為什么構(gòu)造三角形簡(jiǎn)單，構(gòu)造四面體就很難呢？
三角形內(nèi)角和定理使得處理三角形變得很容易。如果你不依賴這個(gè)定理，又會(huì)發(fā)生什么呢？
是否存在三個(gè)角分別是 41°、76° 和 63° 的三角形呢？
答案看起來很簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)課上我們學(xué)過，“三角形的內(nèi)角和是 180°”。因?yàn)?41 + 76 + 63 = 180，所以這樣的三角形是存在的。
但這個(gè)問題遠(yuǎn)比看起來的要復(fù)雜。三角形內(nèi)角和定理告訴我們，在平面歐幾里得幾何中，給定一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和是 180°。但我們的問題并沒有給定一個(gè)三角形。恰恰相反，我們的問題是這樣的三角形是否存在。三角形內(nèi)角和定理并沒有直接回答這個(gè)問題，但它可以幫助我們構(gòu)造所需的三角形。
為了滿足三角形內(nèi)角和定理，三角形的每個(gè)角都需要小于 180°。這意味著我們總是可以將其中的兩個(gè)角放置在一條線段的同一側(cè)。比如，我們可以把 41° 的角和 76° 的角放在線段 AB 的兩端。
從點(diǎn) A 和點(diǎn) B 出發(fā)的兩條射線一定不會(huì)平行。因?yàn)闅W幾里得幾何要求同旁內(nèi)角互補(bǔ) —— 也就是和為 180°—— 的兩條直線平行。A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)處的角不滿足這樣的要求，因此這兩條射線不會(huì)平行，而是會(huì)相交。
我們把這兩條射線的交點(diǎn)記作點(diǎn) C，在 C 點(diǎn)我們又得到了一個(gè)角?，F(xiàn)在我們可以應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理了。第三個(gè)角一定是 180°-（41°+76°）=63°，因此 △ ABC 就是我們期望中的樣子。
上邊這段論證可以被推廣，從而說明任意三個(gè)和為 180° 的角可以組成一個(gè)三角形。很顯然，如果以角度制（而不是弧度制）衡量，我們可以很容易地找到三個(gè)角都是有理數(shù)的三角形。先選擇兩個(gè)和小于 180 的有理數(shù) x 和 y，那么 z=180-(x+y) 也是有理數(shù)。而由于 x+y+z=180，這三個(gè)有理數(shù)角就可以構(gòu)成一個(gè)三角形。
盡管用有理角構(gòu)造平面三角形如此簡(jiǎn)單，三維中類似的問題卻復(fù)雜到世界上最好的一群數(shù)學(xué)家們花了幾十年時(shí)間才解決。為什么只增加了一個(gè)維度，這類問題就變得如此繁難？想要理解這一點(diǎn)，就要更深入地理解三角形內(nèi)角和定理。
在三維空間，這個(gè)問題涉及到四面體 —— 它有四個(gè)三角形的側(cè)面。你可以把四面體看成三維版的三角形。在二維空間中，三角形是最簡(jiǎn)單的具有平直邊界的封閉圖形，只需三條線段就可以圍成。在三維中，四面體是最簡(jiǎn)單的由平直邊界圍成的封閉圖形，它可以用四個(gè)三角形平面構(gòu)造出來。
四面體的四個(gè)三角形側(cè)面就像三角形的三條邊一樣。但角應(yīng)該如何對(duì)應(yīng)呢？你可以設(shè)想在四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處各有一個(gè)立體角，但在這個(gè)問題中我們更關(guān)心面與面相交形成的二面角。
如果你畫出兩個(gè)相交的平面，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有許多角度可以測(cè)量，到底應(yīng)該選擇哪個(gè)角來代表這兩個(gè)面的夾角呢？
答案是旋轉(zhuǎn)這兩個(gè)相交平面，直到它們看起來就像一個(gè)二維的角一樣。
這就是我們所謂的二面角。
在四面體中，四個(gè)面兩兩相交，一共形成了六條邊和六個(gè)二面角。幾十年來，數(shù)學(xué)家們一直想要搞懂到底什么樣的四面體會(huì)有六個(gè)有理的二面角。正如上文提到的，如果一個(gè)角的度數(shù)是有理數(shù)，那么這就是一個(gè)有理角。這等同于在弧度制下，角的大小是一個(gè)有理數(shù)乘上 π.（從角度轉(zhuǎn)換為弧度，需要將角的大小乘上 π/180°，因此如果一個(gè)角在角度制下是有理的，那么在弧度制下一定是一個(gè)有理數(shù)乘 π，反之亦然。）
我們已經(jīng)看到了用有理角構(gòu)造平面三角形是多么簡(jiǎn)單。但對(duì)于四面體，這個(gè)問題要復(fù)雜得多。考慮這個(gè)從正方體的一個(gè)角切下來的簡(jiǎn)單的四面體。
我們立刻可以看出這個(gè)四面體有三個(gè)二面角是由原來正方體的面構(gòu)成的，因此它們是直角。用棱來指代二面角十分方便。在這個(gè)四面體中，棱 OA、OB、OC 上的二面角都是直角。
如果切割正方體的角度合適，使得 OA=OB=OC，那么以 AB、AC、BC 為棱的二面角大小應(yīng)該相等。我們可以切割正方體使 OA=OB=OC=1，接下來就可以計(jì)算以 BC 為棱的二面角大小了。測(cè)量二面角大小的關(guān)鍵是作出從 BC 中點(diǎn) M 到 O 點(diǎn)和 A 點(diǎn)的線段。
如果我們旋轉(zhuǎn)四面體，從側(cè)面觀察以 BC 為棱的二面角，這個(gè)角會(huì)被投影成平面上的∠AMO，∠AMO 的大小與原二面角相等。測(cè)量∠AMO 的大小需要知道線段 OA 和 OM 的長(zhǎng)度。我們已經(jīng)知道 OA = 1，接下來為了知道 OM 的長(zhǎng)度，我們只需進(jìn)一步考察三角形 ΔOCB。
由于∠BOC 是直角，所以我們可以用勾股定理得到 BC = √2，由于 M 是 BC 中點(diǎn)，所以 MC = √2/2。而 ΔOCB 不僅僅是直角三角形，由于 OB = OC，它還是等腰三角形。這意味著這是一個(gè) 45—45—90 度的三角形，∠OBC 和∠OCB 都是 45°。ΔOCB 是等腰三角形保證了 OM 垂直于 BC，因此 ΔOMC 也是一個(gè)直角三角形。但如果∠OMC = 90° 而∠OCB = 45°，三角形內(nèi)角和定理告訴我們∠MOC = 45°，也就是說小三角形 ΔOMC 也等腰，因此 OM = MC = √2/2。
現(xiàn)在我們終于準(zhǔn)備好計(jì)算∠AMO 的大小了。
tan∠AMO = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2
在 ΔAMO 中，我們知道 AO = 1，OM = √2/2。此外，因?yàn)椤螦OM 是直角，我們可以使用三角函數(shù)。在直角三角形中，一個(gè)角的正切值是它的對(duì)邊長(zhǎng)度與鄰邊（直角邊）長(zhǎng)度之比：
tan∠AMO = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
因此∠AMO 的大小是√2 的反正切，也就是 arctan√2，這是一個(gè)無理數(shù)，所以這個(gè)四面體有三個(gè)二面角是無理數(shù)大小，它不是我們尋找的有理四面體。然而，盡管它不是我們的目標(biāo)，這個(gè)無理四面體可以告訴我們一些在尋找有理四面體時(shí)的重要信息。
要了解這一點(diǎn)，我們來近似計(jì)算一下上面無理四面體的二面角的和。通過計(jì)算器或者三角函數(shù)表，我們發(fā)現(xiàn)∠AMO 大約是 54.74°。
現(xiàn)在我們可以將四面體 OABC 的六個(gè)二面角求和了：三個(gè)直角都是 90°，另外三個(gè)角都等于我們剛才計(jì)算的角，因此，這個(gè)四面體六個(gè)二面角的總和大約是 3 × 90° + 3 × 54.74° ≈ 434.22°。
這就是不一樣的地方。讓我們回到正方體中，不再按照 OA = OB = OC 的方式切割它，而是在角上切下很薄的一片。
這個(gè)新的四面體依然有三個(gè) 90° 的二面角，分別以 OP、OC、OB 為棱。但其他三個(gè)二面角的值發(fā)生了變化。以 BC 為棱的角看起來很小，而以 PB、PC 為棱的角看起來與 OB、OC 處的角區(qū)別不大。
事實(shí)上，如果不停地把四面體越切越薄，點(diǎn) P 將會(huì)越發(fā)靠近點(diǎn) O，以 BC 為棱的二面角將接近 0°，而以 PB 和 PC 為棱的二面角都將趨向于 90°，所以這些角的和近似為：
90° + 90° + 90° + 90° + 90° + 0° = 450°.
隨著點(diǎn) P 靠近點(diǎn) O，四面體的六個(gè)二面角之和將會(huì)趨近于 450°.這意味著二面角之和會(huì)發(fā)生變化！在最初的四面體 OABC 中，六個(gè)二面角之和大約是 434°，但當(dāng)我們改變這些角，它們的和也會(huì)發(fā)生變化?；蛟S在某些層面上，四面體可以被視為三維版的平面三角形，但有一點(diǎn)它們有很大的不同：并不存在一個(gè)“四面體二面角和定理”來保證這些角的和是一個(gè)常數(shù)。
這說明我們只能做到保證四面體的二面角和在 360° 到 540° 之間。如果你在尋找有理二面角組成的四面體，這將是個(gè)問題。你不能隨意選擇五個(gè)有理角，然后就篤定說第六個(gè)角就自然也是有理的。因?yàn)椴煌谌切?，你并不知道這些二面角的和是多少。
更糟糕的是，你甚至不知道任意大小的六個(gè)二面角是否能組成一個(gè)四面體?？紤]五個(gè)直角和一個(gè)銳角，它們的和在 450° 到 540° 之間，確實(shí)在四面體允許的范圍之內(nèi)。但是并不存在由這樣六個(gè)角組成的四面體。如果六個(gè)角中的五個(gè)都是直角，那么必然有一個(gè)面有三個(gè) 90° 二面角。但是這種情形下，這些面并不能閉合組成四面體：就像平行線一樣，它們永不相交。
三個(gè)直角二面角共享的一個(gè)面可以是三棱柱的一部分，但不會(huì)是四面體的一部分。
因此，找到所有可能的有理四面體的問題遠(yuǎn)比找到有確定總和的五個(gè)或六個(gè)有理數(shù)復(fù)雜。除此之外，解決這個(gè)問題還需要解一個(gè)包含 105 項(xiàng)的方程，這個(gè)方程來自于約翰?康威和安東尼婭?瓊斯 1976 年的一篇論文。一些數(shù)學(xué)家在 2020 年完成了這項(xiàng)工作，結(jié)果是對(duì)所有有理四面體進(jìn)行了完整的分類。
三角形內(nèi)角和定理只是欣賞三角形優(yōu)雅和美麗的眾多原因之一。對(duì)于四面體，缺少這樣一個(gè)定理恰恰展現(xiàn)了提升一個(gè)維度帶來的美麗與復(fù)雜。
問題
1.正方體二面角之和是多少？
答案
正方體有 12 條棱，因此有 12 個(gè)二面角，每個(gè)角都是九十度，因此和為 12 × 90° = 1080°.
問題
2.正四面體六個(gè)二面角之和大約是多少？
答案
所有的六個(gè)二面角都相等，因此可以作一個(gè)合適的直角三角形來計(jì)算其中一個(gè)二面角的大小。
正四面體的每個(gè)面都是等邊三角形，所以側(cè)面的中線 —— 從頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的線段 —— 的高度都是√3/2s，其中 1/3 × √3/2s 是棱長(zhǎng)，這是我們所需的直角三角形的斜邊。底面的中心被稱作形心，它在底面三角形的中線上，距三角形底邊中點(diǎn) 1/3。從四面體頂部的頂點(diǎn)到底面中心的高度為 s，這是所求直角三角形的一條直角邊。因此正四面體兩個(gè)側(cè)面所夾二面角的余弦值是 (1/3 × √3/2s)/(√3/2s) = 1/3.由于 arccos ≈ 70.53°，所以正四面體的六個(gè)（相等的）二面角之和大約就是 6×70.53° ≈ 423.18°.
問題
3.想象一個(gè)放在桌面上的正四面體，當(dāng)你把最上面的頂點(diǎn)向下按，在四面體逐漸被壓扁的過程中，六個(gè)二面角的和如何變化？
答案
在四面體被壓扁的過程中，與底面相接的三個(gè)二面角逐漸變成 0°，另外三個(gè)二面角都趨近于 180°，因此和為 3 × 0 + 3 × 180° = 540°。這是四面體二面角和的上限。為了達(dá)到二面角和的最小值，可以將兩條對(duì)邊推向?qū)Ψ剑膫€(gè)二面角將變成 0°，另外兩個(gè)將變成 180°。
問題
4.任意四個(gè)和為 360° 的角能否組成一個(gè)四邊形？
答案
可以。設(shè)這四個(gè)角大小分別是 a、b、c、d，有 a + b + c + d = 360°。假設(shè) a 和 b 都小于或等于 c 和 d。將 c 分為 c?和 c?，將 d 分為 d?和 d?，也就是 c = c? + c?，d = d? + d?，使得 a + c? + d? = 180°，b + c? + d? = 180°（我們有足夠的自由來用很多方式實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)）。用這兩組角來構(gòu)造兩個(gè)三角形，調(diào)整大小以使 a 與 b 的對(duì)邊長(zhǎng)度相等。然后將它們拼在一起，c?和 c?組成 c，d?和 d?組成 d，這樣就獲得了以 a、b、c、d 為角的四邊形。
一個(gè)有趣的問題是，是否總是可以用一組順序特定的角來構(gòu)造四邊形。
原文鏈接：
https://www.quantamagazine.org/triangles-are-easy-tetrahedra-are-hard-20220131/
翻譯內(nèi)容僅代表作者觀點(diǎn)不代表中科院物理所立場(chǎng)
本文來自微信公眾號(hào)：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Samuel Velasco，翻譯：藏癡，審校：Dannis，編輯：zhenni
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