英國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)是在獨(dú)創(chuàng)性方面。布爾的就是一個(gè)典型的例子。布爾的邏輯代數(shù)迅速發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。各國(guó)數(shù)學(xué)家們把它擴(kuò)展到一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域。伯特蘭?羅素說(shuō)：
純數(shù)學(xué)是布爾在 1854 年出版的他的《思維規(guī)律》一書(shū)中發(fā)現(xiàn)的。
這表明了數(shù)學(xué)邏輯及其分支在今天的重要程度。布爾以前的其他人，特別是萊布尼茨和德?摩根，曾經(jīng)夢(mèng)想過(guò)要把邏輯本身加進(jìn)代數(shù)的領(lǐng)域。布爾將它變成了現(xiàn)實(shí)。
布爾于 1815 年 11 月 2 日出生在英格蘭的林肯，是一個(gè)小店主的兒子，屬于社會(huì)底層。當(dāng)時(shí)英國(guó)學(xué)校里學(xué)生的目標(biāo)是將來(lái)?yè)?dān)任當(dāng)時(shí)開(kāi)始流行的工廠和礦山的工頭。這些學(xué)校不是為布爾這類人設(shè)立的。布爾進(jìn)的“國(guó)立學(xué)?！保饕康脑谟诎迅F人留在適合他們的卑賤地位上。布爾所處的時(shí)代，懂得一點(diǎn)點(diǎn)可憐的拉丁文，或者再稍微懂一點(diǎn)希臘文，是一個(gè)上等人的標(biāo)記。說(shuō)來(lái)奇怪，靠死記硬背記住拉丁文的句法，卻被認(rèn)為是最有用的腦力訓(xùn)練。
布爾也趨之若鶩地作了一個(gè)可悲的錯(cuò)誤判斷，他認(rèn)定，想要走出困境，必須學(xué)習(xí)拉丁文和希臘文。事實(shí)是，拉丁文和希臘文與他窮困的原因毫無(wú)關(guān)系。到 12 歲時(shí)，布爾已經(jīng)掌握了足夠的拉丁文，能夠把一首賀拉斯的詩(shī)翻譯成英文詩(shī)了并在地方報(bào)紙上發(fā)表了它。這引起了一場(chǎng)文化上的爭(zhēng)吵，部分是對(duì)布爾的贊揚(yáng)，部分是對(duì)他的羞辱。
布爾最早的數(shù)學(xué)教育來(lái)自他的父親，他父親通過(guò)自學(xué)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他自己所受的那一點(diǎn)點(diǎn)教育。但是布爾堅(jiān)持認(rèn)為古典文學(xué)是主宰生活的鑰匙。到 16 歲時(shí)，他便被迫贍養(yǎng)自己的父母了，找了一份小學(xué)老師的工作。
布爾在兩所小學(xué)教了 4 年書(shū)。他在資本方面一無(wú)所有，掙得的每一個(gè)便士，都是用來(lái)贍養(yǎng)他的父母和維持自己清貧生活的最低需要了。進(jìn)軍隊(duì)，在當(dāng)時(shí)是他無(wú)力辦到的，因?yàn)樗I(mǎi)不起委任狀。當(dāng)律師，在財(cái)產(chǎn)和教育方面都有明顯的要求，而他不可能滿足這些要求。還有什么呢？只有教會(huì)了，布爾決定當(dāng)一名教士。但是在貧窮的折磨下，布爾放棄擔(dān)任教士職位的一切想法。但是他為理想生涯所作的 4 年私下準(zhǔn)備，并沒(méi)有完全白費(fèi)；他精通了法語(yǔ)、德語(yǔ)、意大利語(yǔ)。
幾經(jīng)周折，布爾在 20 歲時(shí)開(kāi)辦了自己的一所私人學(xué)校。在給他的學(xué)生們教授數(shù)學(xué)的過(guò)程中，布爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。當(dāng)時(shí)那些平庸的、令人討厭的教科書(shū)，先是使他驚訝，然后是激起他的輕蔑。這些東西算是數(shù)學(xué)嗎？難以置信。同阿貝爾和伽羅瓦一樣，布爾直接到原始的數(shù)學(xué)大陸去尋找真正的數(shù)學(xué)。他只受過(guò)初步的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，但他靠自己的努力，掌握了拉普拉斯的《天體力學(xué)》，而這是拉普拉斯最深?yuàn)W的杰作之一。他還對(duì)拉格朗日的非常抽象的《分析力學(xué)》，作了徹底的研究。他甚至憑自己的努力，沒(méi)有任何人指導(dǎo)，作出了他對(duì)數(shù)學(xué)的第一個(gè)貢獻(xiàn) —— 寫(xiě)出一篇關(guān)于變分法的論文。
布爾從他這段孤獨(dú)的研究中，取得了另一項(xiàng)成就，他發(fā)現(xiàn)了不變量。要是沒(méi)有不變量的數(shù)學(xué)理論，相對(duì)論就是不可能的。布爾之所以能看出其他人忽略的東西，無(wú)疑是由于他對(duì)于代數(shù)關(guān)系的對(duì)稱和美有很強(qiáng)烈的感覺(jué)。
可以指出，代數(shù)的現(xiàn)代概念開(kāi)始于英國(guó)。皮科克在 1830 年發(fā)表了他的《代數(shù)論文》，當(dāng)時(shí)被視為多少有些異端的新奇東西，它在今天已成為任何一本教科書(shū)中的常識(shí)了。皮科克徹底拋棄了我們?cè)诔醯却鷶?shù)中看到的在諸如 x+y=y+x，xy=yx，x（y+z）=xy+xz 等關(guān)系中 x，y，z，… 必然 "代表數(shù)" 這種觀念。它們并不必須代表數(shù)，這正是關(guān)于代數(shù)及其應(yīng)用的一件最重要的事情。x，y，z，… 僅僅是按照一些運(yùn)算結(jié)合在一起的任意符號(hào)。
如果不了解代數(shù)本身只不過(guò)是一個(gè)抽象系統(tǒng)，那么代數(shù)可能仍然牢固地停留在 18 世紀(jì)的算術(shù)泥淖中，而不能在哈密頓指引下朝它的極為有用的現(xiàn)代變種前進(jìn)。代數(shù)的這個(gè)革新給布爾提供了他的第一次機(jī)會(huì)。他獨(dú)創(chuàng)性地指出，把數(shù)學(xué)運(yùn)算的符號(hào)與它們據(jù)以運(yùn)算的東西分開(kāi)，并研究這些運(yùn)算本身。它們是怎樣結(jié)合的？它們也受某種符號(hào)代數(shù)的支配嗎？他在這方面的研究是極其有意義的，但是他另一項(xiàng)偉大的貢獻(xiàn)，即創(chuàng)立一種簡(jiǎn)單可行的符號(hào)體系或者說(shuō)數(shù)理邏輯體系，使這項(xiàng)工作相形見(jiàn)絀。
為了介紹布爾杰出的發(fā)現(xiàn)，我們稍稍偏離一下主題。19 世紀(jì)有兩個(gè)知名的哈密頓，一個(gè)是愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家威廉?羅恩?哈密頓，另一個(gè)是蘇格蘭哲學(xué)家威廉?哈密頓。善于辭令的哲學(xué)家哈密頓最后成了愛(ài)丁堡大學(xué)的邏輯學(xué)和形而上學(xué)教授。愛(ài)爾蘭的哈密頓則成為了 19 世紀(jì)富于獨(dú)創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家。
蘇格蘭的哈密頓太愚鈍，在學(xué)校時(shí)沒(méi)有學(xué)到比初等數(shù)學(xué)更多的東西，而他的弱點(diǎn)正是自認(rèn)為無(wú)所不知，當(dāng)他開(kāi)始講授和寫(xiě)作關(guān)于哲學(xué)的東西時(shí)，他告訴世界，數(shù)學(xué)是多么沒(méi)有價(jià)值。
數(shù)學(xué)使頭腦僵死和干涸；過(guò)度研究數(shù)學(xué)使頭腦完全喪失哲學(xué)和生活所需要的智力；數(shù)學(xué)根本無(wú)助于養(yǎng)成邏輯習(xí)慣；在數(shù)學(xué)上，遲鈍于是被提升為才能，而才能降格為無(wú)能；數(shù)學(xué)可以扭曲頭腦，但永遠(yuǎn)不會(huì)糾正頭腦。
英國(guó)數(shù)學(xué)史上一位重要的人物德?摩根出場(chǎng)了，他是有史以來(lái)最老練的辯論家之一，一個(gè)精力充沛的數(shù)學(xué)家，為布爾開(kāi)路的偉大的邏輯學(xué)家。
德?摩陷入與哈密頓關(guān)于其 " 謂項(xiàng)的量化 " 的的爭(zhēng)論（沒(méi)有必要解釋這個(gè)神秘的東西是什么或曾經(jīng)是什么）。德?摩根對(duì)演繹法作出了真正的貢獻(xiàn)，但哲學(xué)家哈密頓認(rèn)公開(kāi)指責(zé)德?摩根竊取了自己的成果，于是戰(zhàn)斗開(kāi)始了。在德?摩根方面，辯論是一種愉快的嬉戲。德?摩根從來(lái)不發(fā)火；哈密頓從未學(xué)會(huì)不發(fā)脾氣。
如果這僅僅是關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)吵中的一次，就不值得一提了。其歷史上的重要性在于，布爾那時(shí)是德?摩根的堅(jiān)定的支持者。當(dāng)時(shí)布爾仍然在小學(xué)教書(shū)，他知道德?摩根是正確的，哈密頓錯(cuò)了。所以，在 1848 年，布爾出版了薄薄的一本《邏輯學(xué)的數(shù)學(xué)分析》。
這本小冊(cè)子受到德?摩的強(qiáng)烈贊揚(yáng)。這本小冊(cè)子只是對(duì)在 6 年以后出現(xiàn)的更偉大的東西的預(yù)告。與此同時(shí)，布爾拒絕了去劍橋接受正統(tǒng)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的建議。他繼續(xù)在小學(xué)教書(shū)，因?yàn)樗母改竿耆克B(yǎng)。
1849 年，最后他被任命為新近成立的女王學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。他做了各種各樣值得注意的數(shù)學(xué)工作，但他主要努力的是繼續(xù)使他的杰作（符號(hào)邏輯）趨于完善。1854 年，39 歲的布爾發(fā)表了這一杰作 ——《對(duì)于奠定邏輯和概率的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的思維規(guī)律的研究》。
下面摘錄的幾段將使我們對(duì)布爾的風(fēng)格及其工作領(lǐng)域有所了解，
這篇論文的目的，是研究那些據(jù)以進(jìn)行推理的心算的基本規(guī)律；用微積分學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)它們，并在這個(gè)基礎(chǔ)上建立邏輯科學(xué)，構(gòu)造它的方法；使這個(gè)方法本身成為應(yīng)用于概率的數(shù)學(xué)原理之一般方法的基礎(chǔ)；最后，從在這些探索過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的各種真理的成分中，收集一些可能與自然和人類思維的構(gòu)成有關(guān)的提示……
確實(shí)存在某些建立在語(yǔ)言本身特點(diǎn)上的一般原則，據(jù)以決定作為科學(xué)語(yǔ)言要素的符號(hào)的用途。在一定程度上，這些要素是任意的。它們的解釋純粹是常規(guī)的∶我們可以在我們?cè)敢獾娜魏我饬x上應(yīng)用它們。但是這個(gè)許可受到兩個(gè)必不可少的條件的限制 —— 第一，一旦這個(gè)意義常規(guī)地建立起來(lái)了，我們?cè)谕评淼耐贿^(guò)程中，決不能背離它；第二，指導(dǎo)過(guò)程的法則應(yīng)該完全建立在所用符號(hào)的上述固定意義上。與這些原則一致，在邏輯的符號(hào)法則和代數(shù)的符號(hào)法則之間建立起來(lái)的任何一致，都只能得出過(guò)程一致的結(jié)果。解釋的這兩個(gè)領(lǐng)域仍然是分開(kāi)的和獨(dú)立的，每一個(gè)領(lǐng)域都服從于它自己的法則和條件。
下面幾頁(yè)的實(shí)際研究，在它的實(shí)用方面，把邏輯展示為借助于有確定解釋的符號(hào)的幫助而實(shí)施的過(guò)程體系，并且只服從于建立在該解釋基礎(chǔ)上的法則。但是同時(shí)，它們表現(xiàn)出那些在形式上與代數(shù)的一般符號(hào)相同，只添加了一點(diǎn)，即邏輯符號(hào)還得服從于一項(xiàng)特別的法則，就此而論，量的符號(hào)無(wú)須遵守這條規(guī)律。
布爾把邏輯簡(jiǎn)化成極為容易的一類代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)耐评?，成了?duì)公式的初等運(yùn)算。于是，邏輯本身就受數(shù)學(xué)的支配了。
自從布爾的開(kāi)創(chuàng)性工作以來(lái)，他的偉大發(fā)現(xiàn)已經(jīng)在許多方面被改進(jìn)和推廣了。今天，在理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)中，符號(hào)或數(shù)學(xué)的邏輯都是不可缺少的。如果我們只能利用布爾之前的邏輯方法，那么人類的理智無(wú)法對(duì)付符號(hào)推理所深入到的那些錯(cuò)綜復(fù)雜的困難。布爾的大膽創(chuàng)見(jiàn)是一個(gè)里程碑。
自從 1899 年希爾伯特發(fā)表他關(guān)于幾何基礎(chǔ)的杰作以來(lái)，人們就已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注幾個(gè)數(shù)學(xué)分支的公設(shè)的系統(tǒng)闡述。由于希爾伯特的工作，公設(shè)法才得到承認(rèn)。這個(gè)抽象的趨勢(shì)曾風(fēng)行一時(shí)，在這一趨勢(shì)中，某一特定主題中的運(yùn)算的符號(hào)和規(guī)則完全失去了意義，而是從純形式觀點(diǎn)予以討論，從而忽略了應(yīng)用，而應(yīng)用正是人類對(duì)于任何科學(xué)活動(dòng)的最終追求。然而，抽象的方法確實(shí)提供了無(wú)可替代的洞察力，特別是由此非常容易看出布爾的邏輯代數(shù)的簡(jiǎn)便性。
因此，我們將敘述布爾代數(shù)（邏輯代數(shù)）的公設(shè)。下面一組公設(shè)是從亨丁頓發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)報(bào)》（1933 年）上的一篇文章中摘錄的。
這一組公設(shè)用 K，+，x 表示，其中 K 是一類不確定的（完全任意的，沒(méi)有任何預(yù)先指定的意義或超出公設(shè)所給出的性質(zhì)）元素 a，b，c，…，而 a＋b 和 a×b 是兩個(gè)不確定的二元運(yùn)算 +，× 的結(jié)果。一共有 10 個(gè)公設(shè)，
Ⅰa：如果 a 和 b 在類 K 中，那么 a+b 在類 K 中。
Ⅰb：如果 a 和 b 在類 K 中，那么 ab 在類 K 中。
Ⅱa：有一個(gè)元素 Z，使得對(duì)于每一個(gè)元素 a 有 a+Z=a。
Ⅱb：有一個(gè)元素 U，使得對(duì)于每一個(gè)元素 a 有 aU=a。
Ⅲa：a+b=b+a。
Ⅲb：ab=ba。
IVa：a+bc=(a+b)(a+c)。
Ⅳb：a(b+c)=ab+ac。
V：對(duì)于每一個(gè)元素 a，有一個(gè)元素 a'，使得 a+a'=U，aa'=Z。
Ⅵ：在類 K 中至少有兩個(gè)不同的元素。
很容易看出，下面的解釋滿足這些公設(shè)∶a，b，c，… 是一些類；a＋b 是所有那些至少在類 a，b 之一中的東西構(gòu)成的類；ab 是那些既在類 a 中又在類 b 中的東西構(gòu)成的類；Z 是“空類”—— 沒(méi)有元素的類；U 是“全類”—— 包含所討論的一切類中的一切東西的類。那么公設(shè) V 說(shuō)明，對(duì)于已知的任何類 a，有一個(gè)包含所有那些不在 a 中的東西構(gòu)成的類 a'。注意 Ⅵ 表示 U，Z 不是同一個(gè)類。
從這樣一組簡(jiǎn)單而明顯的陳述中，整個(gè)古典邏輯都能通過(guò)由（公設(shè)生成的）代數(shù)用符號(hào)建立起來(lái)。從這些公設(shè)中發(fā)展出了可以稱為“邏輯方程”的理論∶邏輯中的問(wèn)題被轉(zhuǎn)換成這樣的方程，然后這些方程用代數(shù)的方法“求解”；然后再按照邏輯數(shù)據(jù)重新解釋這個(gè)解，給出原始問(wèn)題的解答。
關(guān)系 a<b [讀作 a 包含在 b 中] 是由以下方程中的任意一個(gè)定義的∶a+b=b，ab=a，a'+b=U，ab'=Z。
為了說(shuō)明這些是合理的，考慮第二個(gè)方程 ab=a。這個(gè)方程說(shuō)，如果 a 包含在 b 中，那么既在 a 中又在 b 中的一切是 a 的全體。
從所述的公設(shè)中，能夠證明以下關(guān)于包含的定理（如果有必要，可以有幾千個(gè)更為復(fù)雜的定理）。選出來(lái)的例子都符合我們對(duì)于“包含”的意義的直觀概念。
1. a<a。
2. 如果 a<b，b<c，那么 a<c。
3. 如果 a<b，b<a，那么 a=b。
4. Z<a（其中 Z 是 Ⅱa 中的元素 ———— 可以證明是滿足 Ⅱa 的唯一元素）。
5. a<U（其中 U 是 Ⅱb 中的元素 —— 同樣是唯一的）。
6. a<a+b 并且如果 a<y，b<y，那么 a+b<y。
7. ab<a 并且如果 x<a，x<b，那么 x<ab。
8. 如果 x<a，x<d'，那么 x=Z；并且如果 a<y，a'<y，那么 y=U。
9. 如果 a<b' 不成立，那么至少有一個(gè)與 Z 不同的元素 x，使得 x<a，x<b。
注意到在算術(shù)和分析中“<”是“小于”的符號(hào)。這種“符號(hào)推理”的重要性，在于它可用于與全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)有關(guān)的微妙問(wèn)題，要不是這個(gè)精確方法一勞永逸地確定了“語(yǔ)詞”或其他“符號(hào)”的意義，這種問(wèn)題也許是常人無(wú)從著手的。
幾乎像所有的新奇事物一樣，符號(hào)邏輯在發(fā)明之后的許多年內(nèi)沒(méi)有受到人們的重視。甚至到了 1910 年，著名的數(shù)學(xué)家們還輕蔑地稱它為沒(méi)有數(shù)學(xué)意義的、哲學(xué)上稀奇古怪的東西。羅素在《數(shù)學(xué)原理》中的工作，首先使一切專業(yè)數(shù)學(xué)家們相信，符號(hào)邏輯可能是值得他們注意的。這里可以提一下符號(hào)邏輯的一個(gè)堅(jiān)定反對(duì)者 —— 康托爾。理解了“數(shù)”，也就理解了數(shù)學(xué)
布爾于 1864 年 12 月 8 日去世，終年 50 歲。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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