1801 年，天文學家應(yīng)該能在夜空中觀察到，一群出色的數(shù)學天才即將大放異彩，開創(chuàng)數(shù)學史上最偉大的世紀。在那一群光彩奪目的天才中，沒有比尼爾斯?亨里克?阿貝爾（Niels Henrik Abel）更閃耀了。埃爾米特在談到阿貝爾時說，" 他給數(shù)學家們留下了夠他們忙上 500 年的東西?！?/p>
1802 年 8 月 5 日，阿貝爾出生在了挪威。阿貝爾的母親極為漂亮（阿貝爾繼承了她的顏值）。同其他幾個第一流的數(shù)學家一樣，阿貝爾很早就發(fā)現(xiàn)了自己的天賦。16 歲時，他通過自學就透徹地領(lǐng)會了他的前輩們，包括牛頓、歐拉和拉格朗日的偉大著作。若干年后，有人問起他怎樣迅速地進入了第一流的行列中，他回答：向大師們學習。
今天我們知道，19 世紀以前的大師們認為他們已經(jīng)證明了的很多東西，實際上根本沒有被真正證明。特別是歐拉關(guān)于無窮級數(shù)和拉格朗日關(guān)于分析學的一些研究更是如此。阿貝爾敏銳地意識到他的前輩們推理中的缺陷，他決心彌補這些不足。他在這方面的杰作之一，是首次證明了一般二項式定理，牛頓和歐拉對這個定理的一些特例作過說明，但是要給這個定理的一般情形作出可靠的證明卻不容易。
阿貝爾在數(shù)學上的第一個抱負是解決一般五次方程問題。一般五次方程在代數(shù)中所起的作用，類似于決定一個科學理論命運的關(guān)鍵性實驗。在中學代數(shù)的開始，我們學過一次或二次的一般方程，比如
然后又了解了三次和四次方程，比如
對一次到四次的一般方程，我們得出了解的有限公式，即用已知的系數(shù) a，b，c，d，e 來表示未知數(shù) x。這樣的解就稱為代數(shù)解。在代數(shù)解的這個定義中，一個重要的條件是 "有限"；即由方程的系數(shù)通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解。在成功地解出了前四次代數(shù)方程之后，代數(shù)學家們奮斗了差不多三個世紀，想要解出一般五次方程的代數(shù)解，
但沒有人能成功。阿貝爾就從這里開始。下面的內(nèi)容摘自阿貝爾的論文《論方程的代數(shù)解》。
代數(shù)中最有趣的問題之一是求方程的代數(shù)解。因而幾乎所有卓越的數(shù)學家都曾討論過這個問題。我們能夠很容易得出前四次方程的根的一般表達式。發(fā)現(xiàn)了解前四次方程的統(tǒng)一的方法，人們相信它也能應(yīng)用到任意次的方程上；但是，盡管拉格朗日和其他杰出的數(shù)學家盡了一切努力，預期的目的仍沒有達到。這導致了一般方程不可能代數(shù)求解的推測；但是這又是無法確定的，因為所用的方法，只是在方程可解的情況才能得出確切的結(jié)論。
……
這個要采用的真正的科學方法，由于它需要的計算極其復雜，因而極少被采用，他繼續(xù)說：
我已經(jīng)用這種方式探討過分析學的幾個分支，雖然我給自己提出的問題經(jīng)常超出我的能力，我還是得出了大量的一般結(jié)果，這些結(jié)果有力地說明了量的性質(zhì)，而闡明這些量的性質(zhì)，正是數(shù)學的目的。在另外一篇論文中，我將討論最一般的方程的代數(shù)求解問題。
他討論了兩個相關(guān)的一般問題：
找出所有任意給定次數(shù)的代數(shù)可解方程；
判定一個已知的方程是否代數(shù)可解。
阿貝爾還沒有來得及回到這些問題上，他那抑制不住的創(chuàng)造力就催促他去考慮更廣泛的問題了；而這些問題的完整的解答留待伽羅瓦去回答了。盡管阿貝爾在代數(shù)上的工作是劃時代的，但較之他創(chuàng)造了分析學的一個新的分支則黯然失色。正如勒讓德所說，這項工作是阿貝爾的 "永世長存的紀念碑"。
19 世紀，法國是世界的數(shù)學皇后；而德國有數(shù)學王子高斯。1825 年 8 月，23 歲的阿貝爾在政府的資助下開始了法國和德國的學習之旅。他帶上了自己的論文，在一篇論文中他證明了用代數(shù)方法不可能解一般五次方程。阿貝爾天真地相信這就是他通向歐洲大陸的數(shù)學家們的科學護照，他特別希望高斯會看出這項工作的重要意義。但他不知道，這位 "數(shù)學王子" 有時候?qū)吡ο氲玫匠姓J的年輕數(shù)學家，一點也沒有表現(xiàn)出王子般的大度。
高斯如期收到了這篇論文。但是他沒有看一眼就把它拋在了一邊。從那以后，阿貝爾很討厭高斯，一有機會就詆毀他。他說高斯寫的東西晦澀難懂。高斯常常為了他在這件事情上的 "傲慢的輕視" 而受到指責。那時一般五次方程的問題已經(jīng)人盡皆知。如果今天一個數(shù)學家收到化圓為方的所謂解答，他不一定會搭理作者。因為他知道林德曼在 1882 年證明了不可能只用尺規(guī)化圓為方 —。他也知道林德曼的證明是任何人都能夠接受的。
在 1824 年，一般五次方程的問題幾乎與化圓為方的問題相當，因此高斯不耐煩了。但是這個問題還沒有被證明不可解，阿貝爾的文章提供了證明。高斯要是耐著性子的話，本來是可以讀到一些使他很感興趣的東西的。只要他的一句話，阿貝爾可能就會成名，甚至阿貝爾的生命也可能延長。
阿貝爾在 1825 年 9 月離家以后，首先訪問了挪威和丹麥的著名數(shù)學家和天文學家。然后，去了柏林。他在柏林碰到了一個叫奧古斯特?利奧波德?克列爾的人，這個人將成為他在科學方面的伯樂。"克列爾" 已經(jīng)成了象征他創(chuàng)辦的雜志的專用名稱，該雜志的前三卷包括了阿貝爾的 22 篇論文。阿貝爾的偉大工作使這份雜志在整個數(shù)學界久負盛名；最后該雜志又使克列爾成了名。
克列爾本人是一個數(shù)學愛好者，而不是一個有創(chuàng)造力的數(shù)學家。他的職業(yè)是建筑工程師。他很早就在工作中出人頭地，建造了德國第一條鐵路。在空閑的時間，他認真研究數(shù)學，而不僅僅把它作為一種業(yè)余愛好。他在 1826 年創(chuàng)辦的《純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學雜志》給德國數(shù)學以很大的促進。這份雜志的創(chuàng)辦，是克列爾對數(shù)學發(fā)展的最大貢獻。這份雜志是世界上第一份專門刊登數(shù)學研究成果的定期刊物。從 1826 年直到現(xiàn)在，《克列爾》每三個月出版一期，刊登新的數(shù)學文章。今天，有幾百種雜志全部或相當大一部分參與純粹數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的發(fā)展進程。
阿貝爾向克列爾提及出了他的不可能用代數(shù)方法解一般五次方程的證明?？肆袪栠B聽都不愿聽；任何這樣的證明都一定有問題。但是他接受了這篇論文，承認阿貝爾的推理在他之上 —— 最后在他的《雜志》上發(fā)表了阿貝爾的詳盡的證明。
柏林豐富的社交活動開始使阿貝爾不能專心工作，他躲到弗賴堡去了，在那里他可以集中精力工作。正是在弗賴堡，他把他最偉大的工作鍛造成型了，創(chuàng)造了現(xiàn)在所稱的阿貝爾定理。但是他還得趕赴巴黎，去會見當時第一流的法國數(shù)學家 —— 勒讓德、柯西和其他一些人。
從一封阿貝爾寫給天文學家漢斯廷的信中，可以看出阿貝爾要重建數(shù)學分析：
在高等分析中，很少有幾個命題是被極其嚴格地證明了的?！?找出造成這種情形的原因確實是非常有趣的。在我看來，原因就在于這樣的事實：迄今在分析學中出現(xiàn)的函數(shù)，大多數(shù)都能夠表示為冪函數(shù)…… 當我們采用某種一般方法時，并不太難；但是我必須非常謹慎，因為沒有嚴格證明的命題已經(jīng)在我們的心里生了根，以致我們常常冒著不做進一步檢查就采用它們的危險。這些瑣碎的東西將出現(xiàn)在克列爾先生出版的雜志中。
1826 年 10 月，阿貝爾的《論非常廣泛的一類超越函數(shù)的一般性質(zhì)》被呈交給巴黎科學院。這就是被勒讓德稱為“永恒的紀念碑”的論文，也是埃爾米特說的“夠未來數(shù)學家忙上 500 年的東西”。它是現(xiàn)代數(shù)學的一項登峰造極的成就。
勒讓德和柯西被任命為這篇論文評閱人。勒讓德抱怨說：“我們發(fā)覺這篇論文很難辨認；它是用淡得幾乎是白色的墨水寫的，字寫得很糟，我們兩人認為應(yīng)該要求作者送一份寫得整齊易讀的來?！笨挛靼颜撐膸Щ丶遥恢旁谑裁吹胤?，完全把它給忘了。
雅可比驚呼，“阿貝爾先生的這個發(fā)現(xiàn)是什么樣的發(fā)現(xiàn)?。 ?有誰看見過同樣的東西嗎？這個發(fā)現(xiàn)，也許是我們這個世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)，在兩年前就交給你們科學院了，可你的同事們怎么會沒有注意到它呢？" 柯西在 1830 年把它翻了出來。最后它發(fā)表在《法蘭西科學院著名科學家論文集》，但那時已經(jīng)是 1841 年了。
下面是論文的開始幾段，
迄今數(shù)學家研究過的超越函數(shù)，數(shù)目非常之少。實際上，超越函數(shù)的整個理論簡化成了對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，實質(zhì)上只是簡單的一類函數(shù)。只是到了最近，才開始考慮其他一些函數(shù)。在后來考慮的函數(shù)中，橢圓超越函數(shù)占據(jù)首位，它們的顯著而精致的性質(zhì)是勒讓德先生發(fā)展起來的。阿貝爾在他的論文中，研究了很廣泛的一類函數(shù)，即所有那些導數(shù)可以由系數(shù)為單變量有理函數(shù)的代數(shù)方程來表示的函數(shù)，他已經(jīng)證明了這些函數(shù)的一些與對數(shù)函數(shù)和橢圓函數(shù)類似的性質(zhì)…… 而且得到了下面的定理：
如果我們有幾個函數(shù)，它們的導數(shù)可以是同一個代數(shù)方程的根，該方程所有的系數(shù)均為單變量有理函數(shù)，只要我們在所討論的函數(shù)的變量之間建立一定數(shù)目的代數(shù)關(guān)系，我們就永遠能用一個代數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)來表示任意數(shù)目的這種函數(shù)的和。這些關(guān)系的數(shù)目完全不依賴于函數(shù)的數(shù)目，而只依賴于所考慮的特定函數(shù)的性質(zhì)……
阿貝爾這樣簡單地描述的定理，今天通稱為阿貝爾定理。勒讓德并沒有討論過橢圓函數(shù)。勒讓德花費了他一生中大部分時間研究的問題是橢圓積分，它與橢圓函數(shù)的差別，就像馬與它拉的車的差別一樣，這恰恰是阿貝爾對數(shù)學的一項最偉大貢獻的根源所在。
阿貝爾是第一個有意識地把問題反過來研究的人。如果一個問題的解答陷入毫無希望的狀況時，試著把這個問題顛倒過來，把問題作為論據(jù)，把論據(jù)作為問題。
在積分學中，反三角函數(shù)自然地以簡單的定積分的形式呈現(xiàn)出來。當我們試圖利用積分學求一個圓的弧長時，這樣的積分就出現(xiàn)了。假定一開始反三角函數(shù)就以這種方式出現(xiàn)，那么考慮以這些函數(shù)的反函數(shù)，作為要去研究和分析的已知函數(shù)，不是 "更自然" 嗎？
但是在許多更高深的問題中，最簡單的問題是用積分求一個橢圓的弧長，首先出現(xiàn)的是棘手的反“橢圓”函數(shù)。這就使阿貝爾看出了應(yīng)該把這些函數(shù) "反過來" 加以研究。然而勒讓德這位偉大的數(shù)學家，在他的“橢圓積分”上花了 40 多年的時間，卻一次也沒有懷疑到他應(yīng)該反過來考慮。這個看待貌似簡單、實際上深奧難解的問題的極其簡單平常的方式，是 19 世紀最偉大的數(shù)學進展之一。
阿貝爾發(fā)現(xiàn)了由橢圓積分的反函數(shù)得出的新函數(shù)有兩個周期，它們的比是虛數(shù)。在這以后，雅可比、羅森海因、魏爾斯特拉斯、黎曼，還有許多人，深入地鉆研了阿貝爾的偉大的定理，他們通過發(fā)展和擴充阿貝爾的思想，發(fā)現(xiàn)了一些有 2n 個周期的 n 個變量的函數(shù)。阿貝爾本人也更深入地探索了他的發(fā)現(xiàn)。他的后繼者們把整個這項工作應(yīng)用到幾何學、力學、數(shù)理物理學的一些部分和數(shù)學的其他分支中，解決了一些重要問題，沒有阿貝爾開始的這項研究，這些問題是無法解決的。
1829 年 4 月 6 日凌晨，阿貝爾去世了，只活了 26 年 8 個月。阿貝爾死后兩天，（將）被任命為柏林大學的數(shù)學教授。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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