龐加萊：最后一個什么都會的科學(xué)家

本文來自微信公眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：曹則賢（中國科學(xué)院物理研究所）

平庸的人關(guān)注非凡的事物，偉大的人關(guān)注平凡的事物。

—— 帕斯卡

1、引子

物理學(xué)有一個分類法是按照研究對象的多少劃分的，包括單體問題、兩體問題、少體問題和多體問題。近些年來，很多人的聊天詞匯里多了個三體的概念。三體問題（three-body problem），一開始是個特別自然的天體物理問題：太陽-地球-月亮這樣的靠萬有引力相互作用的體系是否是穩(wěn)定的？這是個標(biāo)準(zhǔn)的杞人憂天。三體的動力學(xué)問題沒有閉合形式的通解，對于一般的初始條件都會表現(xiàn)出混沌行為（chaotic behavior）?；煦鐝拇顺闪艘粋€重要的交叉學(xué)科概念。這個概念出自法國偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊的工作。1890 年，龐加萊在一篇長達(dá) 270 頁的論文里為三體動力學(xué)問題的解決提供了系統(tǒng)的思想和數(shù)學(xué)技術(shù)，還讓混沌等概念成了社會性概念。

提起數(shù)學(xué)家，有個關(guān)于數(shù)學(xué)家判據(jù)的說法和龐加萊引理有關(guān)，非常有趣。如果有一個人睡得迷迷瞪瞪的，你一腳把他踹醒，問“什么是龐加萊引理？” 答不上來的，肯定算不上數(shù)學(xué)家。龐加萊引理（Poincaré’s lemma）有如此高的地位，可用作數(shù)學(xué)家的判據(jù)，估計會讓許多人感到驚訝。龐加萊引理談?wù)摰氖情_單位球上微分形式的零調(diào)性質(zhì)。若 U 是 Rⁿ 空間的開球，E^k(U) 是 U 上的微分 k-形式（differential k-form）空間，則對于 k≥1，存在線性變換 ，使得，其中 d 是外微分符號。龐加萊引理的推論之一是，若 ω 是開單位球體上的一個微分 k-形式，且 dω=0，則存在一個微分 (k-1)-形式，有 dβ=ω。在矢量分析或者微分拓?fù)渲校馕⒎譃榱愕男问?，dω=0，是閉合形式；而一個微分 k-形式如果是外微分，ω=dβ，則稱其是精確形式。一個精確形式肯定是閉合的，但逆定理不一定成立。在可收縮的域上，龐加萊引理保證閉合形式也必是精確的。這部分對于未學(xué)過高等數(shù)學(xué)的讀者來說有點難度，可以跳過。讀者需要記住的是，這個龐加萊引理的推論在物理學(xué)上有諸多應(yīng)用，(引力、電磁的) 勢理論，Stokes theorem，這些物理學(xué)至關(guān)重要的內(nèi)容都與其有關(guān)。一般的物理教科書不走高深路線，不太提這些內(nèi)容，但如果你熟悉這些內(nèi)容，你在學(xué)數(shù)學(xué)物理的時候容易有豁然開朗的感覺。

龐加萊被譽為人類最后一個什么都會的學(xué)者（the last universalist），一個全面型的專家（universal specialist），他對數(shù)學(xué)、物理以及哲學(xué)的貢獻(xiàn)是全面的、獨特的。龐加萊是自成一類的學(xué)者。對龐加萊，筆者懷有無限的崇敬。

2、龐加萊小傳

龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師、哲學(xué)家，毫無疑問的 polymath，被數(shù)學(xué)界稱為最后一個啥都懂的人（圖 1）。他之后的希爾伯特也算數(shù)學(xué)啥都懂吧，但論物理就差太多了。法語維基百科詞條比較謙虛，稱其為最后的啥都懂大學(xué)者之一 (un des derniers grands savants universels)。龐加萊 1854 年出生于法國南希的一個大戶人家，父親是南希大學(xué)的醫(yī)學(xué)教授。之所以說龐加萊家是大戶人家，是因為這家人才輩出，其中他的一個堂弟 Raymond Poincaré 是法語學(xué)院的院士（fellow of Académie fran?aise），在 1913-1920 年之間是法國總統(tǒng)。與此可比的是熱力學(xué)奠基人卡諾（Sadi Carnot，1796-1832），其父是巴黎工科學(xué)校的數(shù)學(xué)物理教授，后來他的一個侄子成了法國總統(tǒng)。

龐加萊小時候身體不好，由其母歐也妮（Eugénie Launois，1830–1897）親自啟蒙教育，1862 年進(jìn)入南希帝國學(xué)校（lycée impérial de Nancy，如今名為龐加萊中學(xué)校）上了 11 年學(xué)，各科全優(yōu)，被數(shù)學(xué)老師稱為數(shù)學(xué)大魔頭。龐加萊 1873 年進(jìn)入巴黎工科學(xué)校，1875 年畢業(yè)。在巴黎工科學(xué)校，龐加萊跟著厄米特學(xué)數(shù)學(xué)，成績依然優(yōu)異并在 1874 年發(fā)表第一篇學(xué)術(shù)論文“面指標(biāo)性質(zhì)的新證明（Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface）”。1875 -1878 年間，龐加萊在巴黎礦業(yè)學(xué)校（école des mines）學(xué)習(xí)，1879 年獲得采礦工程師學(xué)位；同期從巴黎大學(xué)畢業(yè)，在厄米特指導(dǎo)下獲得了科學(xué)博士學(xué)位，論文題目為“論由偏微分方程所定義之函數(shù)的性質(zhì)（Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles）”。具體說來，龐加萊這是發(fā)明了新方法研究偏微分方程的性質(zhì)，他不僅研究這些方程可積的問題，還是第一個研究這些方程一般幾何性質(zhì)的人。

龐加萊的第一份工作是 1879 年在卡昂（Caen）大學(xué)當(dāng)講師。在那里，他得到了一個重要研究成果，是關(guān)于自守函數(shù)的。到 1881 年時 27 歲的龐加萊即已經(jīng)確立了歐洲最偉大數(shù)學(xué)家的身份。1881 年龐加萊轉(zhuǎn)往巴黎大學(xué)，在 1881-1882 年間他發(fā)展了新的數(shù)學(xué)分支 —— 微分方程的定性理論，對于某些微分方程在未加求解的情形下就可以獲悉關(guān)于解的最重要的信息。1883-1897 年間龐加萊在巴黎工科學(xué)校教授數(shù)學(xué)分析，1896 年獲得巴黎大學(xué)的數(shù)學(xué)天文學(xué)和天體力學(xué)的教席；在巴黎大學(xué)他占據(jù)的教席還包括力學(xué)，數(shù)學(xué)物理，概率論等。龐加萊備受法國學(xué)術(shù)界推崇，1886 年即當(dāng)選法國數(shù)學(xué)學(xué)會主席，1900 年再次當(dāng)選，1902 年又當(dāng)選法國物理學(xué)會主席。1887 年 32 歲的龐加萊入選了法國科學(xué)院（French academy of Science），1906 年成為其主席；1908 年龐加萊還當(dāng)選法語學(xué)院（Académie fran?aise）的成員。法語學(xué)院也是法國學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)（Institute de France，不要和法蘭西學(xué)院，Collège de France，弄混了）下設(shè)的機(jī)構(gòu)，是涉及法語事務(wù)的專門學(xué)術(shù)團(tuán)體，始終保持 40 名成員的規(guī)模。1893 年，龐加萊加入法國國家標(biāo)準(zhǔn)局，參與時間同步校準(zhǔn)的工作，這份工作引導(dǎo)他考慮劃分國際時區(qū)以及在運動物體間如何進(jìn)行時間校準(zhǔn)的問題，而這是相對論的關(guān)鍵。龐加萊還曾三次當(dāng)選法國長度標(biāo)準(zhǔn)局（Bureau des Longitudes）主任。物理標(biāo)準(zhǔn)的建立是學(xué)（做）物理的起點，龐加萊的相對論成就與在標(biāo)準(zhǔn)局的任職有關(guān)~ 讀者是否還記得愛因斯坦創(chuàng)立狹義相對論時是在瑞士國家專利局工作的。龐加萊以數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的身份聞名于世，但也一直沒有放棄他礦業(yè)工程師的身份，1881-1885 年他負(fù)責(zé)法國北部鐵路的修建，1893 年升為礦業(yè)集團(tuán)主任工程師，1910 年升為總監(jiān)（inspector general）。

龐加萊比較著名的數(shù)學(xué)成就包括：

1. Automorphic functions, uniformization（自守函數(shù)，單值化）

2. The qualitative theory of differential equations（微分方程的定性理論）

3. Bifurcation theory（分岔理論）

4. Asymptotic expansions, normal forms（漸近展開，范型）

5. Dynamical systems, integrability（動力學(xué)系統(tǒng)，可積性）

6. Mathematical physics（數(shù)學(xué)物理）

7. Topology /analysis situs（拓?fù)洌?/p>

8. Number theory（數(shù)論）

9. Algebraic geometry（代數(shù)幾何）

至于天文與物理，龐加萊的成就包括提出了混沌理論，其對經(jīng)典力學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)和光學(xué)的貢獻(xiàn)可能不是很顯著，但是對量子力學(xué)和相對論的建立其貢獻(xiàn)確實奠基性的、一錘定音式的。

在龐加萊身后，法國科學(xué)院為他出版了 11 卷的文集（?uvres publiées sous les auspices de l'Académie des Sciences），具體地：

Tome 1, équations des différentielles（微分方程）

Tome 2, Fonctions Fuchsiennes（?？怂购瘮?shù)）

Tome 3, équations des différentielles, Théorie des fonctions（微分方程，函數(shù)理論）

Tome 4, Théorie des fonctions（函數(shù)理論）

Tome 5, Algèbre, Arithmétique（代數(shù)，算術(shù)）

Tome 6, Géométrie, Analysis situs（幾何，拓?fù)洌?/p>

Tome 7, Principles de mécanique analytique, Problème des trois corps（分析力學(xué)原理，三體問題）

Tome 8, Mécanique céleste, Astronomie（天體力學(xué)，天文學(xué)）

Tomes 9-10,  Physique mathématique（數(shù)學(xué)物理）

Tome 11, Mémoires divers-livre du centenaire（各種紀(jì)念文章，百年誕辰紀(jì)念文集）

此外，龐加萊尚有大量關(guān)于各種數(shù)學(xué)和各科物理課程的講義，比較有名的有《天體力學(xué)講義》三卷等。

龐加萊還是數(shù)學(xué)、物理的普及者，為公眾撰寫了不少書目。龐加萊的部分著作目錄如下：

1. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles : premiere these（論由偏微分方程所定義的函數(shù)的性質(zhì)）, Gauthier-Villars (1879).

2. Les méthodes nouvelles de la mécanique celeste（天體力學(xué)新方法）, Gauthier-Villars, Tome 1, 1892；Tome 2, 1893；Tome 3, 1899.

3. La Science et l'Hypothèse（科學(xué)與假設(shè)）， Flammarion (1902).

4. La Valeur de la Science（科學(xué)的價值）， Flammarion (1905).

5. Cours d'astronomie Générale（普通天文學(xué)教程）, école polytechnique (1907).

6. Science et Méthode（科學(xué)與方法）， Flammarion (1908).

7. Savants et écrivains（學(xué)者與作家）， Flammarion (1910).

8. Ce que disent les choses（事如是說）, Hachette (1911).

9. Dernières Pensées（最后的思想）， Flammarion (1913).

鑒于龐加萊的學(xué)術(shù)地位與影響，他的著作大多都有多種語言的版本，如《科學(xué)與方法》《科學(xué)與假設(shè)》等還有中文版。

順便說一句，和歐拉一樣，龐加萊的眼神不好。

3、龐加萊的數(shù)學(xué)成就

龐加萊首先是個職業(yè)數(shù)學(xué)家，涉獵了幾乎所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。其實，數(shù)學(xué)哪有什么領(lǐng)域。記得是希爾伯特說的，數(shù)學(xué)不分專業(yè)，只分會與不會。試圖介紹龐加萊的數(shù)學(xué)成就超出本書的范圍，尤其是超出作者的能力。此處摘取兩個比較著名的例子給予簡短的介紹。

3a) 龐加萊圓盤。龐加萊圓盤是一個由貝爾特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900）提出但經(jīng)龐加萊才變得馳名的雙曲幾何模型?？疾炱矫嫔系囊粋€圓盤，用復(fù)數(shù)表示，就是集合；如果我們賦予其每個點上以如下的度規(guī)，其切矢量 v 的長度為 ，這就是龐加萊圓盤。它是一個雙曲空間，一個無窮大的度規(guī)空間，就是哈姆雷特口中的那個能讓他感到是無窮空間之王的果殼（Hamlet: I could be bounded in a nutshell and count myself a king of infinite space）。

龐加萊圓盤是一個無窮雙曲平面的反演（幾何）模型，自守函數(shù)  保龐加萊圓盤的結(jié)構(gòu)不變，而且構(gòu)成群。龐加萊圓盤有許多有趣的幾何性質(zhì)，比如兩點之間的直線 (測地線) 是同龐加萊圓盤的邊界相正交的圓的一段圓弧（圖 2），過直線外一點有無數(shù)條直線和該直線平行。

龐加萊圓盤的研究啟發(fā)了數(shù)學(xué)家以及數(shù)學(xué)家以外的思考幾何的人們。受龐加萊圓盤問題的啟發(fā)，荷蘭版畫家埃舍爾（M.C. Escher，1898 –1972）1958 年一口氣創(chuàng)作了四幅名為“圓的極限”的版畫作品，為龐加萊圓盤鋪排問題的一個絕妙的藝術(shù)體現(xiàn)（圖 3）。

3b) 龐加萊猜想。龐加萊這樣的數(shù)學(xué)家，其思考遠(yuǎn)超自己能解決的問題范圍。1900 年，研究拓?fù)涞凝嫾尤R提出了如下的猜想：“任意單連通的、閉合的 3-流形都與 3-球同胚，即從拓?fù)鋵W(xué)的觀點看，它們是相同的?！彼^ 3-球 S³，就是 x²+y²+z²+w^2=R² 所定義的球。三球具有平凡的基本群（trivial fundamental group），即其上的任意環(huán)都可以收縮為一個點。有趣的是，龐加萊猜想的高維推廣在原初猜想被證實之前就證實了，而龐加萊猜想本身要到 2002、2003 年才由俄國數(shù)學(xué)家佩雷爾曼（Gregori Perelman，1967-）在三篇文章里證明了，2006 年才通過同行評議的認(rèn)可。佩雷爾曼拒絕了因此要授予他的菲爾茲獎以及克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)的大獎，尤其令筆者敬佩。龐加萊猜想位列七個千年數(shù)學(xué)問題之列，其意義不是筆者能置喙的，有興趣的讀者請參閱專業(yè)評論。

4、龐加萊的數(shù)學(xué)物理成就

龐加萊是數(shù)學(xué)家，自然地，針對物理他首先關(guān)注天體物理這個作為物理學(xué)起源的問題。通過萬有引力相互作用的兩體問題有嚴(yán)格的解析解，自然人們想把這個問題推廣到三體問題甚至 n-體問題 (n 是個小的自然數(shù))。1887 年，瑞典國王奧斯卡二世懸賞征求三體問題的解，最后該獎授予了龐加萊。龐加萊沒有解決三體問題，甚至他的論文還包含許多錯誤，但是，龐加萊的論文開啟了天體物理的新時代。龐加萊在論文中首次提出了存在混沌運動的概念?；煦纾╟haos），指一種對初始條件極度敏感的動力學(xué)行為。混動理論如今已經(jīng)成為了一個重要的數(shù)學(xué)分支，并滲透到物理、化學(xué)、社會學(xué)等多門學(xué)科。

龐加萊對物理學(xué)的重大貢獻(xiàn)，體現(xiàn)在他是量子力學(xué)和相對論非同尋常的奠基人上。

4a). 量子力學(xué)。龐加萊對量子力學(xué)的重要貢獻(xiàn)，是他于 1912 年證明了能量量子化是得到普朗克黑體輻射公式的充分必要條件。龐加萊的這個工作，為自 1900 年普朗克用能量量子化假設(shè)，即一定頻率的光其能量為?ν 的整數(shù)倍，得到黑體輻射后物理學(xué)家們理解（擺脫）量子概念的努力劃上了句號。實際上，普朗克一直在努力要證明能量量子化是沒必要的，如果不是錯的，甚至為此得到了零點能等重要概念。直到龐加萊的這個數(shù)學(xué)證明出來，普朗克才消停了，而不是如一般量子力學(xué)文獻(xiàn)所述到了愛因斯坦 1905 年用能量量子化解釋了光電效應(yīng)的實驗結(jié)果就消停了。龐加萊此一工作在眾多的量子力學(xué)教科書中未見有提及。筆者再次重申，從理論嚴(yán)謹(jǐn)性的角度來看，龐加萊的這個論證是不可或缺的，否則能量量子化一直就是個讓人（普朗克）無法放心的假設(shè)。這個證明，是普朗克、愛因斯坦這種數(shù)學(xué)水平的人不可能完成的任務(wù)。從實用的角度來看，它是通往量子統(tǒng)計和固體量子論的橋梁，懂得這個道理后更加容易理解量子統(tǒng)計。愛因斯坦、埃倫費斯特等人在龐加萊此工作的基礎(chǔ)上很快發(fā)展出了固體量子論。

龐加萊在 1911 年開始思考一個問題，是否不引入量子不連續(xù)性也能得到普朗克公式 [Henri Poincaré, Sur la theorie de quanta, J. Phys.2, 5-34 (1912)]？他發(fā)現(xiàn)結(jié)論是否定的。龐加萊分析了振子同原子運動之間的能量分配問題。振子的平均能量和輻射的能量密度關(guān)系是基于隨機(jī)相近似（Random phase approximation）得到的。還是從 Boltzmann 分布開始，若相空間體積元為 dV，則狀態(tài)在此空間里的概率為 e^-E/kTdV，這是統(tǒng)計基本原則。換個表達(dá)，可以表示為能量間隔里的概率，dW=Ce^-E/kTω(E) dE，其中按定義狀態(tài)密度函數(shù) ω(E)=dV / dE，這是能量 E 所包含的相空間體積 V 關(guān)于能量的導(dǎo)數(shù)。龐加萊研究函數(shù)  的性質(zhì)。系統(tǒng)的平均能量為 ；也就是說，平均能量和狀態(tài)密度函數(shù) ω(E) 是通過拉普拉斯變換聯(lián)系起來的。對于經(jīng)典振子，ω(E)=1，則有。若振子的平均能量是 ，則這意味著量子化的能量 nε, n=0, 1, 2, 3,…，因為 ，意味著 ，展開  ，以得到相應(yīng)的狀態(tài)密度函數(shù)  。龐加萊的結(jié)論是，和  形式的平均能量兼容的唯一權(quán)重函數(shù)就是_∞ 。普朗克量子化是普朗克分布公式的充分必要條件。沒有對統(tǒng)計力學(xué)和數(shù)學(xué)的深厚功底，是得不到這種結(jié)果。龐加萊此一工作，表現(xiàn)出了人們感覺迷惑的思維跳躍。其實，在學(xué)問融會貫通的他那里，沒有思維跳躍。我們感覺到跳躍，是因為我們知道的少（這句化自馬赫）。

龐加萊對相對論和量子力學(xué)的貢獻(xiàn)都是奠基性的、一錘定音式的。他對量子化條件作為黑體輻射公式的充分必要條件的一錘定音，其意義不下于強(qiáng)調(diào)洛倫茲變換要構(gòu)成群對狹義相對論的意義！這一點，在物理文獻(xiàn)中竟然長期被忽略了。能夠率先認(rèn)識到這一點，筆者為自己感到驕傲。

4b). 相對論。龐加萊對經(jīng)典力學(xué)的體系非常清楚。作為一個數(shù)學(xué)家，他對歐拉的研究方程之變換不變性應(yīng)該是秒懂的，雖然筆者未見到龐加萊談?wù)撓鄬π裕╮elativisim）一詞的具體文字。龐加萊將相對性原理表述為所有物理現(xiàn)象應(yīng)遵循的原理。與此可相媲美的是居里（Pierre Curie，1859-1906）把對稱性提升為物理研究對象。此外，作為巴黎長度（標(biāo)準(zhǔn)）局的一員，對時鐘，尤其是相互間運動的鐘表的校準(zhǔn)問題，是他長期思考的問題。在 1898 年的“時間測量”一文中，他指出時間只有約定（convention）的意義。

早在 1881 年龐加萊就研究了讓 x²+y²-z²=1 的不變變換，這實際上是 (2,1)-維空間的雙曲幾何，而狹義相對論，就數(shù)學(xué)而言，不過是 (3,1)-維空間的雙曲幾何而已。龐加萊對狹義相對論的關(guān)鍵貢獻(xiàn)是他認(rèn)為洛倫茲變換應(yīng)該構(gòu)成群，這才最終敲定了洛倫茲變換的形式。洛倫茲變換構(gòu)成的群，叫洛倫茲群，而包括了平移的更大的時空變換群則稱為龐加萊群。相對論的數(shù)學(xué)與物理，在龐加萊群中。狹義相對論歸功于愛因斯坦，是因為愛因斯坦從運動鐘表之間的時間同步問題得出了一個微分方程，而該方程的解恰恰就是洛倫茲變換。

龐加萊于 1912 年辭世，廣義相對論是 1915 年底構(gòu)造出來的，但廣義相對論后期津津樂道的引力波概念卻是初見于龐加萊 1905 年的論文（onde gravitique）。加速運動電荷產(chǎn)生電磁波，龐加萊通過類比，提出加速質(zhì)量也許會輻射引力波。關(guān)于這個類比，筆者不敢輕易接受。電荷是極性的存在，正負(fù)電荷的世界追求局域電中性，總和為零的電荷分布有電偶極矩，加速的電荷輻射電磁波。質(zhì)量是非極性的，沒有質(zhì)量偶極矩（dipole）的說法，加速質(zhì)量是否會輻射引力波，沒有理論支持。愛因斯坦后來推導(dǎo)的引力波，是勉強(qiáng)硬湊的，他自己也為此感到不好意思。

龐加萊一直教授物理。他的 électricité et optique（電學(xué)與光學(xué)） 講義，筆者粗略翻翻，發(fā)現(xiàn)里面有很多值得參考的地方。法國人對電學(xué)、光學(xué)的貢獻(xiàn)甚多，其中很多的細(xì)節(jié)，我指的是學(xué)問被創(chuàng)造的細(xì)節(jié)，應(yīng)該加入到我們的教科書中去。

5、思想者、文人龐加萊

龐加萊是思想者。作為一個擁有數(shù)學(xué)、物理背景的哲學(xué)家，他的觀點同羅素羅素（Bertrand Russell，1872-1970）和弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）之?dāng)?shù)學(xué)是邏輯的分支的觀點恰恰相反。龐加萊相信直覺才是數(shù)學(xué)的生命，數(shù)學(xué)不可能從邏輯導(dǎo)出來因為它不是分析的。龐加萊的科學(xué)哲學(xué)被稱為實用偶然主義。我覺得這和龐加萊濃厚的物理背景有關(guān)。就物理學(xué)而言，公理化是結(jié)尾處的努力而不是學(xué)問的來源。

龐加萊推崇約定（Convention）在物理中所扮演重要的角色，故他被認(rèn)為是 conventionalism 的擁躉。他認(rèn)為牛頓第一定律（伽利略的定律）不是經(jīng)驗的，而是力學(xué)的約定的框架假設(shè)；物理空間的幾何也是約定的。物理場的幾何或者如溫度梯度（如果是研究這類問題的話）之類的物理量是可以改變的，可以把空間描述成非歐幾里得幾何的，但也可以將之描述成歐幾里得空間不過其度規(guī)要隨溫度的分布而改變。當(dāng)然啦，人們還是習(xí)慣于歐幾里得幾何的空間。

龐加萊留下了諸多散文集，包括《科學(xué)與假說》《科學(xué)的價值》《科學(xué)與方法》《數(shù)學(xué)與邏輯》《學(xué)者與作家》，等等，都是讀來膾炙人口的佳作?！犊茖W(xué)與方法》是他在法國心理學(xué)會的講座所結(jié)成的集子，其中的思想被總結(jié)為創(chuàng)造與發(fā)明在精神層面包括兩個層次：第一是對問題之可能解的隨機(jī)組合，其二是批判性評價，亦即選擇?！犊茖W(xué)與假說》是 20 世紀(jì)科學(xué)哲學(xué)的經(jīng)典，筆者印象比較深的一句是“Le savant doit ordonner; on fait la science avec des faits comme une maison avec pierres; mais une accumulation de faits n’est plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison . (學(xué)者要做整理的工作。從事實構(gòu)建科學(xué)如同用石頭壘房子，但事實的累積可不是科學(xué)，如同一堆石頭還不是房子。)” 在《科學(xué)的價值》一書里，龐加萊指出數(shù)學(xué)有三重目的，為了研究自然提供工具（Elles doivent fournir un instrument pour étude de la nature），也即物理的目的；此外還有哲學(xué)目的和美學(xué)目的。所謂的哲學(xué)目的，是說應(yīng)該協(xié)助哲學(xué)深化數(shù)字、空間、時間的概念。關(guān)于數(shù)學(xué)的物理目的與美學(xué)目的，龐加萊認(rèn)為我們不可犧牲任何一個，這兩個目的是不可分的，達(dá)成其一的最佳辦法是瞄準(zhǔn)另一個，至少絕不可讓另一個逸出視野 （ces deux buts sont inséparables et le Meilleur moyen d’attendre l’un c’est de viser de l’autre, ou du moins de ne jamais le perdre de vue）。龐加萊說。

在《科學(xué)的價值》一書中更是有許多廣為流傳的佳句，如“Les mathémaques méritent d’être cultivées pour ells-mêmes（數(shù)學(xué)本身就值得耕耘）”；“Aussi l’homme ne peut être heureux par la science, mais aujourd’hui il peut bien moins encore être heureux sans elle (人類不會因為科學(xué)而幸福，但在今天沒有科學(xué)可能就幸福不起來了)”；“Il ne faut donc pas croire que les théories démodées ont été stériles et vaines (不能以為過時的理論從此就是不育的、空洞的)”；“Et puis, pour chercher la vérité, il faut être indépendant, tout à fait independent. ...si nous voulons être forts, it faut que nous soyons unis (為了探求真理，人應(yīng)當(dāng)是獨立的，徹底地獨立?！?如果想是強(qiáng)大的，我們就應(yīng)該是個“一”)”。愿意做科學(xué)的年輕朋友們，不妨仔細(xì)琢磨一下這最后一句。

6、多余的話

龐加萊一生中花了大量的時間用于把他的結(jié)果以及其他的科學(xué)知識予以通俗化（Vulgarization de science）。法語的 Vulgarization de science 可以譯為科學(xué)的通俗化，或科學(xué)的庸俗化，或科學(xué)的低俗化，皆可。具體的實踐到底會落入什么境界，我覺得這取決于當(dāng)事人是什么層面的學(xué)者。龐加萊的科學(xué)通俗化作品在筆者這等半吊子職業(yè)科學(xué)家看來依然是營養(yǎng)豐富的專業(yè)經(jīng)典。在科學(xué)家中間的龐加萊，如同藝術(shù)家中的印象派畫家。他的著作表達(dá)他的思想，但仿佛是在和你討論，時常句子中會冒出短語 “ce n’est pas tout （這不是全部）”。筆者以為，這句話應(yīng)該寫到我們所有的教科書中，告訴讀者們，尤其是學(xué)生們，當(dāng)前表述的根本不是問題的全部，更不是這門學(xué)問的全部。

龐加萊因為寫作極快而被說成是個沒耐心的人（C'était un homme impatient qui écrivait vite），他甚至贏得了一本名為《龐加萊：沒有耐心的人》的傳記，也是沒誰了。寫得快，難免潦草有錯誤，蘿卜快了不洗泥是龐加萊文章的一個特點，這是他被詬病的地方。然而，這也正是創(chuàng)造頭腦的通病 —— 他沒有時間去做那些一流甚至一流以下的學(xué)者的活兒。帕斯卡的 no time to be brief，龐加萊的沒時間修改，都是不愿意把時間花在創(chuàng)造以外的事務(wù)上。一個沉浸于創(chuàng)造的人，必然是個內(nèi)心豐富、外觀無味的人。不過，科學(xué)巨擘的表達(dá)有時也可以是很俏皮的，比如論說外語，龐加萊就說，“…parler les langues étrangères, voyez-vous, c’est vouloir marcher lorsqu’on est boiteux（說外語，就好比腿瘸了還想走路）”（見 la mécanique nouvelle），看到這句我都笑出聲了。

人們會好奇，是什么讓龐加萊成為那么富有創(chuàng)造力的天才的？答案是，天資聰穎、過目不忘以及對科學(xué)問題持久的全力以赴。此外，他還有有能力有意識地忙著一個問題，而潛意識里在忙著另一個問題。龐加萊有能力直擊問題的核心，包括問題的緣起與具體的細(xì)節(jié)。龐加萊讀別人的文章，都是直奔結(jié)果，然后自己構(gòu)造論證過程。他訪問德國哥廷恩時，那里的學(xué)生們都愿意和他討論問題。如果發(fā)現(xiàn)沒有新意，他經(jīng)常性的評論就是“A quoi bon（有啥意思嘛）？”。

在筆者心目中，龐加萊是近神的存在，愛因斯坦和他相比也是黯然失色的。龐加萊首先是個職業(yè)數(shù)學(xué)家，對于所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其實還包括當(dāng)時所有的物理領(lǐng)域，他投身其中，他豐富，他拓展出新的領(lǐng)域。一個人可以在那么廣闊的領(lǐng)域里有那么多那么深刻的創(chuàng)造，真的是匪夷所思。筆者從一開始就放棄了對他作全面介紹的企圖，力有不逮，這也是沒法子的事兒。對龐加萊感興趣的讀者，請自行追加閱讀他的著作或者關(guān)于其人及成就的專著。

作為巨擘型的學(xué)者，龐加萊記憶力超群是無疑的，據(jù)說他是個永不滿足的閱讀者，且過目不忘（Poincaré était un lecteur insatiable et qu'il mémorisait facilement ce qu'il lisait）。和歐拉一樣，龐加萊一生中長時間受視力問題的困擾。但是，因為內(nèi)眼識天，視力差一樣可以做空間的想象，可以沉浸在幾何與拓?fù)涞膹潖澙@里（Il ne dessinait pas très bien, mais faisait preuve de beaucoup d'imagination spatiale grace à une solide vision intérieure, qui lui permettait de se plonger dans les méandres de la géométrie et de la topologie. Poincar′e was an explorer and adventurer, but of the jungles, deserts, and mountains of the spirit. He made fantastic journeys, but all those adventures took place in his mind.）龐加萊的這種心算能力，我指的是不動紙筆就能進(jìn)行數(shù)學(xué)的前沿探索，殊為罕見。我個人認(rèn)為，過目不忘，內(nèi)眼識天，這種能力是天賦，但我們俗人也不妨專門訓(xùn)練訓(xùn)練一回，那肯定也是有益的。不過，把心算理解為整數(shù)加乘這種小孩子玩意兒就不必了。對于職業(yè)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的培養(yǎng)，下盲棋訓(xùn)練庶幾可用作入門教程，能盲推龐加萊猜想的證明者可以準(zhǔn)予畢業(yè)。

龐加萊因其超常智力、學(xué)問淵博、成就斐然而傲立于科學(xué)家的世界。有評論認(rèn)為作為科學(xué)家龐加萊自成一類（Henri Poincaré was in a class by himself）。這樣的人，獨自一人，源源不斷地為人類帶來那么多的新知。研究對他來說完全是私人的生活方式。由此觀之，所謂的“大抵學(xué)問是荒江野老屋中二三素心人商量培養(yǎng)之事”，一下子就暴露了錢鐘書先生所指的學(xué)問肯定不是龐加萊所擁有的那種具有普遍意義的學(xué)問。即便是素心人，三個人湊一起最恰當(dāng)?shù)氖聵I(yè)也是斗地主而不是做學(xué)問。指望拉幫結(jié)伙開大會去思考最前沿的科學(xué)問題，想想都覺得滑稽。

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• [14] Henri Poincaré, Sur la dynamique de l’ electron, Comptes Rendues 140, 1504-1508(1905).

• [15] Henri Poincaré, Sur la dynamique de l’ electron, Rend. Circ. Matem. Palermo  21, 129-175(1906).

• [16] Henri Poincaré, Les Géométries non-euclidiennes, Revue générale des Sciences pures et appliquées 2, 769-774 (1891).

本文選自《磅礴為一》

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