卡爾?古斯塔夫?雅克布?雅克比（Carl Gustav Jacob Jacobi）1804 年 12 月 10 日出生在德意志普魯士的波茨坦，他是銀行家西蒙?雅可比的第二個(gè)兒子。
青年雅可比在數(shù)學(xué)方面的發(fā)展，在某些方面與他的對(duì)手 —— 阿貝爾相同。雅可比也學(xué)習(xí)大師們的著作；從歐拉和拉格朗日的著作中，他學(xué)會(huì)了代數(shù)、分析以及數(shù)論。通過(guò)自學(xué)，雅克比在橢圓函數(shù)方面做出了杰出的貢獻(xiàn)（后面詳細(xì)介紹）。就運(yùn)算能力而言，除了印度數(shù)學(xué)天才拉馬努金以外，沒(méi)有人能與歐拉和雅可比相匹敵。阿貝爾的天賦和雅可比相比，哲學(xué)的成分較多，形式的成分較少。阿貝爾在堅(jiān)持嚴(yán)格性這一點(diǎn)上，比雅可比更接近于高斯（不是雅可比的工作缺乏嚴(yán)格性，而是它的靈感看來(lái)是形式主義的，而不是嚴(yán)格性的）。
阿貝爾比雅可比大兩歲。雅可比不知道阿貝爾在 1820 年解決了一般五次方程問(wèn)題，他在同一年試圖得出一個(gè)解，把一般五次方程簡(jiǎn)化為如下形式
并且指出這個(gè)方程的解可以由某個(gè)十次方程的解推出來(lái)。雖然這個(gè)嘗試失敗了，但是雅可比從中學(xué)到了許多代數(shù)知識(shí)，他認(rèn)為這是他的數(shù)學(xué)教育中相當(dāng)重要的一步。但是他似乎沒(méi)有像阿貝爾那樣想到，一般五次方程可能無(wú)法用代數(shù)方法解的。這種失察，或者說(shuō)缺乏想象力，是雅可比與阿貝爾之間的典型差別。
1821 年 4 月到 1825 年 5 月，是雅可比在柏林上大學(xué)的時(shí)期。在頭兩年中，他把時(shí)間平均地用在哲學(xué)、語(yǔ)言學(xué)和數(shù)學(xué)上。在數(shù)學(xué)方面，雅可比繼續(xù)自學(xué)大師們的著作。他把大學(xué)的數(shù)學(xué)講座恰如其分地說(shuō)成是廢話。
阿貝爾在 1823 年 8 月 4 日寫(xiě)信給霍爾姆伯（挪威數(shù)學(xué)家），說(shuō)他正忙于研究橢圓函數(shù)，
這項(xiàng)小小的工作，涉及了橢圓超越函數(shù)的反函數(shù)，我證明了一點(diǎn)似乎是不可能的東西；我請(qǐng)求德根把它從頭到尾瀏覽一遍，但是他找不出錯(cuò)誤的結(jié)論，也不知道錯(cuò)在哪里；天知道我怎樣才能讓自己解脫。
一個(gè)奇怪的巧合是，雅可比最后下決心要全力從事數(shù)學(xué)的時(shí)候，幾乎就是阿貝爾寫(xiě)這封信的時(shí)候。阿貝爾開(kāi)了一個(gè)極好的頭，但是雅可比很快就趕了上來(lái)。雅可比第一項(xiàng)偉大的工作是關(guān)于橢圓函數(shù)的。
數(shù)學(xué)生涯
1825 年 8 月，雅可比獲得了哲學(xué)博士學(xué)位。取得學(xué)位以后，雅可比在柏林大學(xué)講授微積分學(xué)對(duì)曲面和空間曲線的應(yīng)用。最初幾講就明顯地表明雅可比是一個(gè)很有天賦的教師。后來(lái)，他成了當(dāng)時(shí)最受歡迎的數(shù)學(xué)教師。
雅可比似乎是第一個(gè)這樣做的數(shù)學(xué)教師：他講授自己的最新發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生們看到新學(xué)科在他們面前創(chuàng)造出來(lái)，以此來(lái)訓(xùn)練學(xué)生做研究工作。他認(rèn)為把年輕學(xué)生們?nèi)舆M(jìn)冰水里，由他們自己去學(xué)會(huì)游泳或者淹死是正確的。很多學(xué)生一直要到掌握了其他人做過(guò)的、與他們的問(wèn)題有關(guān)的一切，才肯試著獨(dú)立工作，結(jié)果只有極少數(shù)人養(yǎng)成了獨(dú)立工作的習(xí)慣。雅可比說(shuō)：
要是你的父親堅(jiān)持要先認(rèn)識(shí)世界上所有的姑娘，然后再跟一個(gè)姑娘結(jié)婚，那他就永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)婚。
雅可比在獲得柏林大學(xué)講師職位僅僅半年以后，又于 1826 年獲得柯尼斯堡大學(xué)講師的職位。一年以后，雅可比發(fā)表的一些關(guān)于數(shù)論的研究成果，博得了高斯的稱(chēng)贊。由于高斯不是一個(gè)容易被驚動(dòng)的人，教育部立即注意到了這件事，并把雅可比提升為副教授（年僅 23 歲）。兩年以后（1829 年），當(dāng)可比發(fā)表了他的第一篇杰作《橢圓函數(shù)理論的新基礎(chǔ)》。
1832 年，雅可比的父親去世了。1840 年家庭破產(chǎn)了，雅可比在 36 歲時(shí)一無(wú)所有了，并且還必須供養(yǎng)他的母親，因?yàn)樗财飘a(chǎn)了。但經(jīng)濟(jì)困頓沒(méi)有對(duì)雅可比的數(shù)學(xué)造成一點(diǎn)影響。他像以往一樣，繼續(xù)勤勉地鉆研。1842 年雅可比和貝塞爾參加了在曼徹斯特舉行的會(huì)議，在那里，德國(guó)的雅可比同愛(ài)爾蘭的哈密頓會(huì)晤了。雅可比了解了哈密頓關(guān)于動(dòng)力學(xué)的工作，并且推動(dòng)了動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，這是雅可比的一項(xiàng)最大的光榮。
橢圓函數(shù)
雅可比做出他第一項(xiàng)偉大的工作是橢圓函數(shù)。橢圓函數(shù)只是單復(fù)變量函數(shù)理論的一個(gè)細(xì)節(jié)。單復(fù)變量函數(shù)理論是 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)主要領(lǐng)域。高斯曾經(jīng)指出，每一個(gè)代數(shù)方程都有復(fù)根。
復(fù)數(shù)首先出現(xiàn)在某些方程的解中，如 x^2＋1=0。因式分解中也會(huì)遇到復(fù)數(shù)的問(wèn)題，例如把 x^2+y^2 因式分解得到
再進(jìn)一步，試著把 x^2+y^2+z^2 分解成兩個(gè)一次因式。這樣，正數(shù)、負(fù)數(shù)和虛數(shù)就夠了嗎？換句話說(shuō)，為了解決這個(gè)問(wèn)題需要發(fā)明某種新的“數(shù)”嗎？人們發(fā)現(xiàn)，為了得到必需的新“數(shù)”，普通代數(shù)規(guī)則因?yàn)橐粋€(gè)重要的細(xì)則而被瓦解：“數(shù)”乘在一起的次序“無(wú)足輕重”這一規(guī)則不再成立；也就是說(shuō)，對(duì)于新數(shù)，a×b 等于 b×a 不再成立。這表明，初等代數(shù)的因式分解問(wèn)題，把我們引到了復(fù)數(shù)不適用的領(lǐng)域。
如果我們堅(jiān)持全部普通代數(shù)定律對(duì)這些數(shù)都成立，我們能走多遠(yuǎn)？什么是可能的最一般的數(shù)？在 19 世紀(jì)后半葉，人們證明了復(fù)數(shù) x＋iy 是使普通代數(shù)成立的最一般的數(shù)。在笛卡兒幾何中函數(shù) f（x）的圖形，給我們提供了實(shí)變量 x 的函數(shù) y 的圖形。如果將應(yīng)用于這些函數(shù)的普通代數(shù)及推廣的微積分學(xué)應(yīng)用于復(fù)數(shù)，那么，早期的分析學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的許多東西中一大半就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題了，特別是積分學(xué)中許多令人費(fèi)解的不合規(guī)則的情況，這些情況只有當(dāng)復(fù)變量函數(shù)被高斯和柯西采用了的時(shí)候，才得以消除。
在橢圓函數(shù)理論中，不可避免地要出現(xiàn)復(fù)數(shù)。高斯、阿貝爾和雅可比通過(guò)他們對(duì)這一理論的廣泛和詳盡的闡述，為發(fā)現(xiàn)和改進(jìn)單復(fù)變量函數(shù)理論的一般定理，提供了一個(gè)實(shí)驗(yàn)園地。這兩個(gè)理論似乎注定要互相補(bǔ)充和完善 —— 這是有原因的，橢圓函數(shù)與二次形式的高斯定理的深刻聯(lián)系。不過(guò)對(duì)空間的考慮迫使我們放棄了二次形式的理論。在橢圓函數(shù)中出現(xiàn)的那些范圍更廣的定理的特例，為一般理論提供了很多的線索，要是沒(méi)有這些線索，單復(fù)變量函數(shù)的理論就會(huì)比實(shí)際發(fā)展慢得多。
橢圓函數(shù)的歷史相當(dāng)復(fù)雜，并且不大可能引起普通讀者的興趣。因此，我們簡(jiǎn)單概述高斯、雅可比及勒讓德等人的通信。
首先，確有實(shí)據(jù)的是，高斯早在 27 年前就預(yù)見(jiàn)到了阿貝爾和雅可比的一些最驚人的發(fā)現(xiàn)。高斯確實(shí)說(shuō)過(guò)，“阿貝爾走的正是我在 1798 年走過(guò)的同一條道路。" 其次，人們似乎一致同意，阿貝爾在一些重要的細(xì)節(jié)上走在雅可比前面，但是雅可比在完全不知道阿貝爾工作的情況下，做出了他的偉大發(fā)現(xiàn)。
橢圓函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)是它們的雙周期性（阿貝爾在 1825 年發(fā)現(xiàn)的）：如果 E（x）是一個(gè)橢圓函數(shù)，那么有兩個(gè)特殊的數(shù)，比如說(shuō) p_1，p_2，使得
對(duì)于變量 x 的一切值成立。
最后，在歷史方面，勒讓德在橢圓積分（而不是橢圓函數(shù)）上工作了 40 年，卻沒(méi)有注意到阿貝爾和雅可比兩人幾乎立刻就看到的東西，那就是只要把他的觀點(diǎn)逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，整個(gè)問(wèn)題就變得無(wú)比簡(jiǎn)單了。橢圓積分首先出現(xiàn)在求橢圓的一段弧長(zhǎng)這個(gè)問(wèn)題中。
設(shè) R（t）表示 t 的一個(gè)多項(xiàng)式，如果 R（t）是三次或四次的，形為
的積分，就稱(chēng)為橢圓積分；如果 R（t）的次數(shù)高于四次，這個(gè)積分稱(chēng)為阿貝爾積分。如果 R（t）只有二次，該積分可以很容易地用初等函數(shù)計(jì)算出來(lái)。特別有
那就是說(shuō)，如果
我們就把積分的上限 x 考慮成積分本身（即 y）的一個(gè)函數(shù)。該問(wèn)題的這種反演，解決了勒讓德與之搏斗了 40 年的大部分困難。去掉了這個(gè)障礙之后，這些重要積分的真正理論幾乎就自行冒了出來(lái)。
與阿貝爾共創(chuàng)橢圓函數(shù)理論，只是雅可比巨大的工作量中的一小部分，但卻是非常重要的一部分。下面我們簡(jiǎn)單地提一下他所做過(guò)的其他幾項(xiàng)偉大工作。
其他成就
雅可比是把橢圓函數(shù)理論用于數(shù)論的第一人。數(shù)論是一個(gè)奇妙而深?yuàn)W的課題，復(fù)雜難懂的巧妙的代數(shù)，在數(shù)論將意想不到地揭示普通整數(shù)之間迄今未曾料想到的關(guān)系。雅可比正是用這種方法證明了費(fèi)馬的著名猜想：每一個(gè)整數(shù)都是 4 個(gè)整數(shù)的平方和（零也算作整數(shù)）。而且，他知道任何已知的整數(shù)能以多少種方式表示成這樣的和。
動(dòng)力學(xué)方面，雅可比作出了在應(yīng)用科學(xué)和數(shù)理物理學(xué)兩方面都具有根本重要性的、超越拉格朗日和哈密頓的第一次重大進(jìn)展。熟悉量子力學(xué)的讀者會(huì)想起，哈密頓 — 雅可比方程在那個(gè)革命性理論中所起到的重要作用。
在代數(shù)中，只須提及許多事情中的一件，那就是雅可比把行列式理論簡(jiǎn)化成了現(xiàn)在每一個(gè)學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)課程的學(xué)生都熟悉的簡(jiǎn)單形式。
對(duì)于牛頓 — 拉普拉斯 — 拉格朗日的引力理論，雅可比出色地研究了該理論中反復(fù)出現(xiàn)的函數(shù)，并把橢圓函數(shù)和阿貝爾函數(shù)應(yīng)用到橢球間的引力上，從而對(duì)引力理論作出了重大的貢獻(xiàn)。
他在阿貝爾函數(shù)中的偉大發(fā)現(xiàn)，具有更高程度的獨(dú)創(chuàng)性。這樣的函數(shù)產(chǎn)生于一個(gè)阿貝爾積分的反演中，正如橢圓函數(shù)產(chǎn)生于橢圓積分的反演。這里他無(wú)路可循，有好長(zhǎng)時(shí)間他在毫無(wú)線索的迷宮中迷失了方向。在最簡(jiǎn)單的情形下，適當(dāng)?shù)姆春瘮?shù)是有四個(gè)周期的兩個(gè)變量的函數(shù)，在一般情形下，這些函數(shù)有 n 個(gè)變量和 2n 個(gè)周期；橢圓函數(shù)相當(dāng)于 n=1。這個(gè)發(fā)現(xiàn)之于 19 世紀(jì)的分析學(xué)，恰如哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲之于 15 世紀(jì)的地理學(xué)。
傅里葉指責(zé)阿貝爾和雅可比兩人把時(shí)間浪費(fèi)在橢圓函數(shù)上，而沒(méi)有在熱傳導(dǎo)中解決一些有待解決的問(wèn)題。雅可比說(shuō)：
傅里葉先生確實(shí)有過(guò)這樣的看法，認(rèn)為數(shù)學(xué)的主要目的是公眾的需要和對(duì)自然現(xiàn)象的解釋?zhuān)坏且粋€(gè)像他這樣的哲學(xué)家應(yīng)當(dāng)知道，科學(xué)的唯一目的是人類(lèi)思想的榮耀，而且應(yīng)該知道，在這個(gè)觀點(diǎn)之下，數(shù)的問(wèn)題與關(guān)于宇宙體系的問(wèn)題具有同等價(jià)值。
今天就數(shù)理物理學(xué)而言，傅里葉的分析只是廣闊得多的邊值理論問(wèn)題中的一個(gè)細(xì)目，傅里葉所發(fā)明的分析方法，正是在純數(shù)學(xué)中最純粹的部分找到了它的重要意義和它的正當(dāng)理由。這些現(xiàn)代的研究者是否給“人類(lèi)的思想”增加了榮耀，可能要留待專(zhuān)家們?nèi)タ疾炝恕?/p>
雅可比在 47 歲時(shí)死于天花（1851 年 2 月 18 日）。
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