引言
面、邊和頂點(diǎn)的數(shù)量不是獨(dú)立的，而是以一種簡單的方式聯(lián)系在一起的。它使用最早的拓?fù)洳蛔兞康睦觼韰^(qū)分具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的固體。純數(shù)學(xué)中最重要和最強(qiáng)大的領(lǐng)域之一 —— 拓?fù)鋵W(xué)，是研究幾何物體在連續(xù)變形后不變的性質(zhì)。它幫助我們理解酶如何作用于細(xì)胞中的 DNA，以及為什么天體的運(yùn)動(dòng)可以是混亂的。
歐拉立方體
當(dāng) 19 世紀(jì)接近尾聲時(shí)，數(shù)學(xué)家們開始發(fā)展一種新的幾何，在這種幾何中，長度和角度等熟悉的概念不再是關(guān)鍵，三角形、正方形和圓也沒有區(qū)別。最初它被稱為位置分析，但數(shù)學(xué)家們很快找到了另一個(gè)名字：拓?fù)?/strong>。
笛卡爾在 1639 年思考?xì)W幾里得的五個(gè)正多面體時(shí)注意到了拓?fù)?。笛卡爾因此把注意力轉(zhuǎn)向了正立方體，也就是在這個(gè)時(shí)候，他注意到了關(guān)于正立方體的數(shù)字規(guī)律。一個(gè)立方體有 6 個(gè)面，12 條邊和 8 個(gè)頂點(diǎn)：
一個(gè)十二面體有 12 個(gè)面，30 條邊和 20 個(gè)頂點(diǎn)：
一個(gè)二十面體有 20 個(gè)面，30 條邊和 12 個(gè)頂點(diǎn)；20 - 30 + 12 的和等于 2。同樣的關(guān)系適用于四面體和八面體。事實(shí)上，它適用于任何形狀的固體，規(guī)則的或不規(guī)則的。如果立體有 F 個(gè)面，E 條邊，V 個(gè)頂點(diǎn)，那么：
笛卡爾認(rèn)為這個(gè)公式只是一個(gè)小小的發(fā)現(xiàn)，并沒有發(fā)表。直到很久以后，數(shù)學(xué)家們才把這個(gè)簡單的方程式看作是邁向拓?fù)鋵W(xué)的第一步。在 19 世紀(jì)，純數(shù)學(xué)的三大支柱是代數(shù)、分析和幾何。到了 20 世紀(jì)末，變成了代數(shù)、分析和拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)通常被描述為“橡皮泥幾何”，線條可以彎曲、收縮或拉伸，而圓形可以被擠壓，從而變成三角形或正方形，重要的是要保持連續(xù)性。連續(xù)性是自然世界的一個(gè)基本方面，也是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征。今天，我們主要是間接地使用拓?fù)?。量子場論和?biāo)志性分子 DNA 的一些性質(zhì)需要通過拓?fù)鋪砝斫狻?/p>
歐拉在 1750 年和 1751 年證明并發(fā)表了這一關(guān)系。F - E + V 的表達(dá)式看起來相當(dāng)隨意，但它有一個(gè)非常有趣的結(jié)構(gòu)。面 (F) 是二維多邊形；邊 (E) 是線，是一維；頂點(diǎn) (V) 是點(diǎn)，是 0 維。表達(dá)式 + F-E+V 中“+”表示偶數(shù)維，“-”表示奇數(shù)維。這意味著可以通過合并面或刪除邊和頂點(diǎn)來簡化實(shí)體，這些變化不會改變 F - E + V 的結(jié)果。
現(xiàn)在，我來解釋一下。如圖所示：
首先，把固體變成一個(gè)圓球，它的邊就是球上的曲線。如果兩個(gè)面共邊，然后你可以刪除這條邊并將這兩個(gè)面合并成一個(gè)。因?yàn)檫@個(gè)合并使 F 和 E 都減少了 1，它不會改變 F - E + V 的結(jié)果。一直這樣做，直到得到一個(gè)面，它幾乎覆蓋了整個(gè)球面（除了這個(gè)面，只剩下邊和頂點(diǎn)）。它們必須形成一個(gè)沒有閉合環(huán)的網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)榍蛎嫔系娜魏伍]合環(huán)都至少分開兩個(gè)面：一個(gè)在閉合環(huán)內(nèi)部，另一個(gè)在閉合環(huán)外部。
這個(gè)過程會一直持續(xù)下去，直到只剩下一個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)沒有任何特征的球體上?，F(xiàn)在 V =1，E = 0，F(xiàn) =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2。但由于每一步 F - E + V 不變，它一開始的值也一定是 2，這就是我們想要證明的。
這個(gè)證明有兩個(gè)成分。一個(gè)是簡化過程：刪除一個(gè)面和一個(gè)相鄰的邊，或者刪除一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)與之相交的邊。另一個(gè)是不變式，即無論何時(shí)執(zhí)行簡化過程中的某一步，它都保持不變的數(shù)學(xué)表達(dá)式。只要這兩種成分同時(shí)存在，就可以通過盡可能地簡化任何初始對象的不變式的值，然后計(jì)算這個(gè)簡化版本的不變式的值。因?yàn)樗且粋€(gè)不變量，所以這兩個(gè)值必須相等。因?yàn)樽罱K結(jié)果很簡單，所以不變量很容易計(jì)算。
事實(shí)上，笛卡爾的公式并不適用于任何固體。最常見的不適用的固體是相框。想象一個(gè)由木頭制成的四邊相框，每條邊的橫截面都是矩形，在四個(gè)角上用 45° 的斜面連接起來，如下圖所示。每條邊的木頭貢獻(xiàn) 4 個(gè)面，所以 F = 16。每條木頭也貢獻(xiàn)了 4 條邊，但是斜接在每個(gè)角上創(chuàng)造了 4 條邊，所以 E = 32。每個(gè)角包含 4 個(gè)頂點(diǎn)，所以 V = 16。因此 F - E + V =0。
問題出在哪里？
F - E + V 不變性是沒有問題的。簡化過程也沒有問題。但如果你對框架進(jìn)行處理，總是在一條邊上消去一個(gè)面，或者在一條邊上消去一個(gè)頂點(diǎn)，那么最終的簡化構(gòu)型就不是單個(gè)頂點(diǎn)在單個(gè)面上了。如上圖的右圖：F =1, V =1, E =2。在這個(gè)階段，移除一條邊只是將剩下的唯一一個(gè)面與它本身合并，所以對數(shù)字的更改不再抵消。這就是我們停下來的原因，但我們還是得到了答案：對于這個(gè)構(gòu)型，F(xiàn) - E + V = 0。因此，該方法執(zhí)行得很完美。它只是對相框產(chǎn)生了不同的結(jié)果。相框和立方體之間一定有一些基本的區(qū)別，不變量 F - E + V 將其體現(xiàn)了出來。
前面，我告訴過你把固體“變形成一個(gè)圓球”。但這對相框來說是不可能的。即使經(jīng)過簡化，它的形狀也不像一個(gè)球體。它是一個(gè)環(huán)面，看起來像一個(gè)輪胎，中間有個(gè)洞。然而，F(xiàn)-E + V 仍然是不變的。這個(gè)證明告訴我們，任何可變形為環(huán)面的固體都滿足稍微不同的方程：F - E +V = 0。因此，我們有了嚴(yán)格證明環(huán)面不能變形為球體的基礎(chǔ)，也就是說，這兩個(gè)表面在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是不同的。
當(dāng)然這在直覺上是顯而易見的，但現(xiàn)在我們可以用邏輯來支持直覺。正如歐幾里得從點(diǎn)和線的明顯性質(zhì)出發(fā)，并將它們形式化為嚴(yán)格的幾何理論一樣，19 世紀(jì)和 20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家發(fā)展出了嚴(yán)格形式的拓?fù)淅碚摗?/p>
像環(huán)面這樣的實(shí)體，有兩個(gè)或更多的孔，如圖上圖所示。結(jié)果表明，任何可變形為 2 孔環(huán)面的固體滿足 F - E + V = - 2，任何可變形為 3 孔環(huán)面的固體滿足 F - E + V = - 4，一般而言，任何可變形為 g 孔環(huán)面的固體滿足 F - E + V = 2- 2g。
沿著笛卡爾和歐拉的思路，我們發(fā)現(xiàn)了固體的數(shù)量性質(zhì)（面、頂點(diǎn)和邊的數(shù)量）和具有孔的性質(zhì)之間的聯(lián)系。我們稱 F - E + V 為立方體的歐拉示性數(shù)。
我們計(jì)算孔的數(shù)量，這是一種定量操作，但“孔”本身是定性的，因?yàn)樗静皇枪腆w的特征。直覺上，它是空間中的一個(gè)區(qū)域而固體不是。事實(shí)上，你越開始思考孔（洞）是什么，你就越會意識到定義一個(gè)洞是相當(dāng)棘手的，比如下圖：
這是我最喜歡的一個(gè)例子，它被稱為“孔中之孔”，顯然你可以把一個(gè)洞穿過另一個(gè)洞。
情況變得越來越復(fù)雜。到了 19 世紀(jì)末，它們在數(shù)學(xué)中隨處可見 —— 在復(fù)分析、代數(shù)幾何和黎曼微分幾何中。更糟糕的是，在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域中，高維的固體類似物占據(jù)了中心地位。太陽系的動(dòng)力學(xué)需要每一個(gè)物體有 6 個(gè)維度。它們有更高維度的孔類似物。無論如何，有必要給這個(gè)新的領(lǐng)域帶來一點(diǎn)秩序。答案是：不變量。
拓?fù)洳蛔兞?/strong>的思想可以追溯到高斯關(guān)于磁性的研究。他對磁力線和電力線如何相互連接感興趣，他定義了連接數(shù)，即一個(gè)磁力線繞另一個(gè)磁力線的次數(shù)。這是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚喝绻€連續(xù)變形，它保持不變。高斯的學(xué)生約翰?李斯特和高斯的助手奧古斯特?莫比烏斯的首次深入了解了高斯的研究。李斯特在 1847 年的“拓?fù)溲芯俊敝幸肓恕巴負(fù)洹边@個(gè)詞，而莫比烏斯則明確了連續(xù)變形的作用。
李斯特想尋求歐拉公式的推廣。表達(dá)式 F- E + V 是一個(gè)組合不變式。孔的數(shù)量 g 是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚簾o論固體如何變形，只要變形是連續(xù)的，它都不會改變。拓?fù)洳蛔兞坎蹲叫螤畹亩ㄐ愿拍钐卣?；組合函數(shù)提供了一種計(jì)算方法。這兩者結(jié)合起來是非常強(qiáng)大的，因?yàn)槲覀兛梢杂酶拍畈蛔兞縼砜紤]形狀，用組合不變量來確定我們要討論的內(nèi)容。
事實(shí)上，這個(gè)公式讓我們完全避開了定義“洞”這個(gè)棘手的問題。相反，我們將“洞數(shù)”定義為一個(gè)包，既不定義洞也不計(jì)算有多少個(gè)洞。具體怎么做？就是把歐拉公式 F - E + V = 2-2g 改寫成這種形式：
現(xiàn)在我們可以通過在立體上“畫面”來計(jì)算 g，計(jì)算 F，E 和 V，然后把這些值代入公式。因?yàn)楸磉_(dá)式是一個(gè)不變量，所以不管我們?nèi)绾畏指顚?shí)體，總是得到相同的答案。但我們所做的一切都不依賴于洞的定義。相反，“洞數(shù)”變成了一種直觀的解釋。
這對拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)核心問題有重大的突破：什么時(shí)候一個(gè)形狀可以連續(xù)變形成另一個(gè)形狀？也就是說，就拓?fù)鋵W(xué)家而言，這兩個(gè)形狀是否相同？如果它們是一樣的，它們的不變量也一定是一樣的；反之，如果不變量不同，形狀也會不同。由于球面具有歐拉示性數(shù) 2，而環(huán)面具有歐拉示性數(shù) 0，因此無法將球面連續(xù)變形為環(huán)面。
不太明顯的是，歐拉示性數(shù)表明這個(gè)令人費(fèi)解“孔中之孔”實(shí)際上只是一個(gè)偽裝的三孔環(huán)面。大多數(shù)表面的復(fù)雜性并不是來自于表面的固有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而是來自于我選擇將其嵌入空間的方式。
拓?fù)鋵W(xué)中第一個(gè)真正重要的定理產(chǎn)生于歐拉示性數(shù)公式。它是曲面的一個(gè)完整分類，曲面的二維形狀，像球面或環(huán)面。此外，還強(qiáng)加了一些技術(shù)條件：表面應(yīng)該沒有邊界，而且范圍應(yīng)該是有限的（術(shù)語是“緊湊”）。
為了這個(gè)目的，表面被本質(zhì)地描述了；也就是說，它并不存在于周圍的空間中。一種方法是把這個(gè)表面看成是許多多邊形區(qū)域，它們按照特定的規(guī)則沿著邊緣粘在一起。
粘合邊界的可能性導(dǎo)致了一個(gè)相當(dāng)奇怪的現(xiàn)象：只有一面的表面。最著名的例子是莫比烏斯的帶，這是一個(gè)矩形帶，其兩端以 180° 的旋轉(zhuǎn)粘在一起。莫比烏斯帶只有一條邊，因?yàn)榫匦蔚膬蓷l分開的邊通過半扭的方式連在一起。
我們可以很容易做出一個(gè)莫比烏斯帶，因?yàn)樗梢院茏匀坏厍度肴S空間。這個(gè)帶只有一面，也就是說，如果你開始畫它的一個(gè)表面，然后繼續(xù)畫下去，你最終會覆蓋整個(gè)表面，前面和后面。
這是因?yàn)榘肱まD(zhuǎn)連接了前面和后面。這不是一個(gè)固有的描述，因?yàn)樗蕾囉诎褞度肟臻g，還有一個(gè)等價(jià)的，更專業(yè)的特性，叫做可定向性，這是固有的。
如果我們把一個(gè)矩形的兩條邊粘在一起，就像一個(gè)莫比烏斯帶，然后把另外兩條邊粘在一起，不需要任何扭曲。這個(gè)表面被描繪成這樣一個(gè)交叉，它看起來就像一個(gè)瓶子的脖子戳過側(cè)壁，并連接到底部。它是由克萊因發(fā)明的，被稱為克萊因瓶。
克萊因瓶沒有邊界且緊湊，因此任何表面分類都必須包括它。它是所有單面曲面家族中最有名的。
在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中，曲面是自然出現(xiàn)的。它們在復(fù)分析中很重要，在復(fù)分析中，曲面與奇點(diǎn)有關(guān)，在這些奇點(diǎn)上函數(shù)表現(xiàn)異常 —— 例如，導(dǎo)數(shù)不存在。奇異性是復(fù)分析中許多問題的關(guān)鍵。由于奇異性與曲面有關(guān)，曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為復(fù)變分析提供了一種重要的技術(shù)。
大多數(shù)現(xiàn)代拓?fù)涠际歉叨瘸橄蟮?，很多拓?fù)涠及l(fā)生在四維或多維空間中。我們可以在更熟悉的環(huán)境中對主題有一種感覺：扭結(jié)。在現(xiàn)實(shí)世界中，結(jié)是用一根繩子打結(jié)而成的。拓?fù)鋵W(xué)家們需要一種方法來防止繩結(jié)脫離繩結(jié)的末端，因此他們將繩結(jié)的末端連接在一起，形成一個(gè)閉合的環(huán)。一個(gè)結(jié)就是嵌在空間中的一個(gè)圓。從本質(zhì)上講，結(jié)與圓的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是相同的，但在這種情況下，重要的是圓在周圍空間中的位置。這似乎與拓?fù)鋵W(xué)的精神相違背，但結(jié)的本質(zhì)在于弦環(huán)和圍繞它的空間之間的關(guān)系。通過不僅僅考慮環(huán)路，而且考慮它與空間的關(guān)系，拓?fù)鋵W(xué)可以解決關(guān)于結(jié)點(diǎn)的重要問題。其中包括：
我們怎么知道一個(gè)結(jié)真的打了？
我們?nèi)绾螀^(qū)分拓?fù)渖喜煌慕Y(jié)？換句話說，兩個(gè)紐結(jié)能否從一個(gè)光滑地形變到另一 個(gè)，而不必切開紐結(jié)自身，這仍然被認(rèn)為是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。紐結(jié)不變量是幫助解 答這個(gè)問題的有力工具，我們接下來會介紹。
我們能對所有可能的結(jié)進(jìn)行分類嗎？
蘇格蘭理論物理學(xué)家 Peter Tait 用多年時(shí)間研究出最早的紐結(jié)分類表。1910 年馬克 思?德恩引進(jìn)了紐結(jié)群的概念。1928 年詹姆斯?瓦德?亞歷山大引進(jìn)了紐結(jié)多項(xiàng)式這個(gè)更容易處理的不變量。這些都是紐結(jié)理論發(fā)展 之路上重要的進(jìn)步。
大約在 1960 年以后，結(jié)論進(jìn)入了拓?fù)鋵W(xué)的低潮，等待著創(chuàng)造性的洞見。1984 年，新西蘭數(shù)學(xué)家沃恩?瓊斯發(fā)明了新的紐結(jié)不變量，稱為瓊斯多項(xiàng)式，也使用紐結(jié)圖和三種移動(dòng)類型來定義。然而，這些移動(dòng)并不保留結(jié)的拓?fù)漕愋?。然而，令人驚訝的是，這個(gè)想法仍然是可行的，而且瓊斯多項(xiàng)式是一個(gè)結(jié)不變量。
瓊斯的發(fā)現(xiàn)為他贏得了菲爾茲獎(jiǎng)。它也引發(fā)了新的結(jié)不變量的爆發(fā)。1985 年，四組不同的數(shù)學(xué)家（8 個(gè)人），同時(shí)發(fā)現(xiàn)了瓊斯多項(xiàng)式的相同推廣，并各自向同一份雜志提交了論文。這四種證明都是不同的，編輯說服這八名作者聯(lián)合起來發(fā)表一篇聯(lián)合文章。它們的不變量通常被稱為 HOMFLY 多項(xiàng)式（基于名字的首字母）。但即使是瓊斯多項(xiàng)式和 HOMFLY 多項(xiàng)式也沒有完全回答結(jié)理論的三個(gè)問題。對所有可能的結(jié)進(jìn)行系統(tǒng)的分類仍然是數(shù)學(xué)家的白日夢。
拓?fù)溆泻芏嘤猛?，但它們通常是間接的。例如，我們對混沌的理解是建立在動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)涮匦缘幕A(chǔ)上的。
更深?yuàn)W的拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用出現(xiàn)在基礎(chǔ)物理學(xué)的前沿。在這里，拓?fù)涞闹饕跋M(fèi)者”是量子場理論學(xué)家，因?yàn)槌依碚?，即量子力學(xué)和相對論的統(tǒng)一理論，是基于拓?fù)涞摹?/strong>在這里，類似的瓊斯多項(xiàng)式在結(jié)理論出現(xiàn)在費(fèi)曼圖的背景下，它顯示了量子粒子，如電子和光子如何通過時(shí)空移動(dòng)，碰撞，合并和分裂。費(fèi)曼圖有點(diǎn)像結(jié)圖。
對我來說，拓?fù)鋵W(xué)最吸引人的應(yīng)用之一是它在生物學(xué)上越來越多的應(yīng)用，幫助我們理解生命分子 DNA 的工作方式。是因?yàn)?DNA 是雙螺旋結(jié)構(gòu)，就像兩個(gè)相互纏繞的螺旋樓梯。這兩條鏈錯(cuò)綜復(fù)雜地交織在一起，重要的生物過程，特別是細(xì)胞分裂時(shí)復(fù)制 DNA 的方式，必須考慮到這種復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
有些酶，稱為重組酶，切斷兩條 DNA 鏈，然后以不同的方式重新連接。為了確定這種酶在細(xì)胞中的作用，生物學(xué)家將這種酶應(yīng)用到 DNA 的閉合環(huán)上。然后，他們用電子顯微鏡觀察修改后的環(huán)的形狀。如果酶將不同的鏈連接在一起，圖像就是一個(gè)結(jié)：
如果酶使這些鏈分開，圖像顯示出兩個(gè)相連的環(huán)。紐結(jié)理論的方法，如瓊斯多項(xiàng)式和另一種被稱為“纏結(jié)”的理論，使研究結(jié)和連接發(fā)生成為可能，這提供了關(guān)于酶作用的詳細(xì)信息。
總的來說，你不會在日常生活中遇到拓?fù)洹５谀缓?，拓?fù)鋵W(xué)貫穿了整個(gè)主流數(shù)學(xué)，使其他具有更明顯實(shí)際用途的技術(shù)得以發(fā)展。這就是為什么數(shù)學(xué)家們認(rèn)為拓?fù)鋵W(xué)非常重要，而數(shù)學(xué)之外的人卻幾乎沒有聽說過它。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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