英國數(shù)學(xué)家霍奇（William Vallance Douglas Hodge）于 1950 年提出的霍奇猜想，無疑是所有千禧難題中最難理解的。這是個(gè)高度專業(yè)的問題，只有極少數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家才能真正地理解。下面是霍奇猜想：
一個(gè)非奇異射影代數(shù)簇上的每一個(gè)（一定類型的）調(diào)和微分形式都是代數(shù)閉鏈的上同調(diào)類的一個(gè)有理組合。
是不是發(fā)現(xiàn)，這個(gè)句子中的每一個(gè)專業(yè)術(shù)語你都不理解。在關(guān)于伯奇和斯溫納頓一戴爾猜想的文章中，我還可以把那個(gè)猜想與簡單的幾何聯(lián)系起來，即三角形面積問題。
對于霍奇猜想，甚至想找些簡單的類比都沒有。霍奇猜想最清楚地說明了，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)使它的大部分幾乎不可能被普通人所領(lǐng)會(huì)。
一個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家在舊的抽象上面建立了新的抽象，與其說數(shù)學(xué)家做出了新東西，不如說被考慮的對象變得更為抽象了。以霍奇猜想為例，微積分的運(yùn)算在這里扮演了一個(gè)主要的角色，但是這個(gè)微積分不是像許多高中生所學(xué)到的那樣在實(shí)數(shù)上進(jìn)行，甚至也不在復(fù)數(shù)上進(jìn)行。這是在更一般、更抽象的背景上進(jìn)行的微積分。
對普通人來說，這個(gè)問題的難以理解正是它最有趣的地方。話雖如此，但我還是想試圖解釋一下霍奇猜想說的是什么。
整體的認(rèn)識(shí)
17 世紀(jì)，法國哲學(xué)家笛卡兒把幾何代數(shù)化，把幾何圖形放在笛卡爾坐標(biāo)系中，然后建立它們的數(shù)學(xué)方程。用代數(shù)來研究的幾何通常稱作代數(shù)幾何，也叫笛卡兒幾何。
19 世紀(jì)期間，數(shù)學(xué)家將笛卡兒的方法向前推進(jìn)了一步。他們不是只把代數(shù)當(dāng)作一種工具，來研究幾何對象，而是從代數(shù)方程著手，把這些方程的解定義為 "幾何" 對象。但是大多數(shù)方程并不對應(yīng)著我們熟悉的幾何對象。因此稱它們?yōu)?"幾何對象" 是講不通的。以這種方式，從代數(shù)方程產(chǎn)生的對象，數(shù)學(xué)家所給的名稱是“代數(shù)簇”。
在定義代數(shù)簇時(shí)，數(shù)學(xué)家并不是僅考慮一個(gè)代數(shù)方程，而是一個(gè)方程組（有限個(gè)）。在由兩個(gè)方程組成的方程組中，每一個(gè)方程定義了一個(gè)幾何圖形，那么由這個(gè)方程組定義的簇將是這兩個(gè)圖形的共有部分。
因此，代數(shù)簇是幾何對象的一種推廣。任何一個(gè)幾何對象都是一個(gè)代數(shù)簇，但是有許多代數(shù)簇是不可能被可視的。然而，并不因?yàn)槟硞€(gè)特定的代數(shù)簇不可能被可視化，我們就無法研究它。
現(xiàn)在，我們可以看一下霍奇猜想中的一個(gè)專業(yè)術(shù)語∶一個(gè)非奇異射影代數(shù)簇，簡單說，就是一個(gè)光滑的多維 "曲面"，它由一個(gè)代數(shù)方程的解所產(chǎn)生。這就像一個(gè)球面是通過解代數(shù)方程
而得到的一個(gè)光滑的二維曲面。
這個(gè)猜想針對那種“曲面”上的“調(diào)和微分形式”作出了一個(gè)斷言。一個(gè)調(diào)和微分形式是某個(gè)十分重要的偏微分方程（稱為拉普拉斯方程）的一個(gè)解，它既產(chǎn)生于物理學(xué)，也產(chǎn)生于復(fù)變函數(shù)的研究。
大學(xué)學(xué)習(xí)的微積分通常是在二維平面上。但是小小地努力一下，就可以把它推廣到其他曲面上，例如球面上。再努力一下，就可以把微積分推廣到各種各樣更為一般的簇上。霍奇猜想涉及的是推廣到一個(gè)非奇異射影代數(shù)簇上的微積分。它對某種類型的抽象對象作出了一個(gè)斷言，我們把這種抽象對象稱為 H 對象，如果我們從某種類型的簇著手并在其上做某種微積分，就會(huì)產(chǎn)生 H 對象。
當(dāng)我們用微積分去定義一個(gè)對象時(shí)，定義出來的對象從任何意義上說都不一定是 "幾何的"。霍奇猜想說，H 對象對剛才這句話來說是個(gè)例外。雖然它們本身可能不是幾何對象，但它們能以一種相當(dāng)簡單的方式由幾何對象構(gòu)建起來。在這個(gè)猜想的術(shù)語中，H 對象就是代數(shù)閉鏈的上同調(diào)類的一個(gè)有理組合。這就是說，任何 H 對象都能以一種純粹代數(shù)的方式由幾何對象構(gòu)建起來。
因此，你可以認(rèn)為霍奇猜想是說∶
通過在簇上運(yùn)用微積分，我們創(chuàng)造了一類對象（H 對象），這類對象不僅讓我們想把它們可視化的希望成為泡影，甚至讓我們不能用代數(shù)方式描述它們。然而，這些對象能以一種代數(shù)的方式，由“能用代數(shù)描述的對象”建造起來。
霍奇猜想的作用是給專家們提供某種能用來分析 H 對象的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這在許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)中十分重要，數(shù)學(xué)家不斷在尋找對象上的新結(jié)構(gòu)，或者是尋找從一個(gè)領(lǐng)域到另一個(gè)領(lǐng)域的聯(lián)系，以使他們能把來自一個(gè)領(lǐng)域的方法加以改造，運(yùn)用于另一個(gè)領(lǐng)域。
稍專業(yè)的表達(dá)
現(xiàn)在，我們對霍奇猜想有了一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)了。下面是另一種理解這個(gè)問題的方式。
我們可以從代數(shù)簇上沿著廣義路徑的積分著手來提出霍奇猜想。由于對路徑進(jìn)行變形仍能保持這種積分的值不變，因此你可以認(rèn)為這種積分是定義在路徑類上的?；羝娌孪胩岢觯绻承┻@樣的積分為零，那么在這個(gè)路徑類中存在著一條能用多項(xiàng)式方程描述的路徑。
這里先吹一下霍奇猜想的重要意義：霍奇猜想的證明將在代數(shù)幾何、分析和拓?fù)鋵W(xué)這三個(gè)學(xué)科之間建立起一種基本的聯(lián)系。
直到現(xiàn)在，霍奇猜想仍然只是一個(gè)猜想。1991 年，美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)出版了一本書，書中記載了人們對霍奇猜想已做的一些研究，列出了發(fā)表于 1950 年至 1996 年的 71 篇論文，這些論文都僅僅是關(guān)于這個(gè)猜想的一個(gè)方面，即所謂的阿貝爾簇上的霍奇猜想。
下面是這本美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的書在其序言的開頭一段對霍奇猜想的陳述，
霍奇其人
對于霍奇（William Hodge）這樣一位如此優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，人們對他幾乎一無所知。他 1903 年出生于蘇格蘭的愛丁堡。他先是在愛丁堡，然后又在劍橋完成了學(xué)業(yè)。1936 年，33 歲的他被劍橋大學(xué)委任為教授，直到 1970 年退休。
他是開發(fā)幾何、分析和拓?fù)鋵W(xué)之間聯(lián)系的一位主要人物。數(shù)學(xué)家如今還記得他主要是因?yàn)椋ǔ怂牟孪胫猓┧恼{(diào)和積分理論。
1938 年，他入選倫敦的皇家學(xué)會(huì)，于 1957 年被授予皇家獎(jiǎng)?wù)拢员碚盟诖鷶?shù)幾何上的杰出貢獻(xiàn)。從 1947 年到 1949 年，他任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)會(huì)長，并于 1952 年獲得這個(gè)學(xué)會(huì)的貝里克獎(jiǎng)。1974 年，皇家學(xué)會(huì)再次獎(jiǎng)勵(lì)他，這次是授予他科普利獎(jiǎng)?wù)拢约为?jiǎng)他在代數(shù)幾何上的開創(chuàng)性工作，特別是他的調(diào)和積分理論。霍奇于 1975 年逝世，享年 72 歲。
在職業(yè)生涯的大部分時(shí)間里，霍奇都致力于發(fā)展代數(shù)幾何理論，其中的一個(gè)理論現(xiàn)在就稱為“霍奇理論”。他的猜想就是產(chǎn)生于代數(shù)幾何。1950 年在英國劍橋舉行的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，霍奇在他的演講中宣布了這個(gè)猜想。
當(dāng)復(fù)數(shù)遇到關(guān)于流體的數(shù)學(xué)
文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)家談?wù)撘患豢伤甲h的事∶在代數(shù)中引進(jìn)一個(gè)數(shù)，它的平方是-1。這個(gè)數(shù)用 i 表示，成了復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)。
雖然人類很難接受一個(gè)數(shù)的平方為負(fù)，然而復(fù)數(shù)具有一套有效的算術(shù)運(yùn)算，就像通常的實(shí)數(shù)算術(shù)運(yùn)算一樣，而且我們還可以求解包含復(fù)數(shù)的多項(xiàng)式方程?？朔?fù)數(shù)反直覺的方法是認(rèn)識(shí)到它們可以作為“點(diǎn)”在普通的二維平面上畫出來。
實(shí)數(shù)中，我們可以把每一個(gè)實(shí)數(shù) r 與它的相反數(shù)-r 相對應(yīng)。畫在一條直線上（“實(shí)數(shù)線”），每個(gè)數(shù)由位于原點(diǎn)另一側(cè)且與原點(diǎn)有同樣距離的點(diǎn)與之配對。這種特定的配對在實(shí)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算中起到了重要的作用。
復(fù)數(shù)可以作為復(fù)平面上的點(diǎn)被畫出。對于這些數(shù)，取 x＋iy 與-x-iy 對應(yīng)的類似配對是一種關(guān)于原點(diǎn)的反射。但是復(fù)數(shù)有另一種配對，它在復(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算中起到了重要作用。第二種配對是把每個(gè)復(fù)數(shù) x＋iy 與它的共軛復(fù)數(shù) x-iy 對應(yīng)。復(fù)數(shù)共軛配對是關(guān)于復(fù)平面上實(shí)數(shù)軸（即 x 軸）的反射。
到 19 世紀(jì)，復(fù)數(shù)的基本理論已被成功地研究出來，復(fù)數(shù)被普遍認(rèn)為是主流數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)系。而且，數(shù)學(xué)家開始發(fā)展一種把微積分推廣到復(fù)變函數(shù)的理論，從而產(chǎn)生了復(fù)分析。
復(fù)分析早期研究的兩位主要人物是黎曼和柯西。他們把復(fù)變函數(shù)與物理學(xué)聯(lián)系了起來。他們開始于這樣的思考∶
如果 f（z）是復(fù)變量 z 的一個(gè)復(fù)值函數(shù)，那么我們可以把這個(gè)函數(shù)的 f（z）值寫成 f（z）=u（z）＋iv（z）的形式，其中 u（z）和 v（z）都是實(shí)數(shù)。這就給出了兩個(gè)新的函數(shù) u 和 v，它們都是復(fù)變量 z 的實(shí)值函數(shù)。
這兩位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，如果復(fù)變函數(shù) f 有著定義良好的（微積分）導(dǎo)數(shù)（用現(xiàn)代的術(shù)語，如果函數(shù) f 是解析的），那么它的實(shí)部 u 和虛部 v 必須滿足兩個(gè)偏微分方程：
這些方程對物理學(xué)家來說是很熟悉的。它們是拉普拉斯方程，在引力理論、電磁理論和流體力學(xué)中起著重要作用。拉普拉斯方程的一個(gè)解被稱為調(diào)和函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的微積分和拉普拉斯方程之間緊密聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)物理學(xué)的重大進(jìn)步。
復(fù)變函數(shù)理論中的一個(gè)重大進(jìn)展是黎曼曲面的發(fā)明。有一些函數(shù)，它們對實(shí)數(shù)很友好，但是當(dāng)自變量或者函數(shù)值允許是復(fù)數(shù)時(shí)，結(jié)果完全不像是一個(gè)正常的函數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)自變量可以導(dǎo)出不止一個(gè)的函數(shù)值。平方根函數(shù)和對數(shù)就是兩個(gè)例子。
對于實(shí)數(shù)來說，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都有兩個(gè)平方根，但由于其中一個(gè)為正，另一個(gè)為負(fù)，所以只要規(guī)定取正根，問題就能排除。但是當(dāng)這個(gè)根是復(fù)數(shù)時(shí)，沒有一種自然而有效的方法在兩個(gè)根當(dāng)中作出選擇。黎曼提出，處理這些“多值函數(shù)”（它們根本不是真正的函數(shù)）的最好方式是把它們看作定義在一個(gè)多層曲面上的單值函數(shù)（即真正的函數(shù)）。
黎曼曲面有著比復(fù)平面更為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?？创鼈兊囊环N方式是把它們當(dāng)作復(fù)平面的一種螺旋梯式構(gòu)形。
進(jìn)入霍奇猜想
20 世紀(jì)早期，數(shù)學(xué)家把黎曼曲面的思想推廣成一個(gè)高度抽象的概念 —— 復(fù)流形，即黎曼曲面的一個(gè)有著一種復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多維模擬物。這樣一個(gè)流形具備了一種能確保復(fù)解析函數(shù)的概念有意義的結(jié)構(gòu)。特別是，有可能定義所謂的微分形式，即把通常（實(shí)數(shù)）微積分中函數(shù) f 的微分 df 推廣到多維情況的產(chǎn)物。
有些微分形式可以分成具有某種共同關(guān)鍵特征的不同類型，所以它們被稱作上同調(diào)類。這些上同調(diào)類正是霍奇猜想所說到的。
要理解上同調(diào)類的概念需要一系列高深的專業(yè)數(shù)學(xué)知識(shí)。下面是一個(gè)十分簡要的概括∶
首先，我們需要知道在微分形式上存在著一種特定的運(yùn)算，稱作外導(dǎo)數(shù)。外微分本身就是一種微分。
如果一個(gè)微分形式是另外某個(gè)微分形式的外導(dǎo)數(shù)就稱這個(gè)微分形式是恰當(dāng)?shù)摹?/p>
如果一個(gè)微分形式本身的外導(dǎo)數(shù)是零，就稱這個(gè)微分形式是閉的。
如果兩個(gè)閉微分形式的差是恰當(dāng)?shù)?，就稱它們是上同調(diào)的。
因此，上同調(diào)類的元素是閉微分形式。恰當(dāng)性是同一上同調(diào)類中的元素共有的“相似性”性質(zhì)。注意上同調(diào)類的定義十分依賴于來自微積分的概念。
上同調(diào)類定義了有用的拓?fù)洳蛔兞?，它們抓住了基本?fù)流形的重要方面。獲得了（閉微分形式的）上同調(diào)類概念，我們就可以回到代數(shù)幾何和代數(shù)簇概念。一個(gè)復(fù)代數(shù)簇是由一個(gè)代數(shù)方程組的復(fù)數(shù)解所定義的一個(gè)多維“曲面”。
如果定義一個(gè)復(fù)代數(shù)簇的方程組的解僅依賴于有關(guān)數(shù)的比，數(shù)學(xué)家就稱這個(gè)復(fù)代數(shù)簇是射影的。
如果一個(gè)簇作為“曲面”是光滑的，他們就稱這個(gè)簇是非奇異的。
因此，一個(gè)非奇異射影復(fù)代數(shù)簇就是一種特殊類型的復(fù)流形。
霍奇意識(shí)到他可以把來自于分析的方法應(yīng)用于這些代數(shù)流形。特別是，他意識(shí)到由一個(gè)非奇異射影復(fù)代數(shù)簇所產(chǎn)生的微分形式的有理上同調(diào)類可以被看作是拉普拉斯方程的解。
霍奇的觀察結(jié)果使得有可能把這樣的一個(gè)類寫成一些特殊分量的一個(gè)和，這種特殊分量稱作調(diào)和（p，q）形式。它們是可以由 p 個(gè)復(fù)變量和 q 個(gè)共軛復(fù)變量所規(guī)定的拉普拉斯方程的解。而且，每個(gè)（p 維的）代數(shù)上同調(diào)類給出了一個(gè)（p，p）形式。
霍奇在他對 1950 年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)所作的報(bào)告中提出，對于非奇異射影復(fù)代數(shù)簇，上面說到的最后那個(gè)性質(zhì)可能完全刻畫了代數(shù)上同調(diào)類。也就是說，每個(gè)調(diào)和（p，p）形式是閉代數(shù)形式的一個(gè)有理組合（概略地說，即它可以用一種代數(shù)的 —— 即不用到微積分的 —— 方法構(gòu)建起來）。
霍奇猜想就是這樣誕生的。但是這個(gè)猜想是否正確？無人知曉。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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