shí)被很有聯(lián)想性地稱為“橡皮膜幾何學(xué)”。
橡皮膜幾何學(xué)
1931 年，英國的貝克設(shè)計(jì)了現(xiàn)在的倫敦地鐵。這張地圖被認(rèn)為是最好地圖之一，很多人試圖對它進(jìn)行改進(jìn)，都沒有成功。這張地圖把方便性與外表的美結(jié)合在了一起，現(xiàn)在已經(jīng)成為倫敦的標(biāo)志，也是全世界地鐵地圖的典范。
這張地圖顯示出了拓?fù)鋵W(xué)的巨大威力。事實(shí)上，這張地圖在每一個(gè)方面都是不準(zhǔn)確的。但它精準(zhǔn)地描述了一名乘客需要從這張地圖中獲取的信息 —— 什么地方上車，什么地方下車，什么地方換線，從而而犧牲了其他所有的細(xì)節(jié)。
這個(gè)例子說明了二維拓?fù)鋵W(xué)的本質(zhì)。如果把那張地鐵地圖印在一張具有極好彈性的橡皮膜上，它就可以被拉伸和壓縮得使每個(gè)細(xì)節(jié)都正確，從而形成一張標(biāo)準(zhǔn)的、地理上準(zhǔn)確的地圖。用數(shù)學(xué)術(shù)語說，原因在于這個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（定義為由不同直線連接的點(diǎn)的集合）的布局是一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。簡單地說，網(wǎng)絡(luò)是拓?fù)鋵ο?/strong>。你可以扭曲和拉伸一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的任何連線，而不會改變其總體布局。要改變這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，你必須斷開一條連線或增加一條新的連線。這對電路圖、電路本身、計(jì)算機(jī)芯片、電話網(wǎng)絡(luò)和互聯(lián)網(wǎng)都成立。
這就是為什么當(dāng)今世界上“橡皮膜幾何學(xué)”是最重要的數(shù)學(xué)分支之一。在地鐵地圖的情況中，只要它在拓?fù)渖鲜菧?zhǔn)確的，制圖上是不是準(zhǔn)確沒有關(guān)系。類似地，對于電路或計(jì)算機(jī)芯片的設(shè)計(jì)，重要的是網(wǎng)絡(luò)的布局。如果布局在拓?fù)渖鲜菧?zhǔn)確的，那么電線的位置可隨意改動，以滿足其他的設(shè)計(jì)要求。在計(jì)算機(jī)芯片的設(shè)計(jì)中也是如此，關(guān)鍵是蝕刻在硅片上的電路必須在拓?fù)渖鲜菧?zhǔn)確的。
一般說，二維拓?fù)鋵W(xué)（橡皮膜幾何學(xué)）是研究圖形的這樣一種性質(zhì)∶把這圖形畫在一張（假想的）具有極好彈性的橡皮膜上，然后扭曲和拉伸這張膜，這種性質(zhì)仍然保持不變。其實(shí)，拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展不是由任何應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的需要驅(qū)動的。相反，它來自純粹數(shù)學(xué)的內(nèi)部，來自于想理解微積分為什么有效而進(jìn)行的奮斗。
微積分與拓?fù)?/strong>
從牛頓和萊布尼茨在 17 世紀(jì)中葉發(fā)明微積分的那一刻開始，數(shù)學(xué)家就廣泛地使用了它。但是，沒人真正理解為什么微積分會有效。在一大批數(shù)學(xué)家長達(dá) 300 年的努力下得到了（他們對實(shí)數(shù)和無窮過程的本性，以及數(shù)學(xué)推理本身進(jìn)行了詳細(xì)的分析），這終于得到了解釋。
但這也讓數(shù)學(xué)變得越來越抽象了。19 世紀(jì)出現(xiàn)了大量的新類型對象和模式，它們不屬于日常經(jīng)驗(yàn)的任何一部分。在最近 200 年間數(shù)學(xué)家研究的新對象和新模式中，有非歐幾何（平行線可以相交）、四維和更高維的幾何學(xué)、無窮維幾何學(xué)、用符號代表圖形對稱性的代數(shù)（稱為群論）、用符號代表邏輯思維的代數(shù)（命題邏輯），以及用符號代表二維或三維空間中運(yùn)動的代數(shù)（向量代數(shù)）。
在抽象性的擴(kuò)增中，拓?fù)鋵W(xué)也隨之出現(xiàn)了。一開始想法是發(fā)明一種“幾何學(xué)”，來研究圖形不會被連續(xù)變形所破壞的性質(zhì)，因此這種幾何學(xué)不依賴于直線、圓、立方體這些概念，也不依賴于長度、面積、體積、角度這些度量。在拓?fù)鋵W(xué)中，研究的對象稱為拓?fù)淇臻g。
拓?fù)鋵W(xué)與“微積分怎么會有效”之間的聯(lián)系十分微妙。在本質(zhì)上，這兩者都依賴于能把握無窮小。但是拓?fù)渥儞Q與無窮小會有什么關(guān)系？這關(guān)鍵就是∶從直觀上說，拓?fù)渥儞Q的本質(zhì)是，兩個(gè)在變換前“無限靠近”的點(diǎn)，在變換后仍然保持“無限靠近”。特別是把一張橡皮膜無論怎樣拉伸、壓縮或扭曲，都不會破壞這種靠近性。一開始相互靠近的兩個(gè)點(diǎn)在操作完成后還是保持靠近。
注意，這里所說的靠近的概念是相對于拓?fù)淇臻g中所有其他點(diǎn)而言的。我們可以拉伸這張膜，使得兩個(gè)起初緊靠在一起的點(diǎn)在我們看來不再緊靠在一起。但是在這種情況下，“靠近性”的變化是一個(gè)我們從外部施加的幾何變化。從橡皮膜的角度看，這兩個(gè)點(diǎn)仍然是緊靠在一起的。
破壞靠近性的唯一方法是割破或撕開這張膜 —— 這是一種在拓?fù)鋵W(xué)中被禁止的操作。
要發(fā)展拓?fù)鋵W(xué)，數(shù)學(xué)家必須找到一種方式來把握相對靠近這一關(guān)鍵思想。為此，他們著手尋找一種能闡明兩點(diǎn)“無限靠近”這一假設(shè)性概念的方式。直觀上說，拓?fù)渥儞Q具有這樣的性質(zhì)，
如果兩個(gè)點(diǎn)一開始是無限靠近在一起的，那么在進(jìn)行了這種變換之后它們?nèi)詫⑷绱恕?/p>
這種方法的問題在于“無限靠近”這個(gè)概念不是一個(gè)定義良好（well-defined）的概念。然而，通過這種方式來考慮拓?fù)渥儞Q，數(shù)學(xué)家找到了一種能給拓?fù)渥儞Q下一個(gè)精確定義的方式（別指望我在這里給出定義）。這時(shí)，就可以用拓?fù)渥儞Q的概念來精確地分析“無限靠近”這個(gè)直觀概念。通過這種方式，他們在一種嚴(yán)格的意義上發(fā)展了微積分。
這就是龐加萊和其他數(shù)學(xué)家創(chuàng)立拓?fù)鋵W(xué)的主要原因。第一次遇到拓?fù)鋵W(xué)的人心中會產(chǎn)生一個(gè)問題∶關(guān)于拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g不僅沒有直線，也沒有固定形狀的概念，更沒有任何類型的距離。你所能說的只是什么時(shí)候兩點(diǎn)相互靠近。
你沒有想到的還有很多
拓?fù)鋵W(xué)是當(dāng)代數(shù)學(xué)中最豐富多彩、最有魅力和最重要的分支之一，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和其他領(lǐng)域中有著許多應(yīng)用。這里只提一個(gè)重要的應(yīng)用∶拓?fù)鋵W(xué)是超弦理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而超弦理論是關(guān)于宇宙本質(zhì)的最新理論。
讓我們看一看拓?fù)鋵W(xué)家研究的東西。為簡單起見，我只限于二維的情況。并思考一下高中幾何中有什么性質(zhì)可以轉(zhuǎn)移到拓?fù)鋵W(xué)中。因?yàn)槔旌团で鹌つ阎本€變成曲線，并改變距離和角度，所以這些我們熟悉的幾何概念在拓?fù)鋵W(xué)中毫無意義。
那么還剩下什么呢？還有線和閉圈（環(huán)）。如果你在一個(gè)具有極好彈性的橡皮膜上畫一個(gè)圈，那么不論你如何拉伸、壓縮和扭曲這張橡皮膜，這個(gè)圈仍然是一個(gè)圈。還有什么呢？
為回答這個(gè)問題，我給你們看看第一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)成果。它歸功于瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉。1735 年，歐拉解決了一個(gè)長期懸而未決的難題 —— 柯尼斯堡橋問題?？履崴贡さ脑S多市民習(xí)慣與家人一起來此散步，他們常常要走過好幾座橋。于是有了一個(gè)經(jīng)常討論的問題∶是不是有一條路線，正好每座橋只走過一次？
歐拉意識到島和橋的準(zhǔn)確位置是無關(guān)緊要的，重要的是這些橋的連接方式，也就是說，由橋形成的網(wǎng)絡(luò)。這個(gè)問題是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)問題，而不是幾何學(xué)問題。
于是歐拉論證如下。取任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)有一條行進(jìn)路線，正好每條邊只走過一次。任何一個(gè)結(jié)點(diǎn)，只要不是這條路線的起點(diǎn)或終點(diǎn)，必定有偶數(shù)條邊在此相交，這是因?yàn)檫@些邊可以按一條路進(jìn)一條路出的方式配成對。但是在這個(gè)由橋組成的網(wǎng)絡(luò)中，那 4 個(gè)頂點(diǎn)都是有奇數(shù)條邊在那里相交。因此不可能有這樣的路線。結(jié)論是，經(jīng)過柯尼斯堡的每座橋正好一次的路線是不存在的。
這個(gè)對柯尼斯堡橋問題的解答產(chǎn)生了世界上第一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)定理。歐拉證明了對于畫在平面上的任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，如果 V 是頂點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）的總數(shù)，E 是邊（或連線）的總數(shù)，F(xiàn) 是 "面"（由 3 條或更多條邊圍成的封閉區(qū)域）的總數(shù)，則下面這個(gè)簡單的公式成立∶
例如，關(guān)于柯尼斯堡橋的網(wǎng)絡(luò)，有 V=4，E=7，以及 F=4，于是
雖然歐拉解決了第一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)難題，并證明了第一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)定理，但是直到 19 世紀(jì)后期，拓?fù)鋵W(xué)才真正起步。因?yàn)樵谶@時(shí)，龐加萊登場了！
透過表面
在拓?fù)鋵W(xué)中，我們研究圖形和對象在一種連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)。所謂連續(xù)，我們是指這個(gè)變形不涉及任何切割、撕裂或黏貼。
例如，在拓?fù)鋵W(xué)中，橄欖球與足球是一樣的，它們和網(wǎng)球也是一樣的，因?yàn)檫@三種球的任何一種都可以通過連續(xù)變形而變成其他兩種。在拓?fù)鋵W(xué)中只存在一種“球”。平時(shí)我們識別出來的各類球之間的差別，都與大小和形狀有關(guān)，但這些都不是拓?fù)湫再|(zhì)。
拓?fù)鋵W(xué)的早期研究就是尋找各種方式來說明兩個(gè)形狀什么時(shí)候在拓?fù)渖鲜遣煌?，龐加萊就是這種探求的一個(gè)領(lǐng)軍人物。
例如，雖然任意兩個(gè)球都是拓?fù)湎嗤模我鈨蓚€(gè)環(huán)面（圓形狀、橢圓形狀或其他什么形狀的）也是拓?fù)湎嗤?，但任何球面與任何環(huán)面是拓?fù)洳煌摹闹庇^上看，這好像是顯然的。畢竟，你好像根本沒有辦法對一個(gè)球面進(jìn)行連續(xù)變換而得到一個(gè)環(huán)面。問題就在于那個(gè)無關(guān)緊要的詞 —— 好像。你怎么知道肯定沒有辦法做到這一點(diǎn)？例如，
上圖所示的分環(huán)智力題中，你能不能找到一種方法把圖形（a）連續(xù)地變換成圖形（b）？容易想到的方法是把兩個(gè)相互扣住的環(huán)中的一個(gè)割斷（但這不被允許），如（c）所示。但不用把環(huán)割斷也能做到。這應(yīng)該讓你相信尋找各種完全可靠的方式來證明兩個(gè)對象拓?fù)湎嗤蛲負(fù)洳煌_實(shí)是一個(gè)重要的任務(wù)。
順便說下，僅憑沒能找到一個(gè)把一個(gè)對象變成另一個(gè)對象的連續(xù)變形，是不能確證這兩個(gè)對象拓?fù)洳煌摹＿@里需要的是找到兩個(gè)對象中一個(gè)具有而另一個(gè)不具有的某種拓?fù)湫再|(zhì) —— 即經(jīng)過連續(xù)變形仍保持不變的性質(zhì)。
我們已經(jīng)遇到過一個(gè)這樣的性質(zhì)。對于任何網(wǎng)絡(luò)，V - E＋F 的值就是一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。這個(gè)量對任何網(wǎng)絡(luò)都相同。
對于二維平面上的網(wǎng)格，V - E＋F=1；對于球面上的網(wǎng)絡(luò)（要覆蓋整個(gè)球面，而不是覆蓋球面的一部分），V-E＋F=2；而環(huán)面上的網(wǎng)絡(luò)（同樣要求覆蓋整個(gè)環(huán)面），V-E+F =0。于是，我們可以絕對有把握地?cái)嘌裕?strong>二維平面、球面和環(huán)面是拓?fù)洳煌?/strong>。對于畫在雙環(huán)面（形狀如數(shù)字 8）上的網(wǎng)絡(luò)，V-E＋F=-2，所以我們還知道雙環(huán)面與平面、球面、環(huán)面是拓?fù)洳煌摹?/p>
對于畫在一個(gè)特定曲面上的任意網(wǎng)絡(luò)，表達(dá)式 V-E＋F 的值是數(shù)學(xué)家所謂的曲面拓?fù)洳蛔兞康囊粋€(gè)例子。如果我們對這個(gè)曲面進(jìn)行拓?fù)渥儞Q（即連續(xù)變形），這個(gè)值將保持不變。為了紀(jì)念歐拉的貢獻(xiàn)，人們把 V-E＋F 的值稱為曲面的歐拉示性數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)家已發(fā)現(xiàn)了許多可用來確定兩個(gè)特定曲面是否拓?fù)涞葍r(jià)的拓?fù)洳蛔兞?，歐拉示性數(shù)是其中之一。
另一個(gè)拓?fù)洳蛔兞渴且粋€(gè)曲面的色數(shù)。它起源于一個(gè)關(guān)于地圖著色的經(jīng)典問題。1852 年，一個(gè)名叫格思里的青年英國數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)似乎無足輕重的問題∶
為了能在任何一張地圖上給各個(gè)區(qū)域著色，你至少需要多少種顏色？
唯一的規(guī)則是任何兩個(gè)共有一條公共邊界的區(qū)域必須被著上不同的顏色。（如果兩個(gè)區(qū)域僅在一點(diǎn)相互接觸，那么這個(gè)點(diǎn)不能被看作是公共邊界。）很容易畫出需要四種不同顏色的地圖，然而是不是存在需要五種顏色的地圖？答案是否定的，但數(shù)學(xué)家花了 100 多年時(shí)間才證明了這一點(diǎn)，證明涉及的不僅有巧妙的數(shù)學(xué)推理，而且有計(jì)算機(jī)的重大應(yīng)用。事實(shí)上，四色定理是第一個(gè)被認(rèn)為要使用計(jì)算機(jī)才能得到證明的數(shù)學(xué)猜想。
四色定理顯然是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)結(jié)果，因?yàn)閷Ξ嬘械貓D的紙進(jìn)行連續(xù)變形，不會改變共有邊界的模式。在變形前共有一條公共邊界的兩個(gè)區(qū)域，在變形后仍然如此，反之亦然。
四色定理，以及它所回答的那個(gè)原始問題，都是針對畫在平面上的地圖的。但是你可以對畫在任何曲面上的地圖提出同樣的問題。一個(gè)曲面的色數(shù)是，對畫在這個(gè)曲面上的任何地圖都能進(jìn)行著色所至少需要的顏色種數(shù)。根據(jù)四色定理，平面的色數(shù)是 4。球面的色數(shù)也是 4。環(huán)面的色數(shù)是 7。
有側(cè)性問題
另一個(gè)拓?fù)洳蛔兞科鹪从凇坝袀?cè)性”（sidedness）的概念 —— 一個(gè)曲面有一個(gè)側(cè)面還是有兩個(gè)側(cè)面。任何曲面都是有兩個(gè)側(cè)面，不是嗎？回答是否定的。很容易構(gòu)造一個(gè)只有一個(gè)側(cè)面的曲面。拿一條狹長的薄紙帶，把它扭轉(zhuǎn)半周，然后把兩端黏合在一起，形成一個(gè)扭曲的紙圈，
這個(gè)扭曲的紙圈就是僅有一個(gè)側(cè)面的曲面，它叫做莫比烏斯帶。除了僅有一個(gè)側(cè)面外，默比烏斯帶也只有一條邊。
默比烏斯帶這個(gè)例子告訴我們，有側(cè)性是與有邊性緊緊聯(lián)系在一起的。通常，數(shù)學(xué)家關(guān)注沒有邊的曲面 —— 他們稱之為閉曲面。而且，更為有趣的拓?fù)湫再|(zhì)都與曲面的內(nèi)部結(jié)構(gòu)（曲面是怎樣扭曲和翻轉(zhuǎn)的）有關(guān)。事實(shí)上，對每個(gè)有一條邊或多條邊的曲面，一般存在一個(gè)幾乎具有相同性質(zhì)的閉曲面。例如，一個(gè)球面和一個(gè)有限平面（如平坦的桌面）就性質(zhì)相似，當(dāng)我們證明了一個(gè)關(guān)于球面的拓?fù)浣Y(jié)果，通常立即就有了關(guān)于平面的一個(gè)結(jié)果，反之亦然。
從直觀上說，這是因?yàn)槲覀兛梢匀∫粡埻耆衫斓钠郊?，然后把它的邊緣收攏，形成一個(gè)封閉的袋子 ———— 在拓?fù)鋵W(xué)上這就是一個(gè)球面。
與默比烏斯帶相對應(yīng)的閉曲面叫做克萊因瓶?？巳R因瓶沒有邊緣，而且既沒有內(nèi)部也沒有外部。從理論上說，你可以取兩個(gè)默比烏斯帶，沿著它們那條單一的邊把它們黏合在一起，就形成了一個(gè)克萊因瓶。我說“從理論上說”，是因?yàn)槟悴豢赡茉谄胀ǖ娜S空間中進(jìn)行這樣的操作?？巳R因瓶（作為數(shù)學(xué)一個(gè)對象）僅存在于四維空間。在我們的三維世界中，你最好是允許這個(gè)曲面穿過它自身，
在四維空間中，這個(gè)瓶子沒有必要穿過它自身。對于普通人來說，一個(gè)僅存在于四維空間的對象當(dāng)然不是真實(shí)存在的，但數(shù)學(xué)家不這么認(rèn)為。畢竟，每個(gè)人都 "知道" 負(fù)數(shù)沒有平方根，但這并沒有阻止數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了復(fù)數(shù)，并在實(shí)際應(yīng)用中使用它們。數(shù)學(xué)的許多巨大威力來自于這樣的事實(shí)∶
我們可以用它來研究超出三維世界中的生物所構(gòu)想的對象。
例如，我們可以研究畫在克萊因瓶上的網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)克萊因瓶的歐拉示性數(shù)是 0，與環(huán)面相同。這是不是意味著克萊因瓶與環(huán)面是拓?fù)涞葍r(jià)的？不是！歐拉示性數(shù)不能區(qū)分克萊因瓶與環(huán)面，但是色數(shù)能，克萊因瓶的色數(shù)是 6，環(huán)面是 7。
克萊因瓶的“與其表面單側(cè)性相對應(yīng)的”拓?fù)湫再|(zhì)是一個(gè)稱為不可定向性的奇特概念。它是指在克萊因瓶的表面上你不能區(qū)分左手性與右手性或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如果你在克萊因瓶的表面上畫一只的左手，然后把這個(gè)圖形沿著這表面滑動到足夠遠(yuǎn)（足夠遠(yuǎn)的意思是，如果這個(gè)克萊因瓶在三維空間中，那么這只手要完全通過自相交的瓶頸），于是當(dāng)它返回起點(diǎn)的時(shí)候，你會發(fā)現(xiàn)它不可思議地變成了一只右手。
這個(gè)實(shí)驗(yàn)在默比烏斯帶上做更為容易。在這個(gè)曲面上畫一個(gè)小小的左手，然后在其臨近復(fù)制出這個(gè)圖形，重復(fù)這個(gè)過程，直至回到你的起點(diǎn)。這時(shí)你會發(fā)現(xiàn)這只左手變成了右手?；蛘?，在克萊因瓶的表面上或默比烏斯帶上畫一個(gè)小圓圈，用一個(gè)箭頭表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如果你沿著曲面滑動或復(fù)制這個(gè)圖形，直至你返回起點(diǎn)，這時(shí)你會發(fā)現(xiàn)這箭頭指向逆時(shí)針方向了，
不能通過沿曲面滑動把左手變成右手或把順時(shí)針變?yōu)槟鏁r(shí)針的曲面被稱為是可定向的。例如，球面（或平面）是可定向的，環(huán)面和雙環(huán)面也是如此。一個(gè)能夠做到上述改變的曲面，比方說克萊因瓶或默比烏斯帶，被稱為是不可定向的。可定向性（或不可定向性）是一種拓?fù)洳蛔兞俊?/strong>
曲面分類
拓?fù)鋵W(xué)最初的成果之一是證明了只要有歐拉示性數(shù)和可定向性這兩個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，就能區(qū)分任何兩個(gè)閉曲面。這就是說，如果兩個(gè)閉曲面有相同的歐拉示性數(shù)，而且都是可定向的或都是不可定向的，那么它們事實(shí)上是等價(jià)的。這個(gè)結(jié)果稱為曲面分類定理，因?yàn)樗f只要用這兩個(gè)特征你就能把所有的曲面分類（在拓?fù)鋵W(xué)意義上）。
簡單說，曲面分類定理的證明是通過把球面取為基本曲面并估量任一給定曲面與球面的差異程度（即為把球面轉(zhuǎn)變成那個(gè)曲面而不得不對球面所做的事）而作出的。這與我們的直覺相一致∶球面是最簡單、最基本的閉曲面。
在這種情況下，為把球面轉(zhuǎn)變成某種另外的曲面而對球面實(shí)行的操作超出了連續(xù)變形這個(gè)常規(guī)的拓?fù)洳僮?。確實(shí)，如果你通過扭轉(zhuǎn)、彎曲、拉伸和壓縮來改變球面，結(jié)果得到的對象在拓?fù)鋵W(xué)意義上仍然是一個(gè)球面。要弄清楚曲面怎樣從球面構(gòu)造出來以對曲面進(jìn)行分類，就必須在通常的扭轉(zhuǎn)、拉伸等之外，還允許進(jìn)行切割和縫合。拓?fù)鋵W(xué)家稱這個(gè)過程為“割補(bǔ)術(shù)”。典型的割補(bǔ)術(shù)包括從球面上割下一片或數(shù)片，對這些片進(jìn)行扭曲、翻轉(zhuǎn)、拉伸或壓縮，然后把這些片重新縫到球面上。
分類定理告訴我們，任何可定向曲面與一個(gè)表面上縫合了一定數(shù)量“環(huán)柄”的球面拓?fù)涞葍r(jià)。你可以通過在球面上切割出兩個(gè)洞，再用一根管子把它們連起來而得到一個(gè)環(huán)柄，如下圖左邊所示，任何不可定向曲面與縫合了一定數(shù)量“交叉套”的球面等價(jià)。你可以在球面上切割一個(gè)洞，再把一個(gè)默比烏斯帶縫在這個(gè)洞的邊緣上而得到一個(gè)交叉套，如下圖右邊所示。與克萊因瓶的情況一樣，在普通的三維空間中，不讓默比烏斯帶穿過自身是不能做成這件事的。
曲面分類定理說，任何光滑閉曲面與帶有一定數(shù)量環(huán)柄或交叉套的球面拓?fù)涞葍r(jià)。
20 世紀(jì)早期，龐加萊和其他數(shù)學(xué)家著手對曲面的高維類似物（他們稱為 "流形"）進(jìn)行分類。他們嘗試的方法類似于那種對二維曲面已經(jīng)有效的方法。他們?nèi)∫粋€(gè)球面的三維類似物（稱為“三維球面”）作為基礎(chǔ)，并估量任一三維流形與這三維球面（簡稱 3-流形）的差異程度，以設(shè)法對所有三維流形進(jìn)行分類。
注意，一個(gè)常規(guī)的曲面，如球面或環(huán)面，是一個(gè)二維對象。雖然這個(gè)曲面所包圍的部分是三維的，但這曲面本身是二維的。
除了平面之外，任何曲面只能在三維或更高維的空間中構(gòu)造。于是，任何閉曲面都需要三維或更高維的空間。例如，構(gòu)造一個(gè)球面或一個(gè)環(huán)面就要取一個(gè)三維空間，構(gòu)造一個(gè)克萊因瓶就要取一個(gè)四維空間。然而，一個(gè)球面、一個(gè)環(huán)面或一個(gè)克萊因瓶都是二維對象 —— 一個(gè)沒有厚度的曲面，在原則上可以用一張平坦的具有極好彈性的薄片做成。
但是正如球面可以看作是圓（它是一種一維對象 —— 曲線，處在二維空間中）的二維類似物（處在三維空間中），我們同樣可以設(shè)想球面的三維類似物（處在四維空間中）。當(dāng)然，實(shí)際上我們設(shè)想不出。但是我們能寫出確定這樣一個(gè)對象的方程，并且在數(shù)學(xué)上研究它。其實(shí)，物理學(xué)家通常就是研究這種設(shè)想出來的對象，并運(yùn)用這些結(jié)果幫助理解我們所在的宇宙。3-流形，即曲面的三維類似物（存在于四維或更高維的空間中），有時(shí)被稱為超曲面，而球面的三維類似物則被稱為超球面。
你可以寫出確定三維、四維、五維、六維或任何維的流形的方程。物理學(xué)家目前研究的關(guān)于物質(zhì)的數(shù)學(xué)理論把我們所在的宇宙看作有 11 維。根據(jù)這些理論，我們直接覺察到的是這些維中的 3 個(gè)維。而其他的維則作為各種不同的物理特性（如電磁輻射和把原子結(jié)合在一起的力）把自己表現(xiàn)出來。
龐加萊試圖通過取各個(gè)維的“球面”作為一種基本圖形，然后應(yīng)用割補(bǔ)術(shù)，來對三維和更高維的流形進(jìn)行分類。在這種嘗試中，第一步自然是尋找一種簡單的拓?fù)湫再|(zhì)，它可以告訴你什么時(shí)候一個(gè)給定的（超）曲面與（超）球面拓?fù)涞葍r(jià)。
記住，我們在這里做的是拓?fù)鋵W(xué)。甚至在常規(guī)二維曲面這種簡單的情況中，一個(gè)曲面可能表現(xiàn)得極其復(fù)雜，但結(jié)果仍然能通過連續(xù)變形變成一個(gè)球面。
在二維曲面的情況中，存在這樣的一個(gè)性質(zhì)。假定你取一支鉛筆，在一個(gè)球面上畫出一個(gè)簡單的閉圈。現(xiàn)在想象這個(gè)圈收縮得越來越小，收縮時(shí)保持在球面上滑動。這個(gè)圈可以收縮到多小是否有個(gè)限度呢？顯然沒有。你可以把這個(gè)圈收縮得無法與點(diǎn)區(qū)別開來。從數(shù)學(xué)上說，你可以把它真的收縮成一個(gè)點(diǎn)。
如果你一開始是在一個(gè)環(huán)面上畫出一個(gè)圈，那么不一定會發(fā)生同樣的事情。任意畫在一個(gè)曲面上的圈能收縮到一點(diǎn)的性質(zhì)是一種只有球面才具有的曲面拓?fù)湫再|(zhì)。這就是說，如果有一個(gè)曲面，它上面的每一個(gè)圈（“每一個(gè)”在這里很重要）都能不離開這曲面而收縮成一點(diǎn)，那么這個(gè)曲面與球面拓?fù)涞葍r(jià)。
對一個(gè)三維超球面，這一點(diǎn)同樣成立嗎？這是龐加萊在 20 世紀(jì)初提出的問題，這是他通向一個(gè)三維超曲面分類定理之路的第一步。他創(chuàng)立了一個(gè)系統(tǒng)的方法（稱為同倫論），來研究當(dāng)一些圈在一個(gè)流形上移動和變形時(shí)這些圈會發(fā)生什么情況。
事實(shí)上，情況并非如此。起初，龐加萊臆斷三維流形的圈收縮性質(zhì)確實(shí)是三維球面的特征。然而，過了一段時(shí)間后，他意識到他的臆斷可能不成立。1904 年，他把他的疑問發(fā)表，
考慮一個(gè)沒有邊界的三維緊流形 V，即使 V 與三維球面不同胚，V 的基本群是不是也可以是平凡的？
降維說就是，
一個(gè)具有圈收縮性質(zhì)的三維流形是不是可能不與三維球面等價(jià)？
龐加萊猜想就此誕生！
1960 年，美國數(shù)學(xué)家斯梅爾（Stephen Smale）證明了對所有五維和五維以上的流形，龐加萊猜想是正確的。這樣，如果一個(gè)五維或更高維的流形有這個(gè)性質(zhì)，即畫在它上面的任何閉圈可以收縮成一點(diǎn)，則這個(gè)流形與同維的超球面是拓?fù)涞葍r(jià)的。
遺憾的是，斯梅爾使用的方法不能運(yùn)用到三維或四維流形，因此原初的龐加萊猜想仍然未能解決。后來，在 1981 年，另一個(gè)美國人弗里德曼發(fā)現(xiàn)了一種方法，證明了關(guān)于四維流形的龐加萊猜想。
問題還沒有解決。龐加萊猜想已被證明對每一維都是正確的，除了三維。斯梅爾和弗里德曼由于他們的成就，都獲得了菲爾茲獎。首先證明龐加萊猜想的這個(gè)唯一余留情況的人無疑將獲得同樣的榮譽(yù)。
2003 年，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里?佩雷爾曼證明了龐加萊猜想的三維情形，2006 年，數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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