想要對幾何學作一個恰當?shù)闹v解是不容易的。因為這個數(shù)學分支的基本概念要么太簡單，無需解釋，例如，沒有必要在這里來講什么是圓，什么是直線，什么是平面等等；要么就比較高深。然而，如果沒有見過這些高深的概念，對于現(xiàn)代幾何學將一無所知。那么，要是懂得了兩個基本概念，收獲一定會大得多。這兩個概念就是∶幾何學與對稱性的關(guān)系，以及流形的概念。
幾何學與對稱群
廣泛地說，幾何學就是數(shù)學里使用幾何語言的那一部分，諸如“點”，“直線”，“平面”，“空間”，“曲線”，“球”，“立方體”，“距離”，還有“角”，都是幾何中基本且關(guān)鍵的概念。但是，還有一個更深刻的觀點，就是克萊因所主張的，認為變換才是這門學科的真正核心。所以，除了上面列舉的那些詞以外，還要加上“反射”、“旋轉(zhuǎn)”、“平移”、“拉伸”、“剪切”和“投影”這些詞。還有稍微進階的概念，例如“保角映射”或者“連續(xù)變形”。
變換總是和群在一起，因此幾何學與群論就有密切的關(guān)系。給定了一個變換群，就有一種相應(yīng)的幾何學。特別是，若一個圖形經(jīng)過此群中的一個變換能夠變成另一個圖形，就說它們是等價的。不同的群會導出不同的等價概念。下面就要簡短地描述一下最重要的幾何學以及與之相關(guān)的變換群。
歐幾里得幾何學
歐幾里得幾何就是絕大多數(shù)人所認為的“普通的幾何學”。例如，三角形的內(nèi)角和為 180° 這個定理就屬于歐幾里得幾何學。
要想從變換的角度來看待歐幾里得幾何，就要先說明是在多少維的空間里進行研究的，當然也必須指定一個變換群。一個典型的變換是剛性變換。可以用兩個方法來考慮這種（剛性）變換。其一是，剛性變換就是在平面里、三維空間里，或者更為一般是在 R^n 里的保持距離不變的變換。就是說，給定兩個點 x 與 y，若一個變換 T 使得 Tx 和 Ty 的距離等于 x 和 g 的距離，就說 T 是一個剛性變換。
后來發(fā)現(xiàn)，每一個這樣的變換都可以用旋轉(zhuǎn)、反射和平移的復(fù)合來實現(xiàn)。這就給了第二種也是比較具體的思考這個群的方法。換句話說，歐幾里得幾何研究的就是那些在旋轉(zhuǎn)、反射和平移下不變的概念，這些概念里就包括了點、直線、平面、圓、球、距離、角、長度、面積和體積。R^n 中的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成了一個重要的群∶特殊正交群，記作 SO（n）。更大一點的正交群 O（n）還把反射也包括進去了。
仿射幾何學
除了旋轉(zhuǎn)和反射以外還有許多別的線性映射。如果把 SO（n）或者 O（n）放大，使之把盡可能多的這些線性變換也包括進來，又會發(fā)生什么？要使一個變換成為群的元素，它就必須是可逆的，但并非所有線性變換都是如此，所以一應(yīng)該考察的群就是由 R^n 的所有可逆的線性變換所成的群 GL_n（R）。所有這些變換都令原點不動。但如果我們愿意，還可以把平移也加進來得到一個更大的群，就是包括所有形如 x → Tx＋b 的變換所成的群。這里 b 是一個固定的向量，而 T 是一個可逆的線性變換。這樣得到的幾何學稱為仿射幾何學。
因為線性映射中還包括了拉伸和剪切，它們既不能保持距離也不能保持角度，所以距離和角度都不是仿射幾何學的概念。然而，經(jīng)過可逆的線性映射和平移以后，點、直線、平面仍然是點、直線、平面，所以這些概念都屬于仿射幾何學。另一個仿射概念是兩條直線的平行（就是說，雖然線性映射一般并不保持角度不變，但是，角度為零卻得到了保持）。這意味著雖然在仿射幾何學中沒有矩形或正方形這樣的東西，卻可以討論平行四邊形。類似地，雖然不能討論圓，卻可以討論橢圓，因為線性映射總是把橢圓變?yōu)闄E圓。
拓撲學
與一個群相聯(lián)系的幾何學“研究的是被此群的所有變換保持的概念”這個思想可以用等價關(guān)系搞得更加確切。令 G 是 R^n 中的一個變換群?？梢园岩粋€ d 維“圖形”看成是 R^n 的一個子集合 S。在研究 G 幾何學的時候，并不把 S 和從它經(jīng)過 G 中的變換得來的集合相區(qū)別。所以這時我們說這兩個圖形是等價的。例如，兩個圖形在歐幾里得幾何中為等價，當且僅當它們在通常的意義下是全等的，而在二維仿射幾何學里，所有的平行四邊形都是等價的，所有的橢圓也都是等價的?？傊覀兛梢哉J為 G 幾何學的基本對象是圖形的等價類，而不是圖形本身。
拓撲學可以認為是當應(yīng)用最寬松的等價概念所得到的幾何學，其中我們說兩個圖形是等價的，或者用數(shù)學語言說是同胚的，如果二者的每一個都可以“連續(xù)變形”為另一個。例如，球和立方體就是在這個意義下等價的，如下圖所示
因為存在很多很多的連續(xù)變形，要想說兩個圖形在這個意義下不等價就很難了。例如，似乎很明顯，球面不能連續(xù)變形為一個環(huán)面，因為它們是本質(zhì)不同的圖形 —— 一個有“洞”，一個沒有。然而，把這種直觀變成嚴格的論證并非易事。更詳細的涉及不變式、代數(shù)拓撲、微分拓撲。我們后面慢慢討論。
球面幾何學
至此，我們一直是在逐步放松對于兩個圖形為等價的要求，允許越來越多的變換。現(xiàn)在我們要再次收緊，考慮球面幾何學。現(xiàn)在的宇宙不再是 R^n 而是 n 維球面 S^n，即半徑為 1 的（n＋1）維球體的表面，或者用代數(shù)方法來表示，即 R^（n+1）中適合方程
的點（x_1，x_2，…，x_n+1）的集合。正如 3 維球體的表面是 2 維的一樣，這個集合則是 n 維的。我們將只討論 n=2 的情況，但是很容易推廣到更大的 n。
現(xiàn)在適當?shù)淖儞Q群是 SO（3），它是由所有這樣的旋轉(zhuǎn)組成，這些旋轉(zhuǎn)的軸是經(jīng)過原點的直線（也可以允許反射而取 O（3），它們是球面 S^2 的對稱；在球面幾何學里就這樣來看待它們，不把它們看成整個 R^3 中的變換）。
在球面幾何學中有意義的概念有直線、距離和角。限制在球體表面上而又談?wù)撝本€，這看起來有些奇怪，但是，“球面直線”并不是通常意義下的直線，而是 S^2 用如下方法得出的子集合∶用一個通過原點（球心）的平面與 S^2 相交所成的子集合（叫做大圓），即半徑為 1 的圓，就是球面直線。
把大圓看成某種直線的重要理由還在于 S^2 上的兩點 x，y 之間最短的路徑就是大圓，當然，路徑要限制位于 S^2 上。
兩點 x 和 y 之間的距離定義為連接 x 和 y 而且完全位于 S^2 上的最短路徑的長度。至于兩條球面直線之間的角又如何定義？球面直線是定義為一個平面與 S^2 的交線，所以兩條球面直線的交角可以定義為這兩個平面在歐幾里得幾何學意義下的角。還有一個從審美角度來看的觀點，它完全不涉及球面以外的東西。這個看法就是在這兩條球面直線的兩個交點之處看交點的一個小鄰域，這時，球面的這一小部分幾乎是平坦的，這兩條直線也幾乎是直的。所以可以定義這個角就是這個“極限平面”上的“極限直線”的歐式角。
雙曲幾何學
參照變換的某個集合（即變換群）來看幾何學，這一思想只不過是看待這個學科的一個有用的途徑。然而，來到雙曲幾何學時，變換的途徑就是不可少的了。
產(chǎn)生雙曲幾何學的變換群是二維的特殊射影線性群，記作
講解這個群的方法之一如下∶特殊線性群 SL_2（R）是所有的行列式為 1 的矩陣
的集合，即適合關(guān)系式 ad-bc =1 的這種矩陣的集合（它們確實構(gòu)成一個群，因為如果兩個矩陣的行列式均為 1，則它們的乘積也如此）。為了讓它成為 "射影的"，就令矩陣 A 等價于-A，例如，矩陣
為了從這個群得出一種幾何學，首先必須把它解釋為某個 2 維點集合的變換群。一旦做到了這一點，就把這個 2 維點集合稱為雙曲幾何學的一個模型。微妙之處就在于雙曲幾何學沒有一個看起來是最為自然的模型，如球面是球面幾何學的模型那樣。雙曲幾何學的三個最常用的模型是半平面模型、圓盤模型和雙曲面模型。
半平面模型是與群 PSL_2（R）最直接聯(lián)系的模型，所需要的 2 維平面點集合是復(fù)平面 C 的上半平面，即所有復(fù)數(shù) z=x＋ig，y>0 的集合。給定了矩陣以后，相應(yīng)于此矩陣的變換就是把點 z 變?yōu)椋╝z＋b）/（cz＋d）。條件 ad-bc=1 是用于證明變換后的點仍然在上半平面上，還用于證明這個變換是可逆的。
這里還沒有做的是∶對于距離還什么也沒有說。正是在這種幾何學里，需要用群來“生成”幾何學。如果想要有一個從變換群角度看來是距離概念，那么重要的就是這種變換要保持這個距離不變。就是說，如果 T 是一個這樣的變換，而 z 和 w 兩點在上半平面里，則 T（z）和 T（w）也在上半平面，而且
可以證明，本質(zhì)上恰好只有一種定義距離的方法具有這個性質(zhì)，用變換來 "生成" 的幾何學就是這個意思。
這個距離有一些初看起來顯得奇怪的性質(zhì)。例如，一條典型的雙曲直線的形狀是端點在實軸上的半圓弧。但是，說它是半圓，不過是從 C 上的歐幾里得幾何學的觀點來看是半圓；從雙曲幾何學的觀點來看，歐幾里得幾何學的直線是“直”的，也同樣奇怪。兩種距離的真正差別在于，雙曲距離和歐幾里得距離比較起來，越是接近實軸，前者變得越大。所以要從點 z 走到點 w，“繞道”偏離實軸，路程反而更短，最佳的彎道就是沿著連接點 z 和點 w 而且與實軸成直角的半圓弧。
2 維雙曲幾何學的最著名的性質(zhì)之一，就是它是一種使得歐幾里得平行線公設(shè)不成立的幾何學。就是說，可以找到一條雙曲直線 L 和其外一點 x，使得過點 x 可以畫出兩條直線都不與 L 相交。在適當解釋后，歐幾里得幾何學的所有其他公理在雙曲幾何學中都成立。由此可知，從那些公理是不可能推導出平行公設(shè)的。這個發(fā)現(xiàn)解決了一個困擾歷代數(shù)學家兩千多年的問題。
另一個性質(zhì)補全了關(guān)于歐幾里得三角形和球面三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)。有一個很自然的雙曲面積概念，具有頂角 α，β 和 γ 的雙曲三角形的面積是 π-a-β-γ。所以在雙曲平面上，a＋β＋σ 總小于 π，而當三角形非常小的時候，就幾乎等于 π。內(nèi)角和的性質(zhì)反映了以下的事實∶球面具有正的曲率，歐幾里得平面是 " 平坦”的，而雙曲平面則有負曲率。這樣，雙曲三角形、歐幾里得三角形和球面三角形的內(nèi)角和分別小于、等于和大于 π；其差與曲率成正比；而這些空間的曲率也相應(yīng)地為負、為零和為正。上面說是“補全了”相應(yīng)性質(zhì)，就是這個意思。
圓盤模型是龐加萊在一個著名的瞬間，在登上一輛公共汽車的時刻想出來的，它的點集合就是 C 平面的開單位圓盤，也就是模小于 1 的復(fù)數(shù)的集合 D?，F(xiàn)在，典型的變換形狀如下。取 D 中的一個復(fù)數(shù) a 以及實數(shù) θ，這個變換就把 z 點變?yōu)辄c
這些變換成為一個群并不完全是顯然的，而這個群同構(gòu)于 PSL_2（R）就更不顯然。然而可以證明，變 z 為-（iz＋1）/（z＋i）的函數(shù)把單位圓盤映為上半平面，反過來也一樣。這就證明了這兩種幾何學是相同的，可以用這個函數(shù)把一個幾何學的結(jié)果變?yōu)榱硪粋€幾何學的結(jié)果。
和半平面模型一樣，當接近圓盤的邊緣時，雙曲距離比歐幾里得距離越來越大，從雙曲幾何學的視角看來，圓盤的直徑是無窮大，它實際上沒有邊緣。
上圖表明，可用一些全等圖形把圓盤鑲嵌鋪裝（tessellation）起來，說這些圖形全等是指其任意一個圖形都可以用群中的一個變換變?yōu)槿我饬硪粋€。所以，盡管這些圖形看起來不都相同，但是從雙曲幾何的視角看來，它們卻是大小相同形狀也一樣的。圓盤模型中的直線或者是與單位圓周交成直角的（歐幾里得）圓弧，或者是經(jīng)過圓盤中心的（歐幾里得）直線線段。
雙曲面模型可以解釋這個幾何學何以稱為雙曲幾何學。這一次，點集合就是
這是一個單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，它是由平面 z=0 上的雙曲線 x^2=1＋z^2 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)生成的。PSL_2（R）里的一般的變換，就是這個單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上的某種“旋轉(zhuǎn)”，而可以從真正的繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)和 xz 平面上的“雙曲旋轉(zhuǎn)”合成，所謂雙曲旋轉(zhuǎn)就是矩陣為
的變換。正如普通的旋轉(zhuǎn)保持單位圓周一樣，雙曲旋轉(zhuǎn)保持雙曲線 x^2=1＋z^2，而讓其內(nèi)側(cè)的點互相變動。同樣，說這種變換會給出和上面同樣的群，這并非顯然的事，然而事實確實如此，從而雙曲模型和上面兩個模型是等價的。
洛侖茲幾何學
這是一個用于狹義相對論的幾何學，以 4 維時空，又稱閔可夫斯基空間為模型。它與 4 維的歐幾里得幾何學的主要區(qū)別在于它考慮的不是兩點（t，z，g，z）和（t'，x'，y'，z'）的通常的距離，而是以下的量
如果不是前面的極為重要的負號，它就是歐幾里得距離的平方。這反映了一個事實，即時間和空間是極為不同的（雖然它們交織在一起）。
洛侖茲變換就是一個由 R^4 到 R^4 而且保持上面的 "廣義距離" 不變的線性映射。令 g 為（t，x，y，z）到（-t，x，y，z）的線性映射，而 G 為 g 的相應(yīng)的矩陣（主對角線上的元素為-1，1，1，1，其余元素為 0 的矩陣），我們可以抽象地定義洛侖茲變換為
對于一個點（t，x，y，z），如果
就說這個點是類空的；而若
就說它是類時的；而若
就說它位于光錐上。所有這些都是真正的洛侖茲幾何學的概念，因為它們都是被洛侖茲變換所保持的。
洛侖茲幾何學對于廣義相對論也有基本的重要性，廣義相對論可以說就是對洛侖茲流形的研究。這些都與黎曼流形密切相關(guān)。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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