一個(gè)人是否可能長(zhǎng)時(shí)間從事初等教學(xué)工作而仍然保持?jǐn)?shù)學(xué)上的活力?！艾F(xiàn)代分析學(xué)之父”魏爾斯特拉斯的一生就是確定的回答。
在詳細(xì)介紹魏爾斯特拉斯之前，我們按年代順序介紹他同時(shí)代的德國(guó)數(shù)學(xué)家，這些人在 19 世紀(jì)后半葉和 20 世紀(jì)的最初 30 年內(nèi)，對(duì)于數(shù)學(xué)的至少一個(gè)領(lǐng)域提出了新的見(jiàn)解。1855 年是數(shù)學(xué)上的一個(gè)標(biāo)志性時(shí)間點(diǎn)，這一年高斯去世，標(biāo)志著與前一世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家的最后聯(lián)系的中斷。1855 年，魏爾斯特拉斯 40 歲；克羅內(nèi)克 32 歲；黎曼 29 歲；戴德金 24 歲；而康托爾還是一個(gè) 10 歲的小孩子。因此德國(guó)數(shù)學(xué)不缺乏新人來(lái)延續(xù)高斯的偉大傳統(tǒng)。這時(shí)魏爾斯特拉斯剛剛得到公認(rèn)；克羅內(nèi)克剛開(kāi)了個(gè)好頭；黎曼已經(jīng)做出了一些最偉大的工作；戴德金正在進(jìn)入使得名聲大噪的領(lǐng)域（數(shù)論）。當(dāng)然，康托爾還默默無(wú)聞。
這些人在數(shù)學(xué)的一個(gè)中心問(wèn)題，即無(wú)理數(shù)的問(wèn)題上走到了一起。魏爾斯特拉斯和戴德金繼歐多克斯重新開(kāi)始了對(duì)無(wú)理數(shù)和連續(xù)的討論；克羅內(nèi)克懷疑并批評(píng)魏爾斯特拉斯對(duì)歐多克斯的修正；而康托爾則闖出了一條他自己的新路，力圖領(lǐng)悟隱含在連續(xù)這個(gè)概念中的實(shí)無(wú)窮本身。從魏爾斯特拉斯和戴德金的工作中，開(kāi)創(chuàng)了分析學(xué)的現(xiàn)代紀(jì)元，即分析學(xué)（微積分學(xué)、單復(fù)變函數(shù)理論和實(shí)變函數(shù)理論）的嚴(yán)格的邏輯精確性。高斯、阿貝爾和柯西開(kāi)始了嚴(yán)格化的第一個(gè)階段；魏爾斯特拉斯和戴德金則把它推到了更高的水平上。
魏爾斯特拉斯的一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特別使直觀派的分析學(xué)家們感到震驚：他作出了一個(gè)在任何一點(diǎn)上都沒(méi)有切線(xiàn)的連續(xù)曲線(xiàn)。高斯一度稱(chēng)數(shù)學(xué)為“眼睛的科學(xué)”；但要讓人 "看見(jiàn)" 魏爾斯特拉斯的曲線(xiàn)，需要比一雙好眼睛更多的東西。
在數(shù)學(xué)中，魏爾斯特拉斯函數(shù)是處處連續(xù)但處處不可微的實(shí)值函數(shù)的示例。魏爾斯特拉斯函數(shù)在區(qū)間 [?2,2] 上的圖。像其他一些分形一樣，該函數(shù)表現(xiàn)出自相似性，每次縮放（紅圈）都與全局圖相似。
克羅內(nèi)克猛烈地地攻擊過(guò)它（數(shù)學(xué)分析），否認(rèn)它有什么意義，但沒(méi)有給數(shù)學(xué)分析留下絲毫影響。直到 20 世紀(jì)的第二個(gè) 10 年，人們才認(rèn)真考慮他對(duì)于目前所接受的連續(xù)和無(wú)理數(shù)的信念的責(zé)難。不管是否有道理，克羅內(nèi)克的攻擊部分導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)學(xué)推理中嚴(yán)格化的第三個(gè)階段。
阿貝爾死于 1829 年，伽羅瓦死于 1832 年，雅可比死于 1851 年。在我們所論及的時(shí)代，數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)突出問(wèn)題，是完成阿貝爾和雅可比關(guān)于多周期函數(shù)（橢圓函數(shù)，阿貝爾函數(shù)）的工作。魏爾斯特拉斯和黎曼從完全不同的觀點(diǎn)完成了應(yīng)該做的事情（魏爾斯特拉斯認(rèn)為自己在某種程度上是阿貝爾的后繼者）；克羅內(nèi)克在橢圓函數(shù)方面開(kāi)辟了新的前景，但是他沒(méi)有在阿貝爾函數(shù)領(lǐng)域與另外兩個(gè)人競(jìng)爭(zhēng)?？肆_內(nèi)克主要是算術(shù)學(xué)家和代數(shù)學(xué)家；他的一部最優(yōu)秀的著作，是對(duì)伽羅瓦在方程理論中的工作的詳盡闡述和發(fā)展。這樣，伽羅瓦在他去世后不久就有了一個(gè)相稱(chēng)的后繼者。
魏爾斯特拉斯
卡爾?威廉?特奧多爾?魏爾斯特拉斯（Karl Wilhelm Theodor Weier-strass）于 1815 年 10 月 31 日出生在德意志，明斯特區(qū)的奧斯滕費(fèi)爾德。
數(shù)學(xué)家們往往喜歡音樂(lè)，像魏爾斯特拉斯這樣豁達(dá)的一個(gè)人竟不能忍受任何形式的音樂(lè)。但是，他像阿貝爾和其他許多第一流的數(shù)學(xué)家一樣，喜歡“拜訪(fǎng)”數(shù)學(xué)大師，他曾經(jīng)醉心于拉普拉斯的《天體力學(xué)》，從而為他終生感興趣的力學(xué)和聯(lián)立微分方程組奠定了基礎(chǔ)。
1839 年 5 月 22 日，魏爾斯特拉斯在明斯特開(kāi)始了中等學(xué)校教師的生涯。這對(duì)他后來(lái)在數(shù)學(xué)上的卓越成就是一級(jí)最重要的階梯。對(duì)魏爾斯特拉斯影響最大的，是克里斯托夫?古德曼來(lái)到明斯特?fù)?dān)任數(shù)學(xué)教授，古德曼當(dāng)時(shí)正熱衷于橢圓函數(shù)。
雅可比在 1829 年發(fā)表了他《橢圓函數(shù)理論的新基礎(chǔ)》。
在古德曼所處的時(shí)代，橢圓函數(shù)理論可以有許多不同的方法去發(fā)展。古德曼的想法是一切都以函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為基礎(chǔ)，但他并沒(méi)有取得多大的成就。重要的是，魏爾斯特拉斯使冪級(jí)數(shù)理論（古德曼的靈感）成為他在分析學(xué)方面的全部工作的核心。
古德曼講授橢圓函數(shù)課程的第一講時(shí)，只有 13 個(gè)人聽(tīng)。第二講只來(lái)了一個(gè)聽(tīng)眾，就是魏爾斯特拉斯。從此以后，沒(méi)有第三者膽敢來(lái)褻瀆這位演講者與他唯一的弟子之間的神交。
魏爾斯特拉斯在 26 歲時(shí)開(kāi)始了在中學(xué)教書(shū)的職業(yè)，一直持續(xù) 15 年，這通常被認(rèn)為是一個(gè)數(shù)學(xué)家一生中最富于創(chuàng)造力的 15 年。魏爾斯特拉斯的講課是完美的典范，他能給予學(xué)生們一種摸不著的東西，叫做靈感。他造就了一大批富于創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)家。
魏爾斯特拉斯常常同他的朋友 —— 阿貝爾一起熬夜。當(dāng)他成為世界上第一流的分析學(xué)家和歐洲最偉大的數(shù)學(xué)教師時(shí)，他對(duì)眾多學(xué)生的第一個(gè)、也是最后一個(gè)忠告，就是“讀阿貝爾”。
魏爾斯特拉斯創(chuàng)造性的思想，絕大部分是他在擔(dān)任一名默默無(wú)聞的中學(xué)教師時(shí)構(gòu)思出來(lái)的，那里沒(méi)有先進(jìn)的書(shū)籍。由于付不起郵費(fèi)，魏爾斯特拉斯不能進(jìn)行科學(xué)通信。或許這對(duì)他倒是一件好事∶他的獨(dú)創(chuàng)性可以不受當(dāng)時(shí)流行的思想的妨礙而自由發(fā)展。他在演講中，總想從頭開(kāi)始按照他自己的特點(diǎn)進(jìn)行，幾乎從不提到別人的工作。
數(shù)學(xué)生涯
在明斯特的高級(jí)中學(xué)擔(dān)任一年見(jiàn)習(xí)教師以后，魏爾斯特拉斯寫(xiě)了一篇關(guān)于分析函數(shù)的論文。他在這篇論文中，除了其他東西以外，獨(dú)立地得出了柯西的積分理論 —— 所謂的分析學(xué)基本定理。1842 年，魏爾斯特拉斯 27 歲時(shí)，把他所發(fā)展的方法應(yīng)用到微分方程組，論述是成熟和有力的。他做這些工作，沒(méi)有想到發(fā)表，僅僅是為他畢生的事業(yè)（論阿貝爾函數(shù)）打基礎(chǔ)。
德意志克羅內(nèi)這個(gè)無(wú)名的小村，有幸成為魏爾斯特拉斯在 1842 年首次出版著作的地方，它在數(shù)學(xué)史上像一個(gè)王國(guó)的首都那樣突出。因?yàn)檎窃谶@里，魏爾斯特拉斯為他一生中最重要的工作 ——“完成阿貝爾的和源自阿貝爾定理的雅可比的畢生事業(yè)，以及雅可比對(duì)多變量的多周期函數(shù)的發(fā)現(xiàn)”—— 奠定了基礎(chǔ)。
阿貝爾在他年輕力壯的時(shí)候就去世了，沒(méi)有機(jī)會(huì)去探究他的驚人發(fā)現(xiàn)的重大意義；而雅可比沒(méi)有能清楚地看出，應(yīng)該在阿貝爾定理中找出他自己的工作的真正意義。這些成果的鞏固和發(fā)展是數(shù)學(xué)的主要問(wèn)題之一。
因此魏爾斯特拉斯宣稱(chēng)，一旦他深刻地了解了這個(gè)問(wèn)題，并發(fā)展出必要的工具，他就將全力以赴從事這個(gè)問(wèn)題。
可以把魏爾斯特拉斯在分析方面的全部工作，看作對(duì)他的很多研究的重大開(kāi)始。他早就確信，為了清楚地理解他想要做的是什么，必須對(duì)數(shù)學(xué)分析的基本觀念進(jìn)行徹底的修正；從這個(gè)信念出發(fā)，他又產(chǎn)生了另一個(gè)信念∶分析必須建立在普通整數(shù)上。無(wú)理數(shù)給我們極限和連續(xù)的概念，從中產(chǎn)生分析，而無(wú)理數(shù)必須通過(guò)不可違反的推理回溯到整數(shù)去；似是而非的證明必須拋棄或重做，空白必須補(bǔ)上，模糊的“自明之理”必須拿出來(lái)經(jīng)受?chē)?yán)格的質(zhì)詢(xún)，直到一切都理解了，一切都按照用整數(shù)能夠理解的語(yǔ)言陳述清楚了為止。這在某種意義上是畢達(dá)哥拉斯的理想∶把全部數(shù)學(xué)建立在整數(shù)的基礎(chǔ)上，但是魏爾斯特拉斯給了這個(gè)計(jì)劃以建設(shè)性的、明確的定義，使它能夠解決問(wèn)題。
這樣就產(chǎn)生了 19 世紀(jì)的分析的算術(shù)化運(yùn)動(dòng)，它和克羅內(nèi)克的算術(shù)方法完全不同。
1853 年，魏爾斯特拉斯（這時(shí) 38 歲）的暑假是在韋斯特科滕他父親家里度過(guò)的。魏爾斯特拉斯利用這個(gè)假期寫(xiě)了一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文。1854 年，這篇論文發(fā)表在了克列爾的《雜志》上，引起了轟動(dòng)。
在柯尼斯堡大學(xué)，雅可比曾經(jīng)作出他的偉大發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在魏爾斯特拉斯以一篇更優(yōu)秀的杰作，進(jìn)入了同一個(gè)領(lǐng)域?？履崴贡ご髮W(xué)的一位數(shù)學(xué)教授里什洛是雅可比在多周期函數(shù)理論方面的一個(gè)后繼者。他以專(zhuān)業(yè)的眼光立刻看出了魏爾斯特拉斯論文的價(jià)值。他即刻說(shuō)服柯尼斯堡大學(xué)授予魏爾斯特拉斯名譽(yù)博士學(xué)位，而且親自前往布勞恩斯貝格送交學(xué)位證書(shū)。當(dāng)時(shí)克列爾的《雜志》的編輯博爾夏特（Borchardt），匆忙趕到布勞恩斯貝格，去祝賀這位全世界最偉大的分析學(xué)家，從而開(kāi)始了他們之間的親切友誼。
1856 年 7 月 1，魏爾斯特拉斯被任命為柏林皇家綜合工科學(xué)校的數(shù)學(xué)教授。同年秋天，他成為了柏林大學(xué)的助理教授，并被選入柏林科學(xué)院。
新的工作環(huán)境的激勵(lì)和講課太多帶來(lái)的緊張，不久就導(dǎo)致了精神崩潰。魏爾斯特拉斯在他的研究工作方面也干得過(guò)于勞累。1859 年夏天，他不得不放棄他的課程去休息治療。秋季他回校，繼續(xù)工作，健康明顯地恢復(fù)了。但是第二年 3 月突然發(fā)生一陣陣的頭暈，他在一次講課中倒下了。
后來(lái)，魏爾斯特拉斯的聲望傳遍歐洲（后來(lái)傳到美洲），魏爾斯特拉斯所教的班開(kāi)始龐大得難于控制了。他在自己周?chē)奂艘蝗簶O其能干的青年數(shù)學(xué)家，這些青年數(shù)學(xué)家做了許多工作去宣傳他的思想。由于魏爾斯特拉斯對(duì)于發(fā)表他的著作一向不積極，如果不是他的弟子們主動(dòng)傳播他的演講，他對(duì) 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)思想的影響就會(huì)大大地受到阻礙了。
與柯瓦列夫斯卡婭的友誼
魏爾斯特拉斯在柏林擔(dān)任數(shù)學(xué)教授的年代（1864——1897），這位世界公認(rèn)為第一流的分析學(xué)家的生涯中，充滿(mǎn)了科學(xué)和人性方面的饒有興味的事情。有一件事，不是一筆帶過(guò)所能滿(mǎn)足的。這就是他和他心愛(ài)的學(xué)生索尼婭?柯瓦列夫斯卡婭的友誼。
柯瓦列夫斯卡婭于 1850 年 1 月 15 日生于莫斯科，于 1891 年 2 月 10 日死于瑞典的斯德哥爾摩。
索尼婭 15 歲開(kāi)始研究數(shù)學(xué)。到 18 歲時(shí)，她取得極快的進(jìn)展，可以進(jìn)行高級(jí)的工作，并且醉心于這門(mén)學(xué)科。由于她出身于富裕的貴族家庭，她出國(guó)學(xué)習(xí)的抱負(fù)得以滿(mǎn)足，被海德堡大學(xué)錄取。這位天資很高的姑娘，不僅成為近代第一流的女?dāng)?shù)學(xué)家，而且也作為一名婦女解放運(yùn)動(dòng)的領(lǐng)袖而聞名。此外，索尼婭是極其美貌的。
1870 年，普法戰(zhàn)爭(zhēng)使魏爾斯特拉斯放棄了通常的暑期旅行，他留在柏林講授橢圓函數(shù)。索尼婭當(dāng)時(shí)是一位光彩奪目的 19 歲的年輕女子，從 1869 年秋季起，她就在海德堡大學(xué)師從萊奧?柯尼希斯貝格爾學(xué)習(xí)橢圓函數(shù)?？履嵯Ｋ关惛駹柺俏籂査固乩棺钤绲囊粋€(gè)學(xué)生，也是魏爾斯特拉斯的第一流的宣傳員。索尼婭決定直接去找這位大師本人，以求得到靈感和啟迪。
在 19 世紀(jì) 70 年代，未婚女大學(xué)生的情況是有些特殊的。為了防止流言蜚語(yǔ)，索尼婭在 18 歲時(shí)就締結(jié)了婚約，名義上算是結(jié)了婚，她離開(kāi)了在俄國(guó)的丈夫，啟程去了德國(guó)。在她與魏爾斯特拉斯的交往中，她欠考慮的是沒(méi)有在一開(kāi)始就告訴魏爾斯特拉斯她是結(jié)了婚的。
既已決定向這位大師本人學(xué)習(xí)，索尼婭便敢作敢為地去柏林拜訪(fǎng)魏爾斯特拉斯。她 20 歲，非常熱情，非常誠(chéng)摯而又非常堅(jiān)決；魏爾斯特拉斯 55 歲，滿(mǎn)懷同情地理解年輕人的抱負(fù)。索尼婭為了掩飾她的驚慌，戴了一頂松軟的大帽子，因而魏爾斯特拉斯完全看不見(jiàn)她那雙驚人的眼睛，要是她愿意，那富于表情的眼神是誰(shuí)也不能抗拒的。
索尼婭第一次拜訪(fǎng)時(shí)的明顯的熱情，給魏爾斯特拉斯留下了良好的印象。于是他寫(xiě)信給柯尼希斯貝格爾，詢(xún)問(wèn)她的數(shù)學(xué)才能。他還問(wèn)到“是否能為這位小姐的品格提供必要的擔(dān)?！?。在收到肯定的答復(fù)以后，魏爾斯特拉斯就試著請(qǐng)求大學(xué)評(píng)議會(huì)允許索尼婭聽(tīng)他的數(shù)學(xué)講座。請(qǐng)求被粗暴地拒絕了，他便利用業(yè)余時(shí)間親自照顧她。每個(gè)星期日下午在他的住處給索尼婭講課，每星期魏爾斯特拉斯去回訪(fǎng)她一次。最初幾次課以后，索尼婭就脫下了她的帽子。授課從 1870 年秋季開(kāi)始，一直持續(xù)到 1874 年秋季，只是由于假期或生病才稍微中斷一下。當(dāng)這兩位朋友由于某種原因不能見(jiàn)面時(shí)，他們就通信。1891 年索尼婭去世后，魏爾斯特拉斯把她寫(xiě)給他的信全部燒毀，一起燒毀的還有他的許多其他信件和也許不止一篇數(shù)學(xué)論文。
魏爾斯特拉斯和他可愛(ài)的年輕朋友之間的通信，是極富于人情味的，即使大部分通信是關(guān)于數(shù)學(xué)方面的也仍然如此。毫無(wú)疑問(wèn)，大部分通信在科學(xué)上具有很大的重要性，但不幸的是，索尼婭在對(duì)待文件方面是個(gè)毫無(wú)條理的女人，她留下的東西絕大部分是支離破碎或者雜亂無(wú)章的。
魏爾斯特拉斯本人在這方面也不是一個(gè)完人。他不作記錄而把他尚未發(fā)表的手稿隨便借給學(xué)生們，而他們并非每次都?xì)w還他們借去的東西。有些人甚至肆無(wú)忌憚地改寫(xiě)他們老師的部分著作，然后把結(jié)果當(dāng)做他們自己的東西發(fā)表。雖然魏爾斯特拉斯在寫(xiě)給索尼婭的信中，抱怨這種令人不能容忍的做法，但他懊惱的不是對(duì)他的思想的卑劣剽竊，而是他的想法在無(wú)能之輩的手上被粗制濫造，結(jié)果是給數(shù)學(xué)造成損害。索尼婭當(dāng)然決不會(huì)干出這種事來(lái)，但是在另一方面，她也不是完全沒(méi)有過(guò)錯(cuò)的。魏爾斯特拉斯把他非常重視的一篇尚未發(fā)表的著作寄給了索尼婭，從此以后就再也沒(méi)有看見(jiàn)它了。顯然是她弄丟了，因?yàn)槊慨?dāng)他提起這件事時(shí)，她就小心地避而不談。
為了彌補(bǔ)這個(gè)過(guò)失，索尼婭竭力讓魏爾斯特拉斯對(duì)于他沒(méi)有發(fā)表的其余著作稍微謹(jǐn)慎一些。他習(xí)慣于在經(jīng)常性的外出旅行時(shí)，隨身帶一個(gè)白色的大木箱，里面放著他的全部工作筆記，和他尚未完成的論文的各式各樣的文稿。他的習(xí)慣是把一個(gè)理論反復(fù)修改很多遍，一直到找出發(fā)展它的最好的“自然”方式為止。結(jié)果他的著作出版得很慢，只有在他從一個(gè)前后一致的觀點(diǎn)，徹底研究透了一個(gè)題目時(shí)，他才署上自己的名字，發(fā)表一篇著作。1880 年，魏爾斯特拉斯在一次度假旅行中，這個(gè)箱子丟失了。從此以后再?zèng)]有聽(tīng)見(jiàn)它的消息。
1874 年索尼婭缺席獲得哥廷根大學(xué)授予的學(xué)位以后，回俄國(guó)休息。她的“休息”就是一頭扎進(jìn)了圣彼得堡繁忙的社交季節(jié)狂熱的輕浮活動(dòng)之中，而魏爾斯特拉斯則回到柏林，在整個(gè)歐洲到處活動(dòng)，想方設(shè)法要為他心愛(ài)的學(xué)生謀到一個(gè)與她的才能相稱(chēng)的位置。他白費(fèi)力氣的努力，使他厭惡正統(tǒng)學(xué)術(shù)思想的狹隘。
1875 年 10 月，魏爾斯特拉斯從索尼婭那里得到她父親去世的消息，她顯然沒(méi)有答復(fù)他的親切吊慰，將近 3 年的時(shí)間，她完全從他的生活中消失了。1878 年 8 月，他寫(xiě)信詢(xún)問(wèn)她是否曾經(jīng)收到他很久以前寫(xiě)給她的一封信，日期他已忘記了。
你沒(méi)有收到我的信嗎？或者有什么東西能夠阻止你，像你慣常做的那樣，自由地向我，你常常稱(chēng)為你最好的朋友，吐露你的秘密這是一個(gè)謎，只有你能把謎底告訴我……
她整整兩年沒(méi)有答復(fù)她老朋友的信，盡管她知道他不愉快，而且健康狀況不佳。當(dāng)回信來(lái)到時(shí)，卻是一件相當(dāng)令人失望的事。索尼婭的性欲勝過(guò)了她的抱負(fù)，她和她的丈夫一直生活得很幸福。這時(shí)她的不幸就是成為一伙淺薄的藝術(shù)家、記者和半瓶子醋的文人奉承和愚蠢地故作驚奇的中心，他們對(duì)她無(wú)比的天才喋喋不休，膚淺的吹捧使她興奮、激動(dòng)。如果她同那些與她相當(dāng)?shù)闹R(shí)分子經(jīng)常交往，她原可以仍然過(guò)著正常的生活，保持她的熱誠(chéng)，她將不至于如她的所作所為那樣，卑鄙地對(duì)待這個(gè)塑造了她的思想的人。
1878 年 10 月，索尼婭的女兒 "福菲"）誕生了。她不得不安靜下來(lái)，這再次喚起了這位母親對(duì)數(shù)學(xué)的潛在的興趣，她給魏爾斯特拉斯寫(xiě)信，要求給予技術(shù)上的忠告。他回信說(shuō)，在提出意見(jiàn)之前，他必須查找有關(guān)的文獻(xiàn)。雖然她曾經(jīng)怠慢了他，他仍然準(zhǔn)備給予她慷慨的鼓勵(lì)。她唯一遺憾的是，她長(zhǎng)時(shí)間的沉默剝奪了他幫助她的機(jī)會(huì)。
物質(zhì)方面的磨難喚起索尼婭認(rèn)識(shí)了真理。她是一個(gè)天生的數(shù)學(xué)家，再不能離開(kāi)數(shù)學(xué)，猶如鴨子離不開(kāi)水。所以 1880 年 10 月她再次寫(xiě)信請(qǐng)求魏爾斯特拉斯給她以忠告，且不等他的答復(fù)，她就打點(diǎn)行裝，離開(kāi)莫斯科前往柏林。然而，當(dāng)心煩意亂的索尼婭出其不意地到達(dá)時(shí)，他花了一整天的時(shí)間，為她仔細(xì)檢查了她的種種困難。他一定對(duì)她作了坦率的談話(huà)；因?yàn)楫?dāng)她 3 個(gè)月后回到莫斯科時(shí)，她那樣狂熱地投身于她的數(shù)學(xué)，以致她那些放蕩的朋友和愚蠢的諂媚者，再也認(rèn)不出她了。在魏爾斯特拉斯的建議下，她著手解決光在某種結(jié)晶介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。
1882 年的通信有兩個(gè)新的方面，一個(gè)是關(guān)于數(shù)學(xué)興趣的，另一個(gè)是魏爾斯特拉斯坦率的意見(jiàn)，認(rèn)為索尼婭和她的丈夫?qū)Ρ舜硕疾贿m合，特別是她的丈夫不能真正重視她才智上的成就。數(shù)學(xué)方面涉及龐加萊，他當(dāng)時(shí)正處于事業(yè)上的開(kāi)始階段。魏爾斯特拉斯以他識(shí)別年輕天才的可靠本能，稱(chēng)龐加萊是一個(gè)有前途的人，希望他戒除過(guò)分迅速地發(fā)表著作的癖好，讓他的研究成熟，不要把它們分散在太寬的領(lǐng)域。談到龐加萊如潮水般涌來(lái)的論文，他說(shuō)∶“每星期發(fā)表一篇真正有成就的文章 —— 那是不可能的?！?/p>
索尼婭的家庭難題，不久就由于她丈夫在 1883 年 3 月突然去世而自行解決了。當(dāng)時(shí)她在巴黎，她丈夫在莫斯科。這個(gè)打擊壓倒了她。整整 4 天，她把自己獨(dú)自關(guān)在房間里，拒絕飲食，第五天喪失了意識(shí)，第六天恢復(fù)了，要紙和筆，在紙上寫(xiě)滿(mǎn)了數(shù)學(xué)公式。到秋天，她回復(fù)原態(tài)，在敖德薩參加了一次科學(xué)大會(huì)。
1884 年秋，她在斯德哥爾摩大學(xué)講課，1889 年被任命為終身教授。稍后不久，意大利數(shù)學(xué)家沃爾泰拉指出，她關(guān)于光在結(jié)晶介質(zhì)中的折射這項(xiàng)工作中有一處嚴(yán)重錯(cuò)誤，她遭到了一次令人相當(dāng)難堪的挫折。魏爾斯特拉斯沒(méi)有看出這一失誤，他當(dāng)時(shí)被公務(wù)淹沒(méi)了，除了這些公務(wù)以外，他只有吃、喝、睡覺(jué)的時(shí)間。他這時(shí)快 70 歲了，但是隨著軀體疾病的增加，他的智力仍然像以往一樣強(qiáng)健敏捷。
這位大師的 70 歲誕辰，成為一個(gè)向他公開(kāi)表示敬意的日子，他的弟子和從前的學(xué)生從整個(gè)歐洲前來(lái)聚會(huì)。在這以后，他公開(kāi)的講演越來(lái)越少，有 10 年的時(shí)間待在他自己家里接待少數(shù)學(xué)生。他 80 歲誕辰時(shí)，舉行了比他的 70 歲誕辰更加令人難忘的慶祝，他在一定程度上成了德國(guó)人民的民族英雄。
魏爾斯特拉斯在他垂暮之年所經(jīng)歷的一次最大的快樂(lè)，就是他心愛(ài)的學(xué)生終于博得了公認(rèn)。1888 年圣誕節(jié)前夕，索尼婭由于她的論文《論一個(gè)固體繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)》而獲得法蘭西科學(xué)院的博爾丹獎(jiǎng)。
魏爾斯特拉斯欣喜若狂。他寫(xiě)道∶
我不需要告訴你，你的成就使我自己和我的妹妹們（也是你在這里的朋友）多么高興。我尤其感受到一種真正的滿(mǎn)足；有資格的評(píng)委們現(xiàn)在已經(jīng)作出了他們的裁決，那就是我忠實(shí)的學(xué)生，我所鐘愛(ài)的人，確實(shí)不是一個(gè)輕佻的騙子。
兩年以后（1891 年 2 月 10 日），索尼婭 41 歲時(shí)，感染了當(dāng)時(shí)盛行的流行性感冒，不久后便在斯德哥爾摩去世。魏爾斯特拉斯在她死后又活了 6 年，于 1897 年 2 月 19 日，在長(zhǎng)期患病又染上了流行性感冒之后，在他柏林的家中平靜地去世，終年 82 歲。索尼婭葬在斯德哥爾摩，魏爾斯特拉斯和他的兩個(gè)妹妹葬在柏林的一個(gè)天主教墓地。
兩個(gè)基本概念
我們現(xiàn)在就魏爾斯特拉斯據(jù)以奠定他在分析學(xué)中的工作的兩個(gè)基本概念給以提示。一個(gè)冪級(jí)數(shù)是形式為
的表達(dá)式，其中系數(shù) a_0，a_1，a_2，…，a_n，… 是常數(shù)，z 是一個(gè)變數(shù)，所涉及的數(shù)可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。
級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)的和稱(chēng)為部分和。如果對(duì)于 z 的某個(gè)特殊值，這些部分和給出的一系列數(shù)收斂于某個(gè)確定的極限，我們就說(shuō)該冪級(jí)數(shù)對(duì)于這一 z 值收斂于同一極限。
使冪級(jí)數(shù)收斂于某個(gè)極限的一切 z 值，構(gòu)成了該級(jí)數(shù)的收斂域；對(duì)于在收斂域中的變量 z 的任何值，級(jí)數(shù)收斂；對(duì) z 的其他值，級(jí)數(shù)發(fā)散。
如果級(jí)數(shù)對(duì)某個(gè) z 值收斂，那么只要取充分大項(xiàng)數(shù)，就可以對(duì)該 z 值計(jì)算級(jí)數(shù)之值而達(dá)到任何所需的近似程度。
現(xiàn)在，在大多數(shù)對(duì)科學(xué)有用的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，人們給出的“答案”常常是一個(gè)微分方程（組）的級(jí)數(shù)解，而這個(gè)解很少能由通常的數(shù)學(xué)函數(shù)（例如對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、橢圓函數(shù)等等）的有限表達(dá)式得到。那么，在這樣的問(wèn)題中就必須做兩件事∶
證明級(jí)數(shù)收斂；
如果它收斂的話(huà)，計(jì)算它的數(shù)值直到所要求的精度為止。
如果級(jí)數(shù)不收斂，它通常是個(gè)信號(hào)，說(shuō)明問(wèn)題要么陳述不正確，要么解錯(cuò)了。純數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的大量函數(shù)都用同樣的方式處理，不管它們是否可能有科學(xué)應(yīng)用。
最后，所有這些（純粹的和應(yīng)用的兩方面）已被推廣到多變量的冪級(jí)數(shù)。例如，有兩個(gè)變量的冪級(jí)數(shù)：
可以說(shuō)，要是沒(méi)有冪級(jí)數(shù)理論，大多數(shù)我們所知的數(shù)學(xué)物理學(xué)（包括大部分天文學(xué)和天體物理學(xué)）就不會(huì)存在了。
與極限、連續(xù)和收斂的概念一起產(chǎn)生的種種困難，促使魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了他的無(wú)理數(shù)理論。
假定我們像在學(xué)校中所做的那樣求 2 的平方根，計(jì)算到很多位小數(shù)，我們得到數(shù)字序列 1，1.4，1.41，1.412，…，作為對(duì)所求平方根的逐漸逼近。根據(jù)通常的規(guī)則，按照明確的步驟繼續(xù)下去，只要下足夠的工夫，如果必要的話(huà)，我們能夠給出構(gòu)成的這個(gè)逼近序列的前一千個(gè)，或頭一百萬(wàn)個(gè)有理數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)進(jìn)行得足夠遠(yuǎn)時(shí)，我們就完全決定了這個(gè)有理數(shù)，包含著我們想要多少位就有多少位的小數(shù)，而且這個(gè)有理數(shù)與該序列中后續(xù)出現(xiàn)的任何有理數(shù)都不同。
這說(shuō)明了數(shù)的收斂序列意味著什么∶構(gòu)成序列的有理數(shù)給我們提供了我們稱(chēng)為 2 的平方根那個(gè)無(wú)理數(shù)的越來(lái)越逼近的近似值，我們?cè)O(shè)想這個(gè)無(wú)理數(shù)是由該收斂的有理數(shù)序列定義的，這個(gè)定義的意義在于∶以有限步數(shù)計(jì)算該序列的任何特殊成員的方法已被指明。
雖然不可能實(shí)際展示出整個(gè)序列，然而我們把構(gòu)造該序列的任何成員的過(guò)程，視為將整個(gè)序列當(dāng)做我們能夠討論一個(gè)確定的對(duì)象。這樣做，在數(shù)學(xué)分析中我們就有了一個(gè)使用 2 的平方根，以及類(lèi)似地使用任何無(wú)理數(shù)的可操作的方法。
然而，不管是對(duì)還是錯(cuò)，魏爾斯特拉斯和他的學(xué)派使這個(gè)理論有了作用。在數(shù)學(xué)上，就像在其他一切事情上一樣，完美是一種幻想，用克列爾的話(huà)說(shuō)，我們只能希望越來(lái)越逼近數(shù)學(xué)真理，恰如魏爾斯特拉斯用收斂的有理數(shù)序列定義無(wú)理數(shù)的理論一樣。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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