波動方程讓我們對水波、聲波、光波和彈性振動有了更深入的理解。地震學(xué)家利用波動方程推斷出地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)。石油公司也用類似的方法尋找石油。物理學(xué)家用它預(yù)測電磁波的存在的，從而導(dǎo)致無線電、電視、雷達(dá)和現(xiàn)代通信的出現(xiàn)。
我們生活在一個波的世界里。我們的耳朵能探測到空氣中的壓縮波：我們稱之為“聽覺”。我們的眼睛能探測到電磁波：我們稱之為“視覺”。當(dāng)一艘船在海上上下顛簸時，它是對水中的波浪所作出的反應(yīng)。沖浪者利用海浪來娛樂；收音機(jī)、電視和移動電話使用的是電磁波。微波爐…… 名字就已經(jīng)說明了一切。
幾個世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)家就開始思考“波”了，他們首先研究的是音樂，特別是小提琴，小提琴的弦是如何發(fā)聲的？
一根小提琴的弦可以被合理地假設(shè)成一條無限細(xì)的線，它的振動發(fā)生在一個平面上。這樣的假設(shè)起到了降維的作用，從而使得問題變得簡單。一旦我們理解了簡單的波的原理，就可以把這種理解推廣到現(xiàn)實中的波。如果沒有一些數(shù)學(xué)家思考小提琴的發(fā)聲原理，就不會有今天的電子世界和全球通信。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與音樂
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為世界是基于數(shù)字的，他們認(rèn)為的數(shù)字是指整數(shù)或整數(shù)之間的比。
畢達(dá)哥拉斯一些重要的世界觀來自音樂。有一個故事說，畢達(dá)哥拉斯路過一家鐵匠鋪，他注意到不同大小的錘子發(fā)出不同音調(diào)的聲音，用簡單的數(shù)字聯(lián)系起來的錘子（比如一個錘子的大小是另一個的兩倍）碰撞發(fā)出的聲音是和諧的。
畢達(dá)哥拉斯使用一根可拉伸的弦進(jìn)行一系列實驗。托勒密在公元 150 年左右的《和聲（Harmonics）》中提到了這些實驗。通過將支撐物沿弦移動到不同的位置，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩根張力相等的弦的長度呈簡單的比例時（如 2:1 或 3:2），它們就能發(fā)出和諧的聲音，而復(fù)雜的比例則是不和諧的。
一點點樂理
音樂家們根據(jù)音符之間的音程來描述一對音符。最基本的音程是八度。在小提琴上，在一個開放的弦上演奏一個八度以上的音符的方法是在指板上按弦的中間。所以八度音符與一個簡單的 2:1 的數(shù)值比有關(guān)。
其他和諧的音符也與簡單的數(shù)字比率有關(guān)。西方音樂中最重要的是 4:3 的比例和 3:2 的比例。如果考慮整個音符的音階，這些名字就說得通了，比如 C、D、E、F、G、A、B、C。以 C 為基準(zhǔn)，第四度對應(yīng)的音是 F，第五度對應(yīng)的音是 G，八度是 C。
這些比例為音樂音階提供了理論基礎(chǔ)，并發(fā)展成了現(xiàn)在大多數(shù)西方音樂中使用的音階。為了以后方便，我將把 3:2 寫成分?jǐn)?shù) 3/2。從一個基本音開始，升到五度，得到一串長度的音
計算得出
所有這些音符，除了前兩個，都太高了，不能保持在一個八度內(nèi)，但我們可以把它們降低一個或多個八度，重復(fù)地把分?jǐn)?shù)除以 2，直到結(jié)果在 1 和 2 之間。這就得到了分?jǐn)?shù)
最后，排序得到：
這些音與鋼琴上的 C、D、E、G、A、B 音相當(dāng)接近。注意 F 沒了。事實上，對耳朵來說，81/64 和 3/2 之間的間隙比其他的聽起來更寬。為了填補(bǔ)這個空白，我們插入 4/3—— 第四度的比率，它非常接近鋼琴上的 F。現(xiàn)在我們得到了一個完全基于四度、五度和八度的音階，
我們現(xiàn)在已經(jīng)解釋了鋼琴上的白色音符，但還有黑色的音符。這是因為音階中連續(xù)的數(shù)字有兩個不同的比率：9/8（稱為一個音）和 256/243（半音）。例如，81/64 與 9/8 之比是 9/8，而 4/3 與 81/64 之比是 256/243?！耙簟焙汀鞍胍簟边@兩個名稱表示音程的近似比較。數(shù)值分別為 1.125 和 1.05。第一個音較大，所以一個音對應(yīng)的音高變化比半音大。兩個半音的比率是 1.05^2（大約是 1.11），所以兩個半音很接近一個音。
繼續(xù)這個脈絡(luò)，我們可以把每個音分成兩個音程，得到一個 12 個音符的音階。這可以通過幾種不同的方式實現(xiàn)，并產(chǎn)生略微不同的結(jié)果。無論如何，當(dāng)我們改變一段音樂的音調(diào)時，可能會有細(xì)微的但可聽得出的問題：如果把每個音符向上移動一個半音，音程會有輕微的變化。如果我們?yōu)榘胍暨x擇一個特定的比率，讓它的 12 次方等于 2，這種效果是可以避免的。那么那么兩個音就會形成一個準(zhǔn)確的半音，12 個半音組成一個八度音階，你可以通過固定的幅度上下移動所有音符來改變音階。
畢達(dá)哥拉斯關(guān)于自然和諧的理論實際上是建立在西方音樂的基礎(chǔ)上的。為了解釋為什么簡單的比率與音樂和諧緊密相關(guān)，我們必須看看弦振動的物理現(xiàn)象。
聲明：我不是樂理專家，表述有誤的地方希望留言指出。
物理現(xiàn)象
關(guān)鍵是牛頓第二運動定律，它把加速度和力聯(lián)系起來。我們還需要知道拉力作用下，弦是如何隨著弦的移動、輕微的拉伸或收縮而變化的。為此我們需要胡克定律：彈簧長度的變化與施加在它上的力成正比。小提琴的弦實際上是一種彈簧。但仍然有一個障礙存在：小提琴的弦是一個連續(xù)體，一條由無窮多個點組成的線。所以研究周期的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為弦是大量緊密的質(zhì)點，由彈簧連接在一起。這就就可以寫出小提琴弦的振動方程。
1727 年，約翰?伯努利開始著手解決這個問題。在他的數(shù)學(xué)模型中，只有一根兩端固定的弦，沒有小提琴；弦在一個平面上上下振動。在這個實驗中，伯努利發(fā)現(xiàn)弦在任何時刻振動的形狀都是正弦曲線；振動的振幅也遵循一個正弦曲線（在時間而不是空間上）。他的解是 sinct sinx，其中 c 是常數(shù)。
sinx 告訴我們振動的形狀，在 t 時刻，乘以一個因子 sinct 。振蕩的周期是 2π/c。
這是伯努利得到的最簡單的解，但還有其他形式
同樣，正弦曲線是任何時刻弦的形狀，它的振幅乘以一個時間相關(guān)因子，這個因子也是正弦變化的。公式是 sin2ct sin2x，sin3ct sin3x 等等。振動周期為 2π/2c，2π/3c 等等。所以波越多，弦振動得越快。
通過樂器的構(gòu)造和數(shù)學(xué)模型的假設(shè)，琴弦上有些點總是處于靜止?fàn)顟B(tài)。這些“點”是畢達(dá)哥拉斯實驗中出現(xiàn)簡單數(shù)值比率的原因。例如，由于振動模式 2 和 3（上圖）發(fā)生在同一弦上，所以模式 2 節(jié)點之間的間隙是模式 3 應(yīng)間隙的 3/2 倍。這解釋了為什么像 3:2 這樣的比例會自然地從振動彈簧的動力學(xué)中產(chǎn)生，但卻解釋不了為什么這些比例是和諧的。在解決這個問題之前，我們先介紹一下本文的主題 —— 波動方程。
波動方程
波動方程源于牛頓第二運動定律。1746 年，讓?勒朗?達(dá)朗貝爾將振動的小提琴弦視為質(zhì)點的集合。他推導(dǎo)出一個方程來描述弦的形狀如何隨時間變化。但在我解釋它是什么樣子之前，我們需要先了解一個概念，叫作偏導(dǎo)數(shù)。
如果函數(shù) u 只依賴于一個變量 x，我們把它的導(dǎo)數(shù)寫成
但波高 u，不僅取決于 x，也取決于時間 t。在任何固定的時刻，我們可以求出 du / dx，它告訴我們波的局部斜率。但我們也可以固定空間，讓時間變化，它告訴我們一個質(zhì)點上下跳動的速率。
我們可以用 du / dt 來表示時間導(dǎo)數(shù)，并將其解釋為 u 的微小變化除以 t 的微小變化。但是這種表示法隱藏了一種模糊性：高度的小變化 du，在這兩種情況下可能是不同的，通常也是不同的。當(dāng)我們對空間進(jìn)行微分時，我們讓空間變量稍微改變一點然后看看高度是如何變化的；當(dāng)我們對時間求導(dǎo)時，我們讓時間變量改變一點看看高度是如何變化的。沒有理由說隨時間的變化應(yīng)該等于隨空間的變化。
因此，數(shù)學(xué)家們決定通過改變符號 d 來處理這種模糊性。他們選擇了符號?。
然后他們把這兩個導(dǎo)數(shù)寫成
只要你看到?，它就告訴你，你將看到關(guān)于幾個不同變量的變化率。這些變化率被稱為偏導(dǎo)數(shù)，因為概念上你只改變了變量集合的一部分，保持其余的不變。
當(dāng)達(dá)朗貝爾解出振動弦的方程時，他面對的就是這種情況。弦的形狀取決于空間和時間。牛頓第二運動定律告訴他，一小段弦的加速度與作用在其上的力成正比。加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù)。但這個力是相鄰線段的拉力，“相鄰”意味著空間上的微小變化。當(dāng)他計算這些力時，他得到了這個方程
其中 u (x, t) 是 t 時刻弦上 x 處的垂直位置，c 是與弦的張力和彈性有關(guān)的常數(shù)。
達(dá)朗貝爾的公式就是波動方程，和牛頓第二定律一樣，它是一個微分方程，它涉及到 u 的二階導(dǎo)數(shù)。因為這些都是偏導(dǎo)數(shù)，所以它是一個偏微分方程。第二個空間導(dǎo)數(shù)表示作用在弦上的合力，第二個時間導(dǎo)數(shù)是加速度。波動方程開創(chuàng)了一個先例：大多數(shù)經(jīng)典數(shù)學(xué)物理的關(guān)鍵方程都是偏微分方程。
一旦寫出波動方程，就可以解出它。因為它是一個線性方程。偏微分方程有很多解，通常是無窮多，因為每個初始狀態(tài)都有一個獨立解。例如，（原則上）小提琴的弦可以彎曲成任何你喜歡的形狀?！熬€性”意味著如果 u (x, t) 和 v (x, t) 是解，那么任意線性組合 au(x, t) + bv (x, t) 也是解，其中 a 和 b 是常數(shù)。
波動方程的線性特性源于伯努利和達(dá)朗貝爾做出的近似：所有的擾動都被假設(shè)為很小?，F(xiàn)在，弦上的力可以近似地用各個質(zhì)量的位移的線性組合來表示。一個更好的近似將得出一個非線性偏微分方程，這就復(fù)雜得多了。
達(dá)朗貝爾知道他的思路是正確的，因為他找到了一個固定形狀沿著弦運動的解，就像波一樣。波的速度在方程中是常數(shù) c。波可以向左或向右傳播，疊加原理在這里發(fā)揮了作用。達(dá)朗貝爾證明了每個解都是兩個波的疊加，一個向左傳播，另一個向右傳播。此外，每一個單獨的波可以有任何形狀。在有固定末端的小提琴弦中發(fā)現(xiàn)的駐波是兩種形狀相同的波的組合，一種是向左移動的，另一種是向右移動的。在兩端，這兩種波正好相互抵消：其中一種波的波峰與另一種波的波谷重合。所以它們符合物理邊界條件。
有兩種方法可以解波動方程：伯努利方程可以得到正弦和余弦；達(dá)朗貝爾方程可以得到任意形狀的波。起初，達(dá)朗伯特的解看起來似乎更一般：正弦和余弦是函數(shù)。但大多數(shù)函數(shù)不是正弦和余弦。然而，波動方程是線性的，所以可以把伯努利解組合起來。簡單起見，只需考慮固定時間的波，擺脫時間依賴性。下圖以 5sinx + 4sin2x?2cos6x 為例。它的形狀相當(dāng)不規(guī)則，而且擺動幅度大，但它仍然是平滑的和波浪狀的。
讓數(shù)學(xué)家們煩惱的是，有些函數(shù)是非常粗糙或鋸齒狀的，我們不能把它們寫成正弦和余弦的線性組合。但如果你使用了有限的多個正弦和余弦，就不是這樣了 —— 這就提出了一個解決辦法。一個收斂的無窮級數(shù)的正弦和余弦也滿足波動方程。它是否能表示鋸齒函數(shù)？數(shù)學(xué)家們?yōu)檫@個問題爭論不休，當(dāng)熱理論中出現(xiàn)了同樣的問題時，爭論終于達(dá)到了高潮。關(guān)于熱流的問題自然涉及到帶有突然跳躍的不連續(xù)函數(shù)，這比鋸齒狀函數(shù)更糟糕。但結(jié)果是，大多數(shù)“合理的”波形可以用正弦和余弦的無窮級數(shù)來表示，所以它們可以通過有限的正弦和余弦的組合來近似地表示。
正弦和余弦解釋了讓畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所推崇的和諧比率。這些特殊形狀的波在聲音理論中很重要，因為它們代表著“純凈”的音調(diào)。任何真正的樂器都能產(chǎn)生純音的混合。如果你撥動小提琴的弦，聽到的主要音符是 sinx 波，但它上面還疊加了一點 sin2x，也許還有 sin3x 等等。主音叫做基音，其他的是它的和聲。x 前面的數(shù)字叫做波數(shù)。特別地，sin2x 的頻率是 sinx 的兩倍，它比原來高一個八度。這個音與基音一起演奏時最和諧。
數(shù)學(xué)家們首先用最簡單的方法推導(dǎo)出波動方程：一條振動線（一個一維系統(tǒng)）。但在實際應(yīng)用中，需要更一般的理論來模擬二維和三維的波。即使是在音樂中，也需要兩個維度來模擬鼓皮振動的模式。物理學(xué)的許多其他領(lǐng)域都涉及二維或三維模型。將波動方程擴(kuò)展到更高的維度是很簡單的，所要做的就是重復(fù)那些計算小提琴弦的方法。
例如，在三維空間中，我們使用三個空間坐標(biāo) (x, y, z) 和一個時間 t。波由一個依賴于這四個坐標(biāo)的函數(shù) u 來描述。例如，它可以描述聲波穿過空氣時空氣中的壓力。用與達(dá)朗貝爾相同的假設(shè)，同樣的方法可以得到一個同樣漂亮的方程：
括號里的公式叫作拉普拉斯公式。這個表達(dá)式在數(shù)學(xué)物理中經(jīng)常出現(xiàn)，所以它有自己的特殊符號：
為了得到二維的拉普拉斯方程，只需去掉 z 這一項。
高維的主要問題在于，波浪產(chǎn)生的形狀（稱為方程的域），會很復(fù)雜。在一維空間中，唯一相連的形狀是一個區(qū)間，一條線段。然而，在二維空間中，它可以是平面上的任何形狀，而在三維空間中，它可以是空間中的任何形狀。
波動方程取得了驚人的成功，在物理學(xué)的某些領(lǐng)域，它非常接近于描述現(xiàn)實。然而，它的推導(dǎo)需要幾個假設(shè)。當(dāng)這些假設(shè)是不現(xiàn)實的，同樣的物理思想可以加以修改以適應(yīng)實際需要，導(dǎo)致波動方程的不同版本。
地震就是一個典型的例子。這里的主要問題不是達(dá)朗貝爾的假設(shè)，即波的振幅很小，而是域的物理性質(zhì)的變化。這些特性會對地震波產(chǎn)生強(qiáng)烈的影響，地震波是一種穿過地球的振動。通過了解這些影響，我們可以深入地球內(nèi)部，了解它的構(gòu)成。
地震學(xué)領(lǐng)域最大的目標(biāo)是找到一種可靠的方法來預(yù)測地震和火山爆發(fā)。事實證明，這是很難的，因為引發(fā)這些事件的條件是許多地點許多因素的復(fù)雜組合。但地震學(xué)家對波動方程的研究為許多正在研究的項目提供了理論基礎(chǔ)。
波動方程也有一些商業(yè)應(yīng)用。石油公司勘探地下幾公里處的“液態(tài)黃金”，方法是在地表實施爆炸，并利用爆炸所產(chǎn)生的地震波回波來繪制地下地質(zhì)情況。這里的主要數(shù)學(xué)問題是根據(jù)接收到的信號重建地質(zhì)，這是反向使用波動方程。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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