數(shù)學(xué)界的多年難題 —— 周期性密鋪猜想，被陶哲軒和 Rachel Greenfeld 攻破了。
幾何學(xué)中的「周期性密鋪猜想」，被陶哲軒推翻了。
幾年前，數(shù)學(xué)家證明了，無論你想出的密鋪多么復(fù)雜或巧妙，如果只能對單個(gè)密鋪使用平移，那么就不可能設(shè)計(jì)出一個(gè)只能非周期性地覆蓋整個(gè)平面的密鋪。
數(shù)學(xué)家們推測，這樣結(jié)果也適用于高維空間。
這個(gè)假設(shè)被稱為周期性密鋪猜想。
但現(xiàn)在，陶哲軒等人通過構(gòu)造了一個(gè)可以非周期地填充高維空間，但不能周期性地填充高維空間的密鋪，推翻了這個(gè)猜想。
論文地址：https://arxiv.org/ abs / 2211.15847
什么是周期性密鋪猜想？
密鋪問題，可以說是幾何學(xué)中最古老，也是最經(jīng)典的問題。
所謂「密鋪」，即是指平面圖形的鑲嵌。
換句話說，就是用形狀、大小完全相同的平面圖形進(jìn)行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片。
在密鋪問題中，用正方形、三角形或六邊形去覆蓋一片空間很容易。
但是，在 1960 年代，數(shù)學(xué)家 Robert Berger 發(fā)現(xiàn)了一組有趣的密鋪，它們可以完全覆蓋平面，但只能以永不重復(fù)的方式覆蓋。
作為第一組非周期性密鋪，它由 20,426 個(gè)平面圖形組成。當(dāng)然，Berger 很快將其減少到 104 個(gè)。
在此之后，數(shù)學(xué)家們的努力方向就是：降低這個(gè)數(shù)字。
如今，最著名的就是 Penrose 在 20 世紀(jì) 70 年代發(fā)現(xiàn)的非周期性密鋪，它只用兩種圖形就能覆蓋一個(gè)平面：風(fēng)箏和飛鏢。
如何想出不重復(fù)的密鋪呢？這并不難。
通過調(diào)整許多重復(fù)的周期性密鋪，都可以做到。
比如，在一個(gè)形如棋盤排列的無限方格中，我們對每一行都進(jìn)行移動(dòng)，使其與上面一行有明顯的偏移。
訣竅就在于，找到一組可以覆蓋整個(gè)平面的鑲嵌，只不過是用不重復(fù)的方式進(jìn)行。
既然 Penrose 已經(jīng)把密鋪圖形數(shù)量降到了兩塊，那么，有沒有可能，有這么一塊形狀巧妙的圖形，也可以組成密鋪？
答案是肯定的，但前提是你可以對圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和顛倒。
但如果規(guī)定：不允許旋轉(zhuǎn)圖形，那就不可能不留空隙。
在幾年前，數(shù)學(xué)家 Siddhartha Bhattacharya 就證明了，無論我們想出多么復(fù)雜、多么微妙的密鋪圖形，但如果規(guī)定，只能使用單個(gè)密鋪的位移或平移，那么就不可能設(shè)計(jì)出一個(gè)只能非周期性地覆蓋整個(gè)平面的密鋪。
也就是說，如果對一個(gè)形狀在填充空間時(shí)施加足夠的限制，就可以迫使一個(gè)周期性的模式出現(xiàn)。
論文地址：https://arxiv.org/ abs / 1602.05738
數(shù)學(xué)家推測，Bhattacharya 的二維結(jié)果也適用于高維空間。
他們猜測：正如不存在非周期性二維圖形一樣，也不存在合適的三維（或更復(fù)雜）的圖形，同理可以推廣到任意大的維度之中。
這個(gè)假設(shè)被稱為周期性密鋪（periodic tiling）猜想。
這個(gè)猜想，被陶哲軒等人打破
但是他們錯(cuò)了。
在上個(gè)月發(fā)布的預(yù)印本中，陶哲軒和 Rachel Greenfeld 一同最終推翻了這個(gè)猜想。
不同的是，他們用的卻不是數(shù)學(xué)家們通常預(yù)期的方式。
他們的方式是：構(gòu)建了一個(gè)可以非周期性填充高維空間，但不能周期性填充的密鋪。
而對此，有其他數(shù)學(xué)家推斷：他們的結(jié)論，在所有維度上，或許都是正確的。
數(shù)學(xué)家 Mihalis Kolountzakis 說：「這真是一個(gè)驚喜，我希望這個(gè)猜想在所有維度上都是正確的。不過，在足夠高的維度上，只憑直覺的話，恐怕不會(huì)走得太遠(yuǎn)?！?/p>
陶哲軒等人的工作，不僅突破了幾何上可能和不可能的界限，甚至還延申到了幾何以外的問題 —— 邏輯本身的極限。
2019 年，Rachel Greenfeld 以博士后研究員的身份，來到加州大學(xué)洛杉磯分校。
此前，陶哲軒和她都一直在獨(dú)立研究另一個(gè)與平移密鋪（translational tilings）相關(guān)的問題。隨后，兩人將目光投向了周期性密鋪猜想。
此前，這個(gè)猜想在一維和二維中已經(jīng)為人所知，而他們試圖在三維上證明這個(gè)猜想 —— 如果可以移動(dòng)某個(gè)形狀的三維版本來密鋪整個(gè)三維空間，那么，一定有一種方法，可以周期性地密鋪整個(gè)三維空間。
陶哲軒和 Rachel Greenfeld 取得了一些進(jìn)展，通過一些技巧，他們在二維中重新證明了這個(gè)猜想。
然而，當(dāng)他們希望把同樣的技巧應(yīng)用于三維空間時(shí)，卻碰壁了。
陶哲軒說：「在某些時(shí)候，我們感到很沮喪，所以不得不這樣想：好吧，也許我們無法在更高維度上證明這個(gè)猜想，是有原因的。我們應(yīng)該開始尋找反例?！?/p>
他們開始著手梳理所有非周期性領(lǐng)域的文獻(xiàn)。
他們從歷史上第一個(gè)文獻(xiàn)開始 ——1964 年出版的 20,000 多塊密鋪的集合，可以通過位移（translation）覆蓋平面，但只是非周期性的。
從這里，他們開始著手新的技巧，來構(gòu)建單個(gè)非周期性的密鋪。
他們的思路是：改變環(huán)境。
如果想密鋪一個(gè)二維空間，那么，與其嘗試密鋪一個(gè)連續(xù)平面，不如考慮密鋪一個(gè)二維網(wǎng)格 —— 也就是一個(gè)排列在網(wǎng)格中的無限點(diǎn)陣列。
可以將密鋪定義為，該網(wǎng)格上的一組有限點(diǎn)。如果有一個(gè)合適的密鋪，那么就可以通過復(fù)制有限的點(diǎn)集，并將它們四處滑動(dòng)，來精確覆蓋網(wǎng)格中的每個(gè)點(diǎn)。
證明高維網(wǎng)格的「離散」周期性密鋪猜想，與證明這個(gè)猜想的連續(xù)版本略有不同，因?yàn)橛行┟茕佋诟褡又惺强赡艿?，但在連續(xù)空間中是不可能的。
但是，這兩個(gè)猜想是相關(guān)的。陶哲軒和 Greenfeld 希望提出一個(gè)離散的反例，隨后再修改這個(gè)證明，讓它適用于連續(xù)的情況。
在 2021 年夏天，他們終于逼近了目標(biāo) —— 在一個(gè)超高維空間中，他們找到了兩塊密鋪。
這兩塊密鋪，可以填充它們所在的空間，但不是周期性的。
論文地址：https://arxiv.org/ abs / 2108.07902
「這還不夠，」Greenfeld 說?！付叻浅＝咏?，但兩塊密鋪比一塊密鋪更不牢固，剛性要差得多?！?/p>
他們還需要一年半的時(shí)間，才能為周期性密鋪猜想，構(gòu)建出一個(gè)真正的反例。
密鋪三明治
他們從創(chuàng)建一種新語言開始 —— 把要解決的問題，以一種特殊的方程式重寫出來。
他們需要解決的，就是這個(gè)方程式中的未知「變量」，它們代表了密鋪高維空間的所有可能方式。
「但是，其實(shí)你很難用一個(gè)方程式來描述事物，」陶哲軒說?！赣袝r(shí)，你需要多個(gè)方程，來描述一個(gè)非常復(fù)雜的空間集合?！?/p>
因此，陶哲軒和 Greenfeld 重新構(gòu)建了他們試圖解決的問題。
他們意識(shí)到，可以改為設(shè)計(jì)一個(gè)方程組，其中每個(gè)方程都會(huì)對其解編碼有不同的約束。
這樣，他們就可以將問題分解為一個(gè)關(guān)于許多不同密鋪的問題 —— 在這個(gè)例子中，所有密鋪都使用同一組位移（translation）覆蓋給定空間。
例如，在二維空間中，可以通過向上、向下、向左或向右滑動(dòng)一個(gè)正方形來密鋪平面，一次一個(gè)單位。
但是其他形狀也可以使用完全相同的一組位移來密鋪平面：例如，一個(gè)正方形的右邊緣添加了一個(gè)凸起，左邊緣被移除，就像拼圖一樣。
如果我們用一個(gè)正方形、一塊拼圖和其他使用同一組位移的圖塊，像三明治中的冷切一樣，將它們堆疊在一起，就可以構(gòu)建出一個(gè)使用單組平移覆蓋三維的圖塊空間。
而陶哲軒和 Greenfeld，需要在更多維度上做到這一點(diǎn)。
「因?yàn)闊o論如何，我們都是在高維度上工作，所以增加一個(gè)維度，對我們也沒有什么壞的影響，」陶哲軒說。
相反，增加一個(gè)維度，為他們提供了額外的靈活性。
他們試圖扭轉(zhuǎn)這種三明治的構(gòu)建過程，將單方程、高維密鋪問題，重寫為一系列較低維度的密鋪方程。
這些方程式，就決定了之后的高維密鋪結(jié)構(gòu)的樣子。
就如之前陶哲軒所說：「只要你有兩塊密鋪，它們就可以組合成非常復(fù)雜的東西?！?/p>
陶哲軒和 Greenfeld 將方程式系統(tǒng)視為計(jì)算機(jī)程序：每一行代碼或方程式都是一個(gè)命令，這些命令組合起來，就可以生成實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的程序。
陶哲軒表示：「邏輯電路是由非?；镜膶ο蠼M成的，這些與門和或門，單看都不是很有趣?！?/p>
「但你可以將它們堆疊在一起，制作出一個(gè)可以繪制正弦波，或者在互聯(lián)網(wǎng)上通信的電路?！?/p>
「所以，我們開始將這個(gè)問題，視為一種編程問題。」
每個(gè)命令，都是他們的最終密鋪需要滿足的不同屬性，因此，整個(gè)程序需要保證，符合所有標(biāo)準(zhǔn)的任何密鋪，必須是非周期性的。
這樣，問題就變成了：在所有密鋪方程中，需要編碼什么樣的屬性，才能實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)？
例如，三明治的一層中的一塊密鋪的形狀，可能只允許某些類型的運(yùn)動(dòng)。
陶哲軒和 Greenfeld 必須仔細(xì)地建立約束列表 —— 這樣它就不會(huì)嚴(yán)格到排除任何解決方案，但是足以給出足夠的限制，來排除所有周期性的解決方案。
「游戲的關(guān)鍵是，要構(gòu)建正確的約束級別，以編碼正確的謎題?！笹reenfeld 說。
無限數(shù)獨(dú)
陶哲軒和 Greenfeld 希望，用他們的密鋪方程編程的拼圖，是一個(gè)具有無限行數(shù)和大量和有限列的網(wǎng)格。
對兩人來說，這是一個(gè)巨大的數(shù)獨(dú)謎題：用特定的數(shù)字序列填充拼圖的每一行和對角線，這些數(shù)字序列對應(yīng)于他們可以用密鋪方程描述的各種限制。
然后，兩人發(fā)現(xiàn)了非周期性的序列 —— 這意味著相關(guān)密鋪方程組的解也是非周期性的。
「這個(gè)謎題基本上只有一個(gè)解。有趣的是，這是一個(gè)概周期解（almost periodic），」陶哲軒說?！肝覀兓撕荛L時(shí)間才發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)?！?/p>
英屬哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Izabella ?aba 說：「概周期函數(shù)并非數(shù)學(xué)中的新概念，但這確實(shí)是概周期函數(shù)的創(chuàng)新用法?！?/p>
正如 Iosevich 所說，陶哲軒和 Greenfeld「創(chuàng)造了一個(gè)基礎(chǔ)物體，并將其抬高到一個(gè)極其復(fù)雜的境界?！?/p>
根據(jù)概周期函數(shù)，陶哲軒和 Greenfeld 在離散場景和連續(xù)場景中構(gòu)建了一個(gè)高維非周期性平面圖形。
設(shè)計(jì)的平面圖形十分復(fù)雜，充滿曲折和孔洞，以至于幾乎沒有密鋪空間。
陶哲軒和 Greenfeld 沒有計(jì)算它所居住的空間的維度。他們只知道它很大，大約有 2 的 100 次方的 100 次方（或者 3 后面跟 199 個(gè)零）那么大！
「我們的證明是建設(shè)性的，所以一切都是明確的和可計(jì)算的，」Greenfeld 說?！傅且?yàn)樗x最佳狀態(tài)非常非常遠(yuǎn)，所以我們并沒有進(jìn)行驗(yàn)證?！?/p>
二人認(rèn)為可以在更低維度找到非周期性平面圖形，這是因?yàn)樗麄兊慕?gòu)中，一些更具技術(shù)性的部分需要在概念上「非常接近二維」的空間中完成。
她不認(rèn)為他們會(huì)找到一個(gè)三維平面圖形，但她說四維圖形可能存在。因此，Iosevich 說，他們不僅反駁了周期性密鋪猜想，還「以最打臉的方式做到了這一點(diǎn)?！?/p>
下一步：嘗試不完備理論
陶哲軒和 Greenfeld 的研究，為構(gòu)建非周期性密鋪提供了新方法，二人認(rèn)為該方法可以用于反駁其他密鋪相關(guān)的猜想。
這項(xiàng)工作不僅觸及了人類直覺，還涉及數(shù)學(xué)推理的邊界。
上世紀(jì) 30 年代，數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼?哥德爾（Kurt G?del）提出了著名的哥德爾不完備理論。
哥德爾提出，自然數(shù)系統(tǒng)內(nèi)「自洽性」和「完備性」不可兼得：有些命題在該系統(tǒng)中既不能被證明也不能被證偽。只能放棄一個(gè)，保全另一個(gè)，有點(diǎn)魚和熊掌不可兼得的意思。
同樣，數(shù)學(xué)有許多計(jì)算上不可解的問題，即任何算法在有限的時(shí)間內(nèi)都無法解決的問題。
數(shù)學(xué)家在 1960 年代發(fā)現(xiàn)，關(guān)于密鋪的問題也可能是不可解的。
也就是說，對于某些圖形集，人們可以證明在有限的時(shí)間內(nèi)，不可能弄清楚它們是否能完成密鋪。
「這是一個(gè)非常簡單的問題，但仍然超出了數(shù)學(xué)的范圍，」耶魯大學(xué)數(shù)學(xué)家 Richard Kenyon 說。「這不是第一個(gè)出現(xiàn)某種數(shù)學(xué)理論不可解或不完備的例子，但它確實(shí)是最接地氣的理論?！?/p>
去年，陶哲軒和 Greenfeld 發(fā)現(xiàn)，關(guān)于高維密鋪對的一般命題是不可解的：他們證明了沒有人能夠確定平面圖形是否可以實(shí)現(xiàn)密鋪（無論是周期性的還是非周期性的）。
關(guān)于單個(gè)平面圖形的命題是否也是不可解的呢？
自 1960 年代以來，人們就知道，如果周期性密鋪猜想成立，那么人們可以確定任何給定的圖形是否能實(shí)現(xiàn)密鋪。
但反之則不一定如此。僅僅因?yàn)榇嬖诜侵芷谛缘膱D形，并不意味著該問題不可解。
這就是陶哲軒和 Greenfeld 接下來想要弄清楚的問題。
陶哲軒說：「我們認(rèn)為，我們創(chuàng)造的語言應(yīng)該能夠創(chuàng)造一個(gè)無法確定的難題，這是非常合理的。因此，可能有一些密鋪，我們永遠(yuǎn)無法證明它是密鋪空間或非密鋪空間?！?/p>
為了證明一個(gè)命題不可解，數(shù)學(xué)家通常會(huì)證明它等同于另一個(gè)已知不可解的命題。
因此，如果這個(gè)密鋪問題也被證明是不可解的，那么它可以作為證明其他命題的參考工具 —— 這個(gè)意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了密鋪的范疇。
與此同時(shí)，陶哲軒和 Greenfeld 的結(jié)果在某種程度上是對科研人員的提醒。
「數(shù)學(xué)家喜歡簡潔大氣的命題，」Iosevich 說。
「但遺憾的是，并不是所有有趣的數(shù)學(xué)命題都能做到這一點(diǎn)。更多時(shí)候，需要我們的研究才能出現(xiàn)期待的效果?！?/p>
參考資料：
https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/
https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/
https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%86%E9%93%BA/5106336
本文來自微信公眾號(hào)：新智元 （ID：AI_era），作者：編輯部
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