困擾數(shù)學界幾個世紀的難題，終于有重大突破了！
這個難題如果被解決，會直接影響到一個著名未解之謎的求解 —— 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想是數(shù)學界頂尖的 7 大千禧難題之一，有人為了證明它，懸賞過最高 100 萬美元的獎金。
所以，究竟突破了什么難題？
求解一共有多少整數(shù)，能被寫成 2 個有理數(shù)（整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱）的立方和。
例如整數(shù) 13，就可以被“拆”成有理數(shù) 7/3 的立方、以及有理數(shù) 2/3 的立方總和：
看起來似乎不難，但數(shù)學家們在這幾百年來關于它提出的各種猜想，卻沒有一個被真正、徹底地證實。
普林斯頓高等研究所的數(shù)學系教授 Peter Sarnak 對此感嘆：
分析兩個數(shù)的立方和，意味著研究的族（family，集的同義詞）非常小，族越小意味著問題越難。
我只能說這個問題很難、特別難，答案幾乎“遙不可及”。
但對于學界而言，這個問題的求解又至關重要。
它不僅是解決很多純數(shù)學問題的核心突破口，在應用數(shù)學如密碼學領域也頗受重視。
無證明，不數(shù)學?，F(xiàn)在 3 位數(shù)學家再次朝這一難題發(fā)起挑戰(zhàn)，并成功突破了關鍵瓶頸之一。
所以這個數(shù)學問題究竟難在哪里，數(shù)學家們又究竟如何取得了這一突破？
選擇與三次方“死磕”
我們先來回看一下這個要解決的難題：
究竟有多少個整數(shù)，可以表達成有理數(shù)三次方和的形式？
這時可能會有盆友好奇，為什么數(shù)學家們要死磕三次方的和，而不是平方、四次方、五次方…… 呢？
答案也很簡單 —— 它更難，也更有用。
具體原因有以下三點：
其一，除了三次方之外，無論是小于它的二次方、還是大于它的 N（N＞3）次方，有些問題已經(jīng)被解決過了。
就拿二次方來說，已經(jīng)有非常具體的方法來判斷哪些整數(shù)能成為兩個有理數(shù)的平方和。
這個方法是在 17 世紀早期，數(shù)學家阿爾伯特?吉拉德（Albert Girard）和皮埃爾?德?費馬（Pierre de Fermat）提出的，如果不符合這一條件，則整數(shù)不能用有理數(shù)二次方和表示。方法具體如下：
首先，將挑選的數(shù)字分解成質(zhì)數(shù)冪的形式。以整數(shù) 490 為例，它可以被分解成下面這種形式：
然后，對分解后的質(zhì)數(shù)進行檢查：如果其中一個質(zhì)因數(shù)除以 4 的余數(shù)為 3，那么它的冪必須為偶數(shù)。只有這樣，原來的數(shù)才能表示為有理數(shù)平方和。
這里 7 除以 4 余 3，它的指數(shù)為 2，符合偶數(shù)的要求，因此整數(shù) 490 可以用兩個有理數(shù)平方和表示：
其二，基于上述條件，“能否被 2 個有理數(shù)立方和表示”也可能成為繼奇數(shù)、偶數(shù)之外，又一個將整數(shù)有效分為兩個陣營的分類方法。
畢竟數(shù)學家們推算過，發(fā)現(xiàn)能用有理數(shù)二次方和表示的整數(shù)比例很低，同理 N 次方（N＞3）也是。
相比之下，可以用三次方和表示的整數(shù)就非常豐富。
光是在 1～100 的整數(shù)里，就有 59 個能用兩個有理數(shù)立方和來表示：
這樣的話，大約就有 59% 的整數(shù)能被 2 個有理數(shù)立方和表示，甚至有數(shù)學家猜想這個數(shù)值能被推廣到所有整數(shù)范圍中。
其三，數(shù)學家們研究這個問題也不僅僅是為了有一個新的整數(shù)劃分方式，它還和數(shù)論中的“熱門研究領域”橢圓曲線有關。
橢圓曲線具有極其復雜的結(jié)構，這使它成為純數(shù)學和應用數(shù)學等許多領域的中心，在密碼學中也有很大的用處。
立方和問題，就是橢圓曲線中的一個特例。
如開頭提到的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，就是橢圓曲線領域的一個核心問題。
如果這一猜想成立，便能推斷出符合上面 1~100 整數(shù)表現(xiàn)（即藍色數(shù)字圖）的結(jié)論：
在 1000 萬個數(shù)字中，約有 59% 是兩個有理數(shù)立方的總和。
不過，上面提出的這么多推斷，繞來繞去也都只停留在猜想層面。
過去的幾百年里，不少數(shù)學家試圖揭開這個謎題，但要么無法得出結(jié)論，要么無法證明自己的推斷是正確的。
它不像指數(shù)為 2 時，整數(shù)可以輕松被證明能否被拆解為兩個有理數(shù)平方和（方法如上），畢竟指數(shù)為 3 時，沒有確切的方法可以證明整數(shù)能否被拆解。
但嘗試一個個“暴力拆解”整數(shù)又是不現(xiàn)實的。
因為在整個拆解過程中，涉及到的計算量巨大。
畢竟相較于拆成兩個整數(shù)立方和，拆成兩個分數(shù)立方和的難度要大得多……
舉個栗子??，整數(shù) 2083 雖然可以被拆解成兩個分數(shù)的立方和，但光是這兩個分數(shù)的分母，就長達 40 多個數(shù)字！
這還僅僅是一個整數(shù)的計算量，更別提挨個兒計算其他整數(shù)了。
現(xiàn)在，終于有 3 位數(shù)學家成功突破了這個問題的瓶頸，第一次給出了可以拆解成兩個有理數(shù)立方和的整數(shù)比例：
9.5%~83%。
所以這一范圍究竟是怎么得出的？
如何圈定這一范圍？
正如上面所說，橢圓曲線的結(jié)構極其復雜，這也使得它的直接求解變得非常困難。
于是這 3 位數(shù)學家開始思考：為何不試試將它與更容易處理的東西聯(lián)系起來呢？
這一想就想到了矩陣。
這 3 位數(shù)學家中的 1 位，曾在今年 4 月證明過一個理論：
如果一個立方和方程存在有理數(shù)解（rational solutions），那么至少存在一個 2×2×2×2 的四維矩陣與它對應。
依據(jù)這個理論，如果能想辦法計算出整數(shù)的 2 個分數(shù)立方和方程是否有對應的四維矩陣，就有辦法求解出不可能被表示成有理數(shù)立方和的整數(shù)范圍。
具體的求解過程，涉及兩方面的理論：
一部分是幾何數(shù)論，涉及計算不同幾何圖形在坐標系中的格點（lattice points）；另一部分則是解析數(shù)論，與哈代-李特爾伍德圓法（定理）相關。
最終他們求解出的結(jié)果是，大約有 1/6 的整數(shù)不存在對應的四維矩陣，換言之，這 1/6 的整數(shù)完全不可能被表示成 2 個有理數(shù)立方和的形式。
這樣就確定了這個范圍的最大上限 —— 至多有 5/6（約 83%）的整數(shù)可能被表示成有理數(shù)立方和。
所以求解下限的話，將定理反過來不就行了？
并非如此。
畢竟這個理論的逆定理并沒有被證明成立，即“如果一個整數(shù)能找到對應的四維矩陣，則它也能被表示為 2 個有理數(shù)的立方和”。
為此，三位數(shù)學家求助了橢圓曲線領域中對逆定理頗有研究的 2 位專家，分別是來自德克薩斯大學奧斯汀分校的 Ashay Burungale 和普林斯頓大學的 Christopher Skinner。
他們一番搗鼓后，給出了一個特殊情況下逆定理成立的條件，在這種情況下至少存在 2/21 的整數(shù)，能表示為 2 個有理數(shù)的立方和。
而 2/21（約 9.5%）這個數(shù)值，也正是這一整數(shù)范圍的下限。
但畢竟是特殊情況，所以 3 位數(shù)學家認為，9.5%~83% 這個整數(shù)范圍還能被進一步縮小。
接下來，他們打算進一步提升下限 9.5% 的數(shù)值，以接近逆定理完全成立下的 5/12（約 41%）。
領域內(nèi)的學者認為，這一成果突破，表明數(shù)學家們距離貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的證明又前進了一大步。
作者之一為菲爾茲獎得主
這次研究之前，3 位數(shù)學家已經(jīng)在數(shù)論領域有過幾次合作了。
其中，Ari Shnidman 和 Manjul Bhargava 早在 2012 年就有過數(shù)論領域的合作，而 Manjul Bhargava 又是 Levent Alp?ge 在普林斯頓大學讀博期間的導師。
Levent Alp?ge，哈佛大學初級研究員，本科畢業(yè)于哈佛大學數(shù)學系，并獲得了物理系碩士學位，隨后他獲得普林斯頓大學數(shù)學系的碩士、博士學位。
他曾于 2015 年獲得摩根獎，這個獎項每年頒給數(shù)學研究出色的大學生。
Ari Shnidman，以色列希伯來大學數(shù)學系的高級講師，研究興趣是包括算數(shù)統(tǒng)計學、算數(shù)幾何等在內(nèi)的數(shù)論方向。
Manjul Bhargava，普林斯頓大學數(shù)學系教授，本科畢業(yè)于哈佛大學，博士畢業(yè)于普林斯頓大學，研究方向是幾何數(shù)論。
他于 2014 年獲得菲爾茲獎，獲獎理由是在幾何數(shù)論領域做出的突出貢獻，包括開辟新方法來計算“小”秩（“小”指最多不超過 5）的環(huán)數(shù)和估計橢圓曲線平均秩的界等。
值得一提的是，其中他研究的關于“橢圓曲線三次方程的有理數(shù)解”也是獲獎原因之一，這次研究的兩個有理數(shù)的立方和問題，就是其中的一種特殊求解情況。
這次突破有不少理論基礎，就建立在 Manjul Bhargava 之前做過的工作上。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2210.10730
參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/
[2]https://swc-math.github.io/aws/2009/09BhargavaNotes.pdf
[3]http://math.huji.ac.il/~shnidman/
本文來自微信公眾號：量子位 （ID：QbitAI），作者：Pine 蕭簫
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