p 進(jìn)數(shù)：展開(kāi)有理數(shù)，何必是實(shí)數(shù)

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持

上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他都是人類的工作。

—— 利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）

進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)

 進(jìn)數(shù)的其實(shí)不是一個(gè)符號(hào)，而是代表某一個(gè)素?cái)?shù)。有理數(shù)域可以擴(kuò)充為實(shí)數(shù)域，但是這種擴(kuò)充并不是唯一的。上面所說(shuō)的進(jìn)數(shù)，就是指對(duì)于任意素?cái)?shù)，都可以擴(kuò)充為進(jìn)數(shù)域。實(shí)數(shù)來(lái)自于有理數(shù)的小數(shù)展開(kāi)，而進(jìn)數(shù)來(lái)自有理數(shù)的進(jìn)展開(kāi)。雖然小數(shù)也有不同進(jìn)制的寫(xiě)法，但是這與進(jìn)數(shù)本質(zhì)上是不一樣的：小數(shù)展開(kāi)默認(rèn)的是逐次變小，而進(jìn)展開(kāi)則默認(rèn)逐次變“小”。我們將在后文中解釋這個(gè)問(wèn)題。如下圖所示，實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的地位是相同的。

首次引入進(jìn)數(shù)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家亨澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫(kù)默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過(guò)了這種奇妙的數(shù)字。如同庫(kù)默爾一樣，亨澤爾的原始工作也很難讀懂。他的文章發(fā)表于 1897 年，此時(shí)“域”的概念才僅僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一個(gè)帶有加法和乘法兩種運(yùn)算的集合，也可以寫(xiě)作，滿足

• 加法和乘法的結(jié)合律

• 加法和乘法的交換律

• 加法和乘法都有單位元（一般把加法單位元寫(xiě)作，乘法單位元寫(xiě)作）

• 每個(gè)元都有加法逆元，也就是

• 每個(gè)非零元都有乘法逆元，也就是

• 乘法對(duì)于加法滿足分配律

我們熟悉的有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是域。韋伯之所以這么定義，是想把（就是模剩余類，比如說(shuō)一周七天的算術(shù)就是）也納入進(jìn)來(lái)。如果去掉乘法逆元的條件，上述定義就變成了所謂的交換環(huán)，最典型的例子就是整數(shù)環(huán)。

數(shù)論的問(wèn)題通常是關(guān)于的，如果在中允許非零元有乘法逆，就得到了，這個(gè)構(gòu)造叫作取的分式域。由于很多中得到的結(jié)論都能直接套到上（例如中首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式存在有理根當(dāng)且僅當(dāng)它存在整數(shù)根），所以我們通常把它們放在一起考慮。但是這兩個(gè)對(duì)象的性質(zhì)都很“糟糕”。例如，我們想要判斷對(duì)于某一對(duì)非零的，是否有有理數(shù)解。這看上去根本無(wú)從下手。但是如果想要判斷有沒(méi)有實(shí)數(shù)根，就很簡(jiǎn)單了：只要中有一個(gè)，就存在實(shí)數(shù)解，反之則不存在。假如，那么就是一個(gè)實(shí)數(shù)解。但是如果，那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都一定，所以不存在實(shí)數(shù)解。很顯然，存在有理數(shù)解，那就一定存在實(shí)數(shù)解，畢竟，但是反過(guò)來(lái)并不一定成立。那實(shí)數(shù)解的存在性對(duì)有理數(shù)解有幫助嗎？答案是肯定的，為此我們需要定義希爾伯特符號(hào)（是“或者”，是“并且”）：

要解決有理解的判斷問(wèn)題，需要對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定義希爾伯特符號(hào)。這個(gè)定義同樣初等，但是稍微麻煩一些，有興趣的讀者可以自行查閱參考文獻(xiàn) [1]，我們之后不會(huì)涉及這個(gè)定義本身。重點(diǎn)在于，這個(gè)定義是可以直接計(jì)算的，所以很方便判斷。數(shù)學(xué)家們證明了一個(gè)驚人的定理：存在有理數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有都成立。

這個(gè)定理的確非常方便，但它提出了一個(gè)更加深刻的問(wèn)題：既然可以解釋為判斷是否有實(shí)數(shù)解，那是否也對(duì)應(yīng)著一個(gè)的擴(kuò)域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方程在這個(gè)域中存在解呢？如果的確如此，那似乎我們就能把有理數(shù)解看作是這些所有域中解的“交集”。

當(dāng)然，交集的說(shuō)法并不準(zhǔn)確。就結(jié)論而言，我們要尋找的對(duì)應(yīng)的正是進(jìn)數(shù)域，這些所有的和一起，可以稱為對(duì)應(yīng)的“局部域”。而則是“整體域”。

上面的定理其實(shí)是在講局部與整體的對(duì)應(yīng)。這聽(tīng)起來(lái)似乎匪夷所思，明明域變大了，卻從整體變成了局部。要解釋這一點(diǎn)，我們要先了解一些幾何學(xué)。

類比整數(shù)環(huán)  與多項(xiàng)式環(huán)

早在抽象環(huán)論誕生之前，數(shù)學(xué)家們就注意到數(shù)論與幾何的相似之處。具體來(lái)說(shuō)，與作為環(huán)的性質(zhì)非常相似，比如這兩個(gè)環(huán)都能做帶余除法，因此它們都是歐幾里得整環(huán)。這里是以為系數(shù)的多項(xiàng)式環(huán)，這個(gè)系數(shù)域就算換成別的域也會(huì)有很多相似之處，但是我們這里需要用到一些分析的方法，所以復(fù)數(shù)最為方便。順帶著，它們的分式域和也很相似。就是指允許非零多項(xiàng)式做除法。的元可以看作是上的亞純函數(shù)：它們的分母在個(gè)別點(diǎn)不一定不為零，所以這些函數(shù)會(huì)有趨于無(wú)窮的極點(diǎn)，但是這些點(diǎn)都是離散的，很容易處理。對(duì)于而言，局部顯然就是指其中的任何一個(gè)點(diǎn)。這些亞純函數(shù)在任何點(diǎn)附近能展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)，就如同全純函數(shù)（處處解析）能在任何點(diǎn)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)一樣，只不過(guò)洛朗級(jí)數(shù)允許存在這樣的項(xiàng)。例如，在點(diǎn)附近，可以展開(kāi)

的形式。在任何點(diǎn)處我們都能定義亞純函數(shù)的階為其洛朗展開(kāi)最左邊那一項(xiàng)的次數(shù)。比如上面這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)的階就是。類似的展開(kāi)也可以在中進(jìn)行。一般來(lái)說(shuō)對(duì)于某個(gè)有理數(shù)，我們都能將它寫(xiě)作的形式，其中是互不相同的素?cái)?shù)，是整數(shù)，可正可負(fù)。定義。我們有沒(méi)有辦法把展開(kāi)成類似

的形式呢？答案是肯定的，你可以形式化地對(duì)做進(jìn)展開(kāi)

為什么可以這樣寫(xiě)呢？對(duì)于一般的實(shí)數(shù)除法，商的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，因?yàn)槲覀兡J(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后，其“大小”就越小，所以我們才能寫(xiě)出這樣的無(wú)窮小數(shù)。但是要做出上面這樣的展開(kāi)，其實(shí)是默認(rèn)的序列會(huì)越來(lái)越“小”，我們先寫(xiě)，這樣只需要算，最后整體移動(dòng)一位。計(jì)算如下

細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的除法之所以每一步都能算出商的一位數(shù)字，依賴于是域這個(gè)事實(shí)，所以對(duì)于不是素?cái)?shù)的數(shù)，不是域，也就不能這樣展開(kāi)。

這樣就算出了

現(xiàn)在完全依靠類比，我們得到了這樣的展開(kāi)式。對(duì)任意素?cái)?shù)，我們稱這樣的展開(kāi)為進(jìn)展開(kāi)。這樣的展開(kāi)與小數(shù)的進(jìn)制表示非常相似，這也也解釋了它的名字。但這純粹是形式上的。我們還需要解釋三個(gè)問(wèn)題：

• 有理函數(shù)在某點(diǎn)的洛朗展開(kāi)顯然與“局部”有關(guān)，但是有理數(shù)在素?cái)?shù)處的進(jìn)展開(kāi)為什么也叫局部？

• 為什么也是的局部？

• 究竟要怎么嚴(yán)格定義進(jìn)展開(kāi)？也就是說(shuō)，如何定義？

為什么叫局部？

我們需要把中的點(diǎn)與聯(lián)系起來(lái)，這樣才能知道，對(duì)于來(lái)說(shuō)，點(diǎn)究竟是什么意思。為此我們需要理想的概念。對(duì)于一個(gè)交換環(huán)，理想是一個(gè)滿足以下性質(zhì)的真子集：

• 對(duì)于加減法封閉；

• ，也就是說(shuō)的元在乘上任意中的元之后，結(jié)果仍在中。

這個(gè)定義原本是庫(kù)默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域中素元分解不成立而提出的（這也是為什么叫做理想：一個(gè)非?！袄硐搿钡淖蛹?，代數(shù)幾何學(xué)家們卻找到了它的幾何意義。我們用來(lái)表示中包含的最小理想（也就是說(shuō)由生成的理想）。這是一個(gè)極大理想，也就是說(shuō)，它不是任何理想的真子集。實(shí)際上，對(duì)于中的任意點(diǎn)，都是極大理想。而反過(guò)來(lái)，中的所有極大理想，全都形如。所以的點(diǎn)與的極大理想一一對(duì)應(yīng)。這樣我們就能考慮的極大理想，來(lái)當(dāng)作它的點(diǎn)了，而的極大理想正是所有形如的理想。

這樣簡(jiǎn)單的類比其實(shí)還不能稱為“幾何”。這要等到格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究的代數(shù)幾何與研究的數(shù)論才能真正統(tǒng)一在一起。在這套理論中，環(huán)的素理想（本文中不需要這個(gè)概念）被稱為點(diǎn)，而極大理想則是閉點(diǎn)。這套理論需要更加艱深的背景知識(shí)，本文就不做介紹了。總之，上面我們用到的洛朗展開(kāi)和進(jìn)展開(kāi)，都是對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)的閉點(diǎn)。如果接受這樣的設(shè)定，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)“局部”的說(shuō)法沒(méi)什么問(wèn)題。

那么在中的展開(kāi)，也就是小數(shù)展開(kāi)，它算什么呢？它其實(shí)是對(duì)應(yīng)有理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗展開(kāi)。如圖所示

復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于球面上的某點(diǎn)，只需要連接球的頂端與復(fù)平面上的點(diǎn)，線段一定會(huì)交于球面上的一點(diǎn)。這樣就建立了復(fù)平面與球面（除了頂端一點(diǎn)）的一一對(duì)應(yīng)。而如果在復(fù)平面上以任何方向接近無(wú)窮，轉(zhuǎn)換到球面上，就一定會(huì)逼近頂點(diǎn)。這樣我們就可以把這個(gè)球面當(dāng)作是的擴(kuò)充，稱為黎曼球面，記作。

現(xiàn)在要對(duì)有理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處做洛朗展開(kāi)，其實(shí)就是把里的有理函數(shù)看作是是的函數(shù)，然后在處作洛朗展開(kāi)。也就是

因?yàn)檫@樣的類似性，我們上面定義的判別式才寫(xiě)作。

定義

為了定義，我們首先得知道是什么。從邏輯上來(lái)說(shuō)，第一個(gè)定義的應(yīng)該是自然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么來(lái)的呢？是由皮亞諾公理定義的，也就是從開(kāi)始，規(guī)定每個(gè)數(shù)都有一個(gè)后繼數(shù)，所以可以使用數(shù)學(xué)歸納法。隨后我們要得到，該怎么辦呢？直觀來(lái)看，定義整數(shù)允許了負(fù)數(shù)的存在。但是負(fù)數(shù)究竟是什么？比如說(shuō)，它其實(shí)是，也可以是。所以如果要用來(lái)定義的話，一個(gè)整數(shù)實(shí)際上是中的一個(gè)等價(jià)類，也就是當(dāng)時(shí)，我們規(guī)定等價(jià)關(guān)系。這樣就可以定義為所有等價(jià)類構(gòu)成的集合。當(dāng)然是的子集，因?yàn)樽匀粩?shù)相當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)類。類似的方法可以構(gòu)造：因?yàn)?svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" focusable="false" viewbox="0 -701 778 882" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.41ex;width: 1.76ex;height: 1.995ex;">允許分?jǐn)?shù)存在，而且如果，就有，所以我們定義，其中當(dāng)時(shí)。而整數(shù)也可以等同于等價(jià)類，所以也是的子集。上面兩次擴(kuò)張，都是允許了某種新的運(yùn)算，然后通過(guò)取等價(jià)類的方式來(lái)構(gòu)造的。

那么是允許了什么運(yùn)算呢？答案是取極限。從事后諸葛亮的角度來(lái)看，如下序列

的極限是，但是現(xiàn)在我們只有，所以我們只能說(shuō)，這個(gè)序列在中是不收斂的。如果讓所有像這樣的序列都收斂到一個(gè)數(shù)，那想必就是了。但并不是所有序列都收斂，比如

所以我們需要對(duì)序列加以限制，然后取某種等價(jià)類。限制后的序列被稱為柯西列，定義如下：對(duì)于有理序列，滿足對(duì)于任意，都存在一個(gè)，使得只要，就有。直觀來(lái)看，就是要求序列的尾部擺動(dòng)趨于。不難證明，收斂于有理數(shù)的序列都是柯西列，所以這可以說(shuō)是中收斂序列的自然推廣。當(dāng)然兩個(gè)柯西列有可能收斂于同一個(gè)數(shù)，所以我們還需要等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)。這樣所有柯西列組成的集合中的所有等價(jià)類就定義為。所有的有理數(shù)都等同于是常數(shù)柯西列的等價(jià)類，所以也是的子集。這也可以解釋一個(gè)對(duì)外行而言難以解答的問(wèn)題。其實(shí)是柯西列，而則是柯西列。他們的差是序列，趨于，所以兩個(gè)柯西列等價(jià)。

不過(guò)我們要注意一點(diǎn)，柯西列的定義依賴于。當(dāng)然這里的的定義是平常意義上的絕對(duì)值。絕對(duì)值表示兩個(gè)數(shù)之間的距離。在中，是越來(lái)越小的。但是我們看到，在上面的進(jìn)展開(kāi)中，越來(lái)越小的卻是，這就提示我們，應(yīng)該更改這個(gè)距離的定義，我們暫且把這種新距離稱為，稱為進(jìn)度量。我們需要越大，就越小，所以一個(gè)自然的定義是。其實(shí)底數(shù)不一定要是，取任何大于的數(shù)都可以（他們決定的柯西列是完全一致的），之所以取只是為了方便。當(dāng)然，距離并不是隨便取的，函數(shù)需要滿足三條性質(zhì)才能叫做度量函數(shù)（這其實(shí)定義了域上的范數(shù)）：

• 當(dāng)且僅當(dāng)；

• ；

• ，也就是三角形法則，兩邊之和不小于第三邊。

這樣只要有距離函數(shù)，就能定義柯西列，就能定義新的域。這個(gè)過(guò)程被稱為完備化，因?yàn)槲覀兎Q任何柯西列都收斂的域?yàn)?strong>完備域?？偨Y(jié)一下，就是說(shuō)的絕對(duì)值度量完備化得到，而的進(jìn)度量完備化就定義為，就是我們想要的進(jìn)數(shù)域。我們甚至可以對(duì)定義類似的距離，得到的完備化就是形式洛朗級(jí)數(shù)域和。所謂形式洛朗級(jí)數(shù)，就是形如一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表達(dá)式，不過(guò)不用處理收斂問(wèn)題。則通過(guò)洛朗展開(kāi)，嵌入到這些形式洛朗級(jí)數(shù)域中作為子集。

不過(guò)我們并不把稱為局部域，這是別的原因了，與本文無(wú)關(guān)。我們可以看到，這些嵌入關(guān)系與進(jìn)數(shù)非常相似。

既然任意給一個(gè)度量就能定義柯西列，那除了絕對(duì)值和進(jìn)度量之外，還有別的方法定義距離嗎？答案是沒(méi)有。在中，任意一個(gè)滿足上面三條性質(zhì)的度量，都等價(jià)于絕對(duì)值或者是某個(gè)進(jìn)度量。也就是說(shuō)，以上我們提到的就是所有的完備化方案了。我們平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時(shí)候倒并不會(huì)總是考慮柯西列，反而是小數(shù)展開(kāi)更常用；同樣，實(shí)際計(jì)算進(jìn)數(shù)的時(shí)候，更常用進(jìn)展開(kāi)。

運(yùn)用以上構(gòu)造，我們可以證明當(dāng)且僅當(dāng)方程在中有解。所以我們開(kāi)篇提到的定理，就可以表述為：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)其在所有及中有解。

我們自然而然會(huì)問(wèn)，是不是任意給一個(gè)多項(xiàng)式方程，其存在有理解的條件都等同于存在實(shí)數(shù)解和所有進(jìn)數(shù)解？答案是否定的，有不少多項(xiàng)式不成立這個(gè)結(jié)論。這激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的好奇心：究竟哪些多項(xiàng)式有類似的性質(zhì)呢？我們把這個(gè)方向稱為局部 — 整體原則，直到今天，它所催生的新知識(shí)還在源源不斷滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)論的研究。

跟現(xiàn)實(shí)有什么關(guān)系嗎？

的確，數(shù)論是距離現(xiàn)實(shí)世界非常遙遠(yuǎn)的一個(gè)學(xué)科。近些年來(lái)，有部分?jǐn)?shù)論被應(yīng)用于密碼學(xué)。而要直接應(yīng)用于物理，以描述現(xiàn)實(shí)世界，并被大多數(shù)物理學(xué)家所接受，這樣的工作目前還不多。

這從邏輯上其實(shí)是很奇怪的。的完備化只有和，但為什么我們今天的物理理論全都是用及其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)數(shù)與實(shí)數(shù)從邏輯上講沒(méi)有任何高下之分，他們都可以做導(dǎo)數(shù)，做積分，大多數(shù)你能想到的分析工具，都能平等地用到它們身上。那為什么我們生活在實(shí)數(shù)世界，而不是進(jìn)數(shù)世界呢？

還真有人想到了這種可能性。弦論中，弦掃過(guò)的世界面是用一維復(fù)流形（也就是黎曼面）描述的，但是如果把黎曼面換成是進(jìn)幾何學(xué)中對(duì)應(yīng)的概念，也能創(chuàng)造出一套弦論，稱為進(jìn)弦論。目前來(lái)看，這方面的研究成果還處于玩具階段。不過(guò)，這并不影響我們的好奇心。畢竟，我們仰望夜空，只是因?yàn)槿盒呛苊利悺?/p>

參考文獻(xiàn)

• [1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類域論.

• [2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.

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