卡爾?弗里德里希?高斯（1777~1855）是一個(gè)神童。19 歲差一個(gè)月的他作出了一項(xiàng)非凡的發(fā)現(xiàn)。2000 多年以來(lái)，人們知道如何用直尺和圓規(guī)作等邊三角形和正五邊形（還有其他的正多邊形，其邊數(shù)是 2、3、5 的倍數(shù)），但不知道如何作出邊數(shù)為素?cái)?shù)的正多邊形。高斯證明，正七邊形也能用直尺和圓規(guī)作出。
高斯通過(guò)寫(xiě)日記來(lái)紀(jì)念他的發(fā)現(xiàn)，在接下來(lái)的 18 年里，他在這本日記中記下了他的很多發(fā)現(xiàn)。他還是一個(gè)學(xué)生的時(shí)候就獲得了很多成功。其中有一些是對(duì)歐拉、拉格朗日及其他 18 世紀(jì)數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明的定理的重新發(fā)現(xiàn)；有很多是新發(fā)現(xiàn)。在他學(xué)生時(shí)代的更重要的發(fā)現(xiàn)中，我們可以挑出最小平方法、數(shù)論中二次互反律的證明，以及他對(duì)代數(shù)基本定理的研究。他獲得了博士學(xué)位，學(xué)位論文的標(biāo)題是《關(guān)于所有含一個(gè)變量的有理代數(shù)整函數(shù)都能分解為一次或二次實(shí)因子的定理的新證明》。這是他一生中所發(fā)表的代數(shù)基本定理的 4 個(gè)證明當(dāng)中的第一個(gè)，在這篇論文中，高斯強(qiáng)調(diào)了在證明這個(gè)定理的過(guò)程中證實(shí)至少有一個(gè)根的重要性。下面的說(shuō)明可以顯示他的思路。
我們可用圖示的方法解方程
證明存在一個(gè)復(fù)數(shù)值 z=a+bi 滿足這個(gè)方程。用 a+bi 取代 z，并分開(kāi)方程中的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，我們就得到 a^2-b^2=0 和 ab-2=0。把 a 和 b 解釋為變量，并在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出這些函數(shù)，一個(gè)坐標(biāo)軸代表實(shí)數(shù)部分 a，另一個(gè)坐標(biāo)軸代表虛數(shù)部分 b，我們就有了兩條曲線；一條由直線 a+b=0 和 a-b=0 構(gòu)成，另一條由等軸雙曲線 ab=+2 構(gòu)成。
很顯然，這兩條曲線有一個(gè)交點(diǎn) P 在第一象限。我們應(yīng)該特別注意，第一條曲線的一條分支沿著 θ=1π/4 和 θ=3π/4 的方向離開(kāi)原點(diǎn)；第二條曲線的一條分支漸近地向著 θ=0π/4 和 θ=2π/4 的方向移動(dòng)；交點(diǎn)在最后兩個(gè)方向 θ=0 和 θ=π/2 之間。這個(gè)交點(diǎn)的 a 和 b 的坐標(biāo)是方程 z^2-4i=0 的一個(gè)解的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分。假如我們最初的多項(xiàng)式方程是三次而不是二次，則一條曲線的一根分支就會(huì)趨近于 θ=1π/6 和 θ=3π/6 的方向，另一條曲線就會(huì)趨近于 θ=0π/6 和 θ=2π/6 的方向。在每一種情況下這些分支都是連續(xù)的，因此，它們一定要相交于 θ=0 至 θ=π/3 之間的某個(gè)地方。
對(duì)于一個(gè) n 次方程來(lái)說(shuō)，一條曲線的一根分支有漸近方向 θ=1π/2n 和 θ=3π/2n，而另一條曲線的分支有漸近方向 θ=0π/2n 和 θ=2π/2n。這些分支必定相交于從 θ=0 至 θ=π/n 之間，這個(gè)交點(diǎn)的 a 和 b 的坐標(biāo)，就是滿足這個(gè)方程的復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分。因此我們看到，不管一個(gè)多項(xiàng)式方程的次數(shù)是幾，它必定至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。我們會(huì)注意到，高斯依靠這些曲線的圖示來(lái)證明它們相交。承認(rèn)這個(gè)結(jié)果，多項(xiàng)式方程可以分解為一次或二次實(shí)因子也就得到了證明。
數(shù)論
高斯在他還是哥廷根大學(xué)的一名學(xué)生的時(shí)候，就開(kāi)始撰寫(xiě)一部重要的數(shù)論著作 ——《算術(shù)研究》，是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的偉大經(jīng)典之一，在他的博士論文通過(guò)兩年之后出版。此書(shū)由 7 個(gè)部分組成。前 4 個(gè)部分本質(zhì)上是對(duì) 18 世紀(jì)數(shù)論的濃縮重構(gòu)。討論的基本原則是同余和剩余類的概念。第 5 部分致力于二元二次型理論，特別是形如
的方程的解的問(wèn)題；這一部分所發(fā)展出來(lái)的技術(shù)，成了后來(lái)一代代數(shù)論學(xué)家所做的大量工作的基礎(chǔ)。第 6 部分由各種不同的應(yīng)用所組成。最后一部分起初吸引了最多的關(guān)注，處理的是次數(shù)為素?cái)?shù)的割圓方程的解。
高斯把勒讓德在兩年前發(fā)表的二次互反律稱作黃金定律。在后來(lái)的作品中，高斯試圖得出同余式 x^n=p (modq) 對(duì)于 n=3 和 4 的類似定理；但對(duì)這兩種情況，他發(fā)現(xiàn)有必要把“整數(shù)”這個(gè)詞的意義擴(kuò)大到包括所謂的高斯整數(shù)，亦即形如 a+bi 的整數(shù)，式中，a 和 b 都是整數(shù)。高斯整數(shù)構(gòu)成了一個(gè)整環(huán)，像實(shí)整數(shù)整環(huán)一樣，但更一般?？烧缘膯?wèn)題變得更復(fù)雜，因?yàn)?5 不再是一個(gè)素?cái)?shù)，可分解為兩個(gè)“素?cái)?shù)”1+2i 和 1-2i 的乘積。事實(shí)上，任何形如 4n+1 的實(shí)素?cái)?shù)都不是“高斯素?cái)?shù)”，而形如 4n-1 的實(shí)素?cái)?shù)依然是一般化意義上的素?cái)?shù)。在高斯的《算術(shù)研究》中，包括了算術(shù)基本定理，它是在高斯整數(shù)的整環(huán)中繼續(xù)有效的基本原理之一。事實(shí)上，任何一個(gè)因子分解是唯一的整環(huán)今天都被稱作高斯整環(huán)?！端阈g(shù)研究》的貢獻(xiàn)之一是下面這個(gè)定理的證明，這個(gè)定理自歐幾里得時(shí)代以來(lái)就被人所知：
任何一個(gè)正整數(shù)都可以用一種、且只能用一種方式表示為素?cái)?shù)的乘積。
高斯關(guān)于素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)，并沒(méi)有全都包含在《算術(shù)研究》中。在他還是一個(gè) 14 歲的孩子時(shí)，高斯就在一張對(duì)數(shù)表的背面，用德文寫(xiě)下了這樣一行隱晦的文字：
這行文字說(shuō)的是一個(gè)著名的素?cái)?shù)定理：小于給定整數(shù) a 的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)在 a 無(wú)窮遞增時(shí)趨近于 a / lna。
正如我們已經(jīng)看到的那樣，勒讓德曾經(jīng)接近于預(yù)先發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理；但奇怪的是，正如我們所推測(cè)的那樣，高斯寫(xiě)下了這個(gè)定理，但他一直對(duì)這個(gè)巧妙的結(jié)論保守秘密。我們不知道他是否證明了這個(gè)定理，甚至也不知道他何時(shí)寫(xiě)下了這個(gè)定理的陳述。素?cái)?shù)的分布對(duì)數(shù)學(xué)家有著強(qiáng)烈的吸引力。
1845 年，當(dāng)高斯已經(jīng)是個(gè)老人的時(shí)候，巴黎的一位教授約瑟夫?L.F.貝特朗提出了這樣一個(gè)猜想：如果 n>3，那么，在 n 與 2n（或者更準(zhǔn)確地說(shuō)是 2n-2）之間至少包括一個(gè)素?cái)?shù)。這個(gè)猜想被稱作貝特朗公設(shè)，在 1850 年被圣彼得堡大學(xué)的帕夫努蒂?切比雪夫所證明。切比雪夫作為他那個(gè)時(shí)代首屈一指的俄國(guó)數(shù)學(xué)家，是羅巴切夫斯基的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，他后來(lái)成了法蘭西科學(xué)院和英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的外籍院士。切比雪夫明顯不知道高斯論述素?cái)?shù)的作品，他能夠證明，如果 π(n)(lnn)/n 在 n 無(wú)窮遞增時(shí)趨近于一個(gè)極限，那么，這個(gè)極限必定是 1；但他不能證明一個(gè)極限的存在。直到切比雪夫去世兩年之后，一個(gè)證明才廣為人知。
關(guān)于素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)和分布的問(wèn)題，從歐幾里得時(shí)代迄至今日，讓很多數(shù)學(xué)家神魂顛倒。有一個(gè)定理，高斯本人在《算術(shù)研究》中給出了一個(gè)驚人的實(shí)例，說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí)：素?cái)?shù)的屬性甚至以最出人意料的方式侵入了幾何學(xué)的領(lǐng)域。
高斯在《算術(shù)研究》的結(jié)尾部分，收入了他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域作出的最早的重要發(fā)現(xiàn)：正七邊形的作法。他通過(guò)證明無(wú)窮多種可能的正多邊形中哪些能作出、哪些不能作出，從而把這一課題帶向了其邏輯結(jié)果。一般性的定理，比如高斯眼下所證明的，遠(yuǎn)比一個(gè)特例更有價(jià)值，不管這個(gè)特例多么壯觀。我們應(yīng)該還記得，費(fèi)馬曾經(jīng)相信，形如
的數(shù)是素?cái)?shù)，歐拉后來(lái)證明這個(gè)假說(shuō)是錯(cuò)誤的。高斯已經(jīng)證明了，正 17 邊形是可以作出的，問(wèn)題自然出現(xiàn)了：正 257 邊形和正 65537 邊形是否可以用歐幾里得的工具作出。在《算術(shù)研究》中，高斯對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答是肯定的，他證明了，只要 N 是
的形式 (式中，m 是任一正整數(shù)，pn 是不同的費(fèi)馬素?cái)?shù))，那么，正 N 邊形就可以做出。這個(gè)問(wèn)題還剩下一個(gè)方面高斯沒(méi)有回答，而且迄今為止沒(méi)有人作出回答，這就是：
費(fèi)馬素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)限？
我們已經(jīng)知道，對(duì)于 n=5、6、7、8 和 9 來(lái)說(shuō)，費(fèi)馬數(shù)不是素?cái)?shù)，但看來(lái)很有可能，有且只有 5 種可以用直尺和圓規(guī)作出的邊數(shù)為素?cái)?shù)的正多邊形，其中兩種在古代已經(jīng)知道，另外三種是高斯發(fā)現(xiàn)的。有一個(gè)高斯很贊賞的人，就是柏林的數(shù)學(xué)教師費(fèi)迪南德?戈特霍爾德?愛(ài)森斯坦，他補(bǔ)充了一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的新猜想，當(dāng)時(shí)，他大膽提出了一個(gè)迄今為止尚未得到證明的想法：形如
等等的數(shù)是素?cái)?shù)。據(jù)說(shuō)，高斯曾發(fā)表這樣的評(píng)論：“只有三個(gè)劃時(shí)代的數(shù)學(xué)家：阿基米德、牛頓和愛(ài)森斯坦?！笨上?ài)森斯坦在不到 30 歲的時(shí)候便去世了。
高斯的《算術(shù)研究》一直處于沉睡狀態(tài)，直至 1820 年代，C.G.J.雅可比和狄利克雷第一次揭示出，一些更深刻的結(jié)果正是源自于這部著作。
高斯對(duì)天文學(xué)的貢獻(xiàn)
1801 年 1 月 1 日，巴勒莫天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)喬賽普?皮亞齊發(fā)現(xiàn)了新的小行星谷神星；但幾個(gè)星期之后，這顆小行星便看不見(jiàn)了。高斯相信，自己有非同尋常的計(jì)算能力，還有最小平方法的額外優(yōu)勢(shì)，于是他接受了挑戰(zhàn)，要從這顆行星少量記錄在案的觀測(cè)數(shù)據(jù)中，計(jì)算出其運(yùn)行軌道。為了完成從有限觀測(cè)數(shù)據(jù)中計(jì)算運(yùn)行軌道的任務(wù)，他設(shè)計(jì)出了一種方法，被稱作高斯法，至今依然被用來(lái)追蹤衛(wèi)星。結(jié)果是一次引人矚目的成功，這顆行星在這年年底被重新發(fā)現(xiàn)，跟他計(jì)算出的位置非常接近。高斯的軌道計(jì)算吸引了世界各國(guó)天文學(xué)家的關(guān)注，很快就使他在德國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)家中贏得了突出聲望，當(dāng)時(shí)，他們當(dāng)中大多數(shù)人都從事天文學(xué)和測(cè)地學(xué)活動(dòng)。1807 年，他被任命為哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，他保有這個(gè)職位將近半個(gè)世紀(jì)。兩年后，他論述理論天文學(xué)的經(jīng)典著作《天體運(yùn)動(dòng)論》出版。這本書(shū)為軌道計(jì)算提供了一份清晰的指導(dǎo)，到他去世的時(shí)候，已經(jīng)被翻譯成英文、法文和德文。
然而，軌道計(jì)算并不是高斯為自己贏得名聲并為后代鋪平道路的唯一的天文學(xué)領(lǐng)域。19 世紀(jì)的頭十年里，他的很多時(shí)間花在了研究攝動(dòng)問(wèn)題上。在高斯的好友、希?威爾海姆?奧伯斯于 1802 年重新發(fā)現(xiàn)了小行星智神星之后，攝動(dòng)問(wèn)題成為天文學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn)。智神星的偏心率相對(duì)較大，尤其受到其他行星（像木星和土星）的引力的影響。確定這些引力的影響，是 n 體問(wèn)題（歐拉和拉格朗日曾對(duì) n=2 或 3 的情況進(jìn)行過(guò)研究）的一個(gè)特例。
高斯從早年起就有意識(shí)地追蹤這兩位天才的足跡，對(duì)他來(lái)說(shuō)，找出最近似解法這個(gè)難題尤其引人入勝。盡管他認(rèn)為，他的成果當(dāng)中只有一部分達(dá)到了公開(kāi)發(fā)表的質(zhì)量，但他對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究，不僅導(dǎo)致了一些天文學(xué)論文，而且還有兩篇經(jīng)典論文，一篇是無(wú)窮級(jí)數(shù)，另一篇是數(shù)值分析的一種新方法。前一篇論文在 1812 年提交給了哥廷根協(xié)會(huì)，致力于研究超幾何級(jí)數(shù)。因?yàn)檫@篇論文中所提出的收斂準(zhǔn)則，常常被認(rèn)為是開(kāi)辟了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)性的新時(shí)代。然而，應(yīng)該指出的是，對(duì)收斂性的更深刻的理解，并沒(méi)有阻止高斯和當(dāng)時(shí)其他偉大的數(shù)學(xué)家在解決物理問(wèn)題時(shí)使用發(fā)散級(jí)數(shù)，只要他們認(rèn)為自己能夠“有把握地”這樣做就行。
微分幾何的肇始
高斯在 1827 年開(kāi)始的幾何學(xué)分支被稱作微分幾何，它大概更多地屬于分析學(xué)，而不是屬于傳統(tǒng)的幾何學(xué)領(lǐng)域。自牛頓和萊布尼茨時(shí)代以來(lái)，人們一直把微積分應(yīng)用于二維空間的曲線研究，在某種意義上，這項(xiàng)工作構(gòu)成了微分幾何的雛形。歐拉和蒙日把這一應(yīng)用擴(kuò)大到了對(duì)曲面的解析研究；因此，他們有時(shí)候被認(rèn)為是微分幾何之父。然而，直到高斯的經(jīng)典論著《曲面的一般研究》出版，才有了一部完全專注于這一課題的綜合性著作。粗略說(shuō)來(lái)，正統(tǒng)幾何學(xué)感興趣的是一個(gè)給定幾何圖形的整體，而微分幾何關(guān)注的是一條曲線或一個(gè)曲面在其上的一點(diǎn)的鄰近區(qū)域的屬性。在這個(gè)方向上，高斯通過(guò)定義一個(gè)曲面在一點(diǎn)上的曲率 ———“高斯曲率”或“總曲率”——— 從而擴(kuò)展了惠更斯和克萊羅在一條平面曲線或非對(duì)稱曲線的曲率上所做的工作。
如果通過(guò)一個(gè)良態(tài)曲面 S 上的一點(diǎn) P 作 S 的法線 N，則通過(guò) N 的平面束將會(huì)跟曲面 S 相交于一簇平面曲線，其中每一條曲線都有一個(gè)曲率半徑。有著最大曲率半徑和最小曲率半徑 (R 和 r) 的曲線的方向，被稱作 S 在點(diǎn) P 上的主方向，它們始終互相垂直。R 和 r 的量值被稱作 S 在點(diǎn) P 上的主曲率半徑，S 在點(diǎn) P 上的高斯曲率被定義為 K=1 / rR。量值為
被稱作 S 在點(diǎn) P 上的平均曲率。高斯給出了根據(jù)曲面對(duì)于不同坐標(biāo)系（曲線坐標(biāo)系和笛卡爾坐標(biāo)系）的偏導(dǎo)數(shù)的條件求高斯曲率 K 的公式；他還發(fā)現(xiàn)了一些關(guān)于在曲面上畫(huà)出的曲線簇（比如測(cè)地線）的屬性的定理，就連他也認(rèn)為是“引人注目的定理”。
高斯通過(guò)使用歐拉提出的一個(gè)曲面的參數(shù)方程，開(kāi)始對(duì)曲面的處理。高斯證明了，一個(gè)曲面的屬性僅依賴于 E、F 和 G。
這導(dǎo)致了很多的結(jié)果。特別是，它使得我們很容易說(shuō)，曲面的屬性是恒定的。正是在高斯的這一工作的基礎(chǔ)上，黎曼及后來(lái)的幾何學(xué)家轉(zhuǎn)變了微分幾何的主題。
高斯的晚期工作
高斯晚期研究貢獻(xiàn)了兩篇重要的短文：一篇是“代數(shù)中哈里奧特定理”的證明，另一篇包含了高斯的最小約束原理。歷史學(xué)家常常引用第一篇論文（發(fā)表于 1832 年），因?yàn)樗烁咚沟膹?fù)數(shù)的幾何表示。這篇論文作為整體的重要性在于下面這個(gè)事實(shí)：它指出了一條道路，可以把數(shù)論從實(shí)數(shù)擴(kuò)大到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，甚至更遠(yuǎn)。正如上文已經(jīng)指出的那樣，這在數(shù)論領(lǐng)域后來(lái)研究者的工作當(dāng)中是至關(guān)重要的。
高斯在他生命的最后 20 年里，只發(fā)表了兩篇有數(shù)學(xué)意義的重要論文。一篇是他對(duì)代數(shù)基本定理的第四個(gè)證明，這個(gè)證明是他在 1849 年自己的博士周年紀(jì)念的時(shí)候發(fā)布的，距離他發(fā)表第一個(gè)證明已經(jīng)時(shí)隔 50 年。另外是一篇關(guān)于位勢(shì)理論的很有影響論文，發(fā)表于 1840 年。地磁學(xué)問(wèn)題在 19 世紀(jì) 30 年代和 40 年代早期占了他的很多時(shí)間；在 30 年代晚期，他還投入了不少時(shí)間研究跟重量和度量有關(guān)的問(wèn)題。他生命中最后十年的大部分出版物跟天文臺(tái)的工作有關(guān)；涉及到課題有：新發(fā)現(xiàn)的小行星、對(duì)海王星的觀測(cè)。
1855 年 2 月 23 日，高斯死于心臟病發(fā)作。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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