英國數(shù)學家霍奇（William Vallance Douglas Hodge）于 1950 年提出的霍奇猜想，無疑是所有千禧難題中最難理解的。這是個高度專業(yè)的問題，只有極少數(shù)專業(yè)數(shù)學家才能真正地理解。下面是霍奇猜想：
一個非奇異射影代數(shù)簇上的每一個（一定類型的）調(diào)和微分形式都是代數(shù)閉鏈的上同調(diào)類的一個有理組合。
是不是發(fā)現(xiàn)，這個句子中的每一個專業(yè)術語你都不理解。在關于伯奇和斯溫納頓一戴爾猜想的文章中，我還可以把那個猜想與簡單的幾何聯(lián)系起來，即三角形面積問題。
對于霍奇猜想，甚至想找些簡單的類比都沒有。霍奇猜想最清楚地說明了，現(xiàn)代數(shù)學的本質(zhì)使它的大部分幾乎不可能被普通人所領會。
一個世紀以來，數(shù)學家在舊的抽象上面建立了新的抽象，與其說數(shù)學家做出了新東西，不如說被考慮的對象變得更為抽象了。以霍奇猜想為例，微積分的運算在這里扮演了一個主要的角色，但是這個微積分不是像許多高中生所學到的那樣在實數(shù)上進行，甚至也不在復數(shù)上進行。這是在更一般、更抽象的背景上進行的微積分。
對普通人來說，這個問題的難以理解正是它最有趣的地方。話雖如此，但我還是想試圖解釋一下霍奇猜想說的是什么。
整體的認識
17 世紀，法國哲學家笛卡兒把幾何代數(shù)化，把幾何圖形放在笛卡爾坐標系中，然后建立它們的數(shù)學方程。用代數(shù)來研究的幾何通常稱作代數(shù)幾何，也叫笛卡兒幾何。
19 世紀期間，數(shù)學家將笛卡兒的方法向前推進了一步。他們不是只把代數(shù)當作一種工具，來研究幾何對象，而是從代數(shù)方程著手，把這些方程的解定義為 "幾何" 對象。但是大多數(shù)方程并不對應著我們熟悉的幾何對象。因此稱它們?yōu)?"幾何對象" 是講不通的。以這種方式，從代數(shù)方程產(chǎn)生的對象，數(shù)學家所給的名稱是“代數(shù)簇”。
在定義代數(shù)簇時，數(shù)學家并不是僅考慮一個代數(shù)方程，而是一個方程組（有限個）。在由兩個方程組成的方程組中，每一個方程定義了一個幾何圖形，那么由這個方程組定義的簇將是這兩個圖形的共有部分。
因此，代數(shù)簇是幾何對象的一種推廣。任何一個幾何對象都是一個代數(shù)簇，但是有許多代數(shù)簇是不可能被可視的。然而，并不因為某個特定的代數(shù)簇不可能被可視化，我們就無法研究它。
現(xiàn)在，我們可以看一下霍奇猜想中的一個專業(yè)術語∶一個非奇異射影代數(shù)簇，簡單說，就是一個光滑的多維 "曲面"，它由一個代數(shù)方程的解所產(chǎn)生。這就像一個球面是通過解代數(shù)方程
而得到的一個光滑的二維曲面。
這個猜想針對那種“曲面”上的“調(diào)和微分形式”作出了一個斷言。一個調(diào)和微分形式是某個十分重要的偏微分方程（稱為拉普拉斯方程）的一個解，它既產(chǎn)生于物理學，也產(chǎn)生于復變函數(shù)的研究。
大學學習的微積分通常是在二維平面上。但是小小地努力一下，就可以把它推廣到其他曲面上，例如球面上。再努力一下，就可以把微積分推廣到各種各樣更為一般的簇上。霍奇猜想涉及的是推廣到一個非奇異射影代數(shù)簇上的微積分。它對某種類型的抽象對象作出了一個斷言，我們把這種抽象對象稱為 H 對象，如果我們從某種類型的簇著手并在其上做某種微積分，就會產(chǎn)生 H 對象。
當我們用微積分去定義一個對象時，定義出來的對象從任何意義上說都不一定是 "幾何的"。霍奇猜想說，H 對象對剛才這句話來說是個例外。雖然它們本身可能不是幾何對象，但它們能以一種相當簡單的方式由幾何對象構(gòu)建起來。在這個猜想的術語中，H 對象就是代數(shù)閉鏈的上同調(diào)類的一個有理組合。這就是說，任何 H 對象都能以一種純粹代數(shù)的方式由幾何對象構(gòu)建起來。
因此，你可以認為霍奇猜想是說∶
通過在簇上運用微積分，我們創(chuàng)造了一類對象（H 對象），這類對象不僅讓我們想把它們可視化的希望成為泡影，甚至讓我們不能用代數(shù)方式描述它們。然而，這些對象能以一種代數(shù)的方式，由“能用代數(shù)描述的對象”建造起來。
霍奇猜想的作用是給專家們提供某種能用來分析 H 對象的強有力的數(shù)學結(jié)構(gòu)。這在許多現(xiàn)代數(shù)學中十分重要，數(shù)學家不斷在尋找對象上的新結(jié)構(gòu)，或者是尋找從一個領域到另一個領域的聯(lián)系，以使他們能把來自一個領域的方法加以改造，運用于另一個領域。
稍專業(yè)的表達
現(xiàn)在，我們對霍奇猜想有了一個整體的認識了。下面是另一種理解這個問題的方式。
我們可以從代數(shù)簇上沿著廣義路徑的積分著手來提出霍奇猜想。由于對路徑進行變形仍能保持這種積分的值不變，因此你可以認為這種積分是定義在路徑類上的?；羝娌孪胩岢?，如果某些這樣的積分為零，那么在這個路徑類中存在著一條能用多項式方程描述的路徑。
這里先吹一下霍奇猜想的重要意義：霍奇猜想的證明將在代數(shù)幾何、分析和拓撲學這三個學科之間建立起一種基本的聯(lián)系。
直到現(xiàn)在，霍奇猜想仍然只是一個猜想。1991 年，美國數(shù)學學會出版了一本書，書中記載了人們對霍奇猜想已做的一些研究，列出了發(fā)表于 1950 年至 1996 年的 71 篇論文，這些論文都僅僅是關于這個猜想的一個方面，即所謂的阿貝爾簇上的霍奇猜想。
下面是這本美國數(shù)學學會的書在其序言的開頭一段對霍奇猜想的陳述，
霍奇其人
對于霍奇（William Hodge）這樣一位如此優(yōu)秀的數(shù)學家，人們對他幾乎一無所知。他 1903 年出生于蘇格蘭的愛丁堡。他先是在愛丁堡，然后又在劍橋完成了學業(yè)。1936 年，33 歲的他被劍橋大學委任為教授，直到 1970 年退休。
他是開發(fā)幾何、分析和拓撲學之間聯(lián)系的一位主要人物。數(shù)學家如今還記得他主要是因為（除了他的猜想之外）他的調(diào)和積分理論。
1938 年，他入選倫敦的皇家學會，于 1957 年被授予皇家獎章，以表彰他在代數(shù)幾何上的杰出貢獻。從 1947 年到 1949 年，他任倫敦數(shù)學會會長，并于 1952 年獲得這個學會的貝里克獎。1974 年，皇家學會再次獎勵他，這次是授予他科普利獎章，以嘉獎他在代數(shù)幾何上的開創(chuàng)性工作，特別是他的調(diào)和積分理論。霍奇于 1975 年逝世，享年 72 歲。
在職業(yè)生涯的大部分時間里，霍奇都致力于發(fā)展代數(shù)幾何理論，其中的一個理論現(xiàn)在就稱為“霍奇理論”。他的猜想就是產(chǎn)生于代數(shù)幾何。1950 年在英國劍橋舉行的國際數(shù)學家大會上，霍奇在他的演講中宣布了這個猜想。
當復數(shù)遇到關于流體的數(shù)學
文藝復興時期，數(shù)學家談論一件不可思議的事∶在代數(shù)中引進一個數(shù)，它的平方是-1。這個數(shù)用 i 表示，成了復數(shù)的基礎。
雖然人類很難接受一個數(shù)的平方為負，然而復數(shù)具有一套有效的算術運算，就像通常的實數(shù)算術運算一樣，而且我們還可以求解包含復數(shù)的多項式方程?？朔蛿?shù)反直覺的方法是認識到它們可以作為“點”在普通的二維平面上畫出來。
實數(shù)中，我們可以把每一個實數(shù) r 與它的相反數(shù)-r 相對應。畫在一條直線上（“實數(shù)線”），每個數(shù)由位于原點另一側(cè)且與原點有同樣距離的點與之配對。這種特定的配對在實數(shù)的算術運算中起到了重要的作用。
復數(shù)可以作為復平面上的點被畫出。對于這些數(shù)，取 x＋iy 與-x-iy 對應的類似配對是一種關于原點的反射。但是復數(shù)有另一種配對，它在復數(shù)的算術運算中起到了重要作用。第二種配對是把每個復數(shù) x＋iy 與它的共軛復數(shù) x-iy 對應。復數(shù)共軛配對是關于復平面上實數(shù)軸（即 x 軸）的反射。
到 19 世紀，復數(shù)的基本理論已被成功地研究出來，復數(shù)被普遍認為是主流數(shù)學的標準數(shù)系。而且，數(shù)學家開始發(fā)展一種把微積分推廣到復變函數(shù)的理論，從而產(chǎn)生了復分析。
復分析早期研究的兩位主要人物是黎曼和柯西。他們把復變函數(shù)與物理學聯(lián)系了起來。他們開始于這樣的思考∶
如果 f（z）是復變量 z 的一個復值函數(shù)，那么我們可以把這個函數(shù)的 f（z）值寫成 f（z）=u（z）＋iv（z）的形式，其中 u（z）和 v（z）都是實數(shù)。這就給出了兩個新的函數(shù) u 和 v，它們都是復變量 z 的實值函數(shù)。
這兩位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，如果復變函數(shù) f 有著定義良好的（微積分）導數(shù)（用現(xiàn)代的術語，如果函數(shù) f 是解析的），那么它的實部 u 和虛部 v 必須滿足兩個偏微分方程：
這些方程對物理學家來說是很熟悉的。它們是拉普拉斯方程，在引力理論、電磁理論和流體力學中起著重要作用。拉普拉斯方程的一個解被稱為調(diào)和函數(shù)。復變函數(shù)的微積分和拉普拉斯方程之間緊密聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，導致了數(shù)學物理學的重大進步。
復變函數(shù)理論中的一個重大進展是黎曼曲面的發(fā)明。有一些函數(shù)，它們對實數(shù)很友好，但是當自變量或者函數(shù)值允許是復數(shù)時，結(jié)果完全不像是一個正常的函數(shù)，因為一個自變量可以導出不止一個的函數(shù)值。平方根函數(shù)和對數(shù)就是兩個例子。
對于實數(shù)來說，任何一個正實數(shù)都有兩個平方根，但由于其中一個為正，另一個為負，所以只要規(guī)定取正根，問題就能排除。但是當這個根是復數(shù)時，沒有一種自然而有效的方法在兩個根當中作出選擇。黎曼提出，處理這些“多值函數(shù)”（它們根本不是真正的函數(shù)）的最好方式是把它們看作定義在一個多層曲面上的單值函數(shù)（即真正的函數(shù)）。
黎曼曲面有著比復平面更為復雜的拓撲結(jié)構(gòu)。看待它們的一種方式是把它們當作復平面的一種螺旋梯式構(gòu)形。
進入霍奇猜想
20 世紀早期，數(shù)學家把黎曼曲面的思想推廣成一個高度抽象的概念 —— 復流形，即黎曼曲面的一個有著一種復雜拓撲結(jié)構(gòu)的多維模擬物。這樣一個流形具備了一種能確保復解析函數(shù)的概念有意義的結(jié)構(gòu)。特別是，有可能定義所謂的微分形式，即把通常（實數(shù)）微積分中函數(shù) f 的微分 df 推廣到多維情況的產(chǎn)物。
有些微分形式可以分成具有某種共同關鍵特征的不同類型，所以它們被稱作上同調(diào)類。這些上同調(diào)類正是霍奇猜想所說到的。
要理解上同調(diào)類的概念需要一系列高深的專業(yè)數(shù)學知識。下面是一個十分簡要的概括∶
首先，我們需要知道在微分形式上存在著一種特定的運算，稱作外導數(shù)。外微分本身就是一種微分。
如果一個微分形式是另外某個微分形式的外導數(shù)就稱這個微分形式是恰當?shù)摹?/p>
如果一個微分形式本身的外導數(shù)是零，就稱這個微分形式是閉的。
如果兩個閉微分形式的差是恰當?shù)?，就稱它們是上同調(diào)的。
因此，上同調(diào)類的元素是閉微分形式。恰當性是同一上同調(diào)類中的元素共有的“相似性”性質(zhì)。注意上同調(diào)類的定義十分依賴于來自微積分的概念。
上同調(diào)類定義了有用的拓撲不變量，它們抓住了基本復流形的重要方面。獲得了（閉微分形式的）上同調(diào)類概念，我們就可以回到代數(shù)幾何和代數(shù)簇概念。一個復代數(shù)簇是由一個代數(shù)方程組的復數(shù)解所定義的一個多維“曲面”。
如果定義一個復代數(shù)簇的方程組的解僅依賴于有關數(shù)的比，數(shù)學家就稱這個復代數(shù)簇是射影的。
如果一個簇作為“曲面”是光滑的，他們就稱這個簇是非奇異的。
因此，一個非奇異射影復代數(shù)簇就是一種特殊類型的復流形。
霍奇意識到他可以把來自于分析的方法應用于這些代數(shù)流形。特別是，他意識到由一個非奇異射影復代數(shù)簇所產(chǎn)生的微分形式的有理上同調(diào)類可以被看作是拉普拉斯方程的解。
霍奇的觀察結(jié)果使得有可能把這樣的一個類寫成一些特殊分量的一個和，這種特殊分量稱作調(diào)和（p，q）形式。它們是可以由 p 個復變量和 q 個共軛復變量所規(guī)定的拉普拉斯方程的解。而且，每個（p 維的）代數(shù)上同調(diào)類給出了一個（p，p）形式。
霍奇在他對 1950 年國際數(shù)學家大會所作的報告中提出，對于非奇異射影復代數(shù)簇，上面說到的最后那個性質(zhì)可能完全刻畫了代數(shù)上同調(diào)類。也就是說，每個調(diào)和（p，p）形式是閉代數(shù)形式的一個有理組合（概略地說，即它可以用一種代數(shù)的 —— 即不用到微積分的 —— 方法構(gòu)建起來）。
霍奇猜想就是這樣誕生的。但是這個猜想是否正確？無人知曉。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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