阿爾伯特?愛(ài)因斯坦在 1915 年提出了廣義相對(duì)論，該理論主要基于質(zhì)量和能量使四維時(shí)空結(jié)構(gòu)扭曲這一事實(shí)，從而徹底改變了引力的概念。
其潛在的幾何或數(shù)學(xué)公式要?dú)w功于一位名叫喬治?弗里德里希?伯恩哈德?黎曼的數(shù)學(xué)家，他構(gòu)造了一類幾何（或橢圓幾何），與歐幾里得幾何（或平面幾何）不同，它用以處理高維和超曲面。
黎曼是德國(guó)數(shù)學(xué)家，在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)和任職。在哥廷根，他遇到了一位偉大的老師，卡爾?弗里德里希?高斯。他還在柏林大學(xué)度過(guò)了一段時(shí)間，在那里他遇見(jiàn)了其他杰出的導(dǎo)師，包括雅可比、狄利克雷和愛(ài)森斯坦。他從愛(ài)森斯坦那里學(xué)習(xí)橢圓函數(shù)理論，而對(duì)他影響最大的是狄利克雷。
根據(jù)費(fèi)力克斯?克萊茵的說(shuō)法：
黎曼與狄利克雷的思維方式很像。狄利克雷喜歡對(duì)基本問(wèn)題進(jìn)行敏銳的邏輯分析，并盡可能避免冗長(zhǎng)的計(jì)算。他的方式很適合黎曼，黎曼采納了他的方法，并采用狄利克雷的方法工作。
高斯開(kāi)始思考?xì)W幾里得幾何的有效性比黎曼早很多年。高斯與黎曼分享了他的好奇心，請(qǐng)他重新制定歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，以一種可以將曲面納入通常三維之外的方式。
在那個(gè)時(shí)代，對(duì)第四維度的思考被認(rèn)為是荒謬。約翰?沃利斯在他的《代數(shù)論》中把第四維度描述為“自然界中的怪物”。與此同時(shí)，波爾約和洛巴切夫斯基嘗試用雙曲幾何的形式推廣他們的非歐幾何，這為黎曼提供了靈感。
黎曼突破性的演講
為了贏得哥廷根大學(xué)的永久職位，黎曼必須寫(xiě)一篇長(zhǎng)篇論文，還要做一次演講。他花了兩年半的時(shí)間完成了關(guān)于函數(shù)的三角級(jí)數(shù)可表示性的論文。
1854 年，他發(fā)表了題為“關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)”的演講，這次演講是如此非凡，以至于成為一種新的幾何，即黎曼幾何的基石。
在講座開(kāi)始時(shí)，他重點(diǎn)定義 n 維空間、測(cè)地線、曲率張量等。在最后一部分，他試圖將他的幾何與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)。聽(tīng)眾中的許多科學(xué)家聽(tīng)不懂這個(gè)講座，因?yàn)樗傲?，不是每個(gè)人都能理解和欣賞的。然而，只有高斯完全理解黎曼的幾何本質(zhì)。
M. Monastyrsky 在《黎曼，拓?fù)浜臀锢怼分械囊欢翁岬剑?/p>
在黎曼的聽(tīng)眾中，只有高斯能夠欣賞黎曼的思想。這個(gè)講座出乎他的意料，使他大為吃驚?；氐浇處煏?huì)議上，他以極大的贊揚(yáng)和罕見(jiàn)的熱情向威廉?韋伯講述了黎曼所提出的思想?！?/p>
加來(lái)道雄在他的《超空間》一書(shū)中寫(xiě)道，
回想起來(lái)，毫無(wú)疑問(wèn)，這是數(shù)學(xué)史上最重要的公開(kāi)演講之一。黎曼徹底打破了統(tǒng)治數(shù)學(xué)兩千年的歐幾里得幾何的限制，這一消息很快傳遍了整個(gè)歐洲。他的講話被翻譯成幾種語(yǔ)言，在數(shù)學(xué)界引起了不小的轟動(dòng)。
歐幾里得幾何與黎曼幾何之比較
歐幾里得幾何適用于平面空間，如點(diǎn)、線、平面等；黎曼幾何適用于曲面空間，如圓柱、球面、環(huán)面等。
歐幾里得的第五個(gè)公設(shè) —— 平行公設(shè)在橢圓幾何中是完全被否定的。因?yàn)樗f(shuō)的是“通過(guò)一點(diǎn)，而不是在給定的直線上，只有一條直線與給定的直線平行”。而在曲線幾何中，沒(méi)有平行線。
在平面空間中，三角形三個(gè)角的和總是等于 180°，而在彎曲空間中，三角形的和不是大于就是小于 180°，因?yàn)槿切蔚倪呍谇蛎嫔鲜窍蛲鈴澢?，在雙曲線上是向內(nèi)彎曲的。
在平坦空間中，兩點(diǎn)之間的最短距離是一條直線，可以用距離公式計(jì)算，而在彎曲空間中，直線被稱為測(cè)地線，它表示局部距離最小化路徑。有時(shí)，兩點(diǎn)之間存在多個(gè)測(cè)地線。
高斯在他的曲面理論中描述了一個(gè)矢量在一維中有兩個(gè)分量，即大小和方向。黎曼將這一概念擴(kuò)展到更高的維度，并證明了一個(gè)向量將擁有六個(gè)獨(dú)立的分量來(lái)描述三維空間中任何點(diǎn)的曲率。同樣，在四維空間中，有 20 個(gè)獨(dú)立的分量。
張量是向量的高維拓展。
黎曼幾何如何幫助愛(ài)因斯坦推廣他的引力理論？
當(dāng)愛(ài)因斯坦提出狹義相對(duì)論時(shí)，他主要關(guān)注的是它的物理性質(zhì)和解釋，而不是任何數(shù)學(xué)構(gòu)造。他以前的老師赫爾曼?閔可夫斯基提出了狹義相對(duì)論的幾何學(xué)，并將空間和時(shí)間描述為一個(gè)單一的實(shí)體。
因此，對(duì)于他的一般理論，愛(ài)因斯坦沒(méi)有意識(shí)到控制大質(zhì)量物體周圍引力場(chǎng)影響的數(shù)學(xué)規(guī)律。
最近，我一直在努力研究萬(wàn)有引力問(wèn)題?，F(xiàn)在已經(jīng)到了一個(gè)階段，我已經(jīng)準(zhǔn)備好了靜態(tài)數(shù)據(jù)。我對(duì)動(dòng)態(tài)場(chǎng)一無(wú)所知，這必須遵循下一個(gè).. .. 每一步都極其困難。
他逐漸意識(shí)到，必須拋棄用單一標(biāo)量場(chǎng)來(lái)描述引力，而需要一種新的幾何語(yǔ)言。為此，他向在蘇黎世理工學(xué)院工作的數(shù)學(xué)家朋友馬塞爾?格羅斯曼尋求幫助。他說(shuō)：“格羅斯曼，你得幫幫我，否則我會(huì)發(fā)瘋的?！备窳_斯曼指示他去尋找黎曼提出的新型幾何。
黎曼新的數(shù)學(xué)框架對(duì)愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)是一個(gè)意外的幸運(yùn)，因?yàn)樗龑?dǎo)他得出這樣的結(jié)論：引力實(shí)際上是時(shí)空曲率的結(jié)果。時(shí)空曲率越大，它受到的引力就越大。
正如米斯納、索恩和惠勒所總結(jié)的，
物質(zhì)告訴時(shí)空如何彎曲，時(shí)空告訴物質(zhì)如何移動(dòng)。
當(dāng)愛(ài)因斯坦意識(shí)到黎曼幾何是廣義相對(duì)論的精確數(shù)學(xué)工具時(shí)，接下來(lái)的三年是他研究生涯中最艱苦的時(shí)期。“我累壞了。但成功是光榮的，”愛(ài)因斯坦在 1915 年說(shuō)。
愛(ài)因斯坦對(duì)黎曼的貢獻(xiàn)贊不絕口，
物理學(xué)家仍然遠(yuǎn)離這種思維方式：對(duì)他們來(lái)說(shuō)，空間仍然是一個(gè)剛性的、同質(zhì)的東西，不受任何變化或條件的影響。只有天才的黎曼，孤獨(dú)而不被理解，已經(jīng)在上世紀(jì)中葉提出了一種新的空間概念，在這個(gè)概念中，空間被剝奪了它的剛性，它參與物理事件的力量被盡可能地認(rèn)識(shí)到。
漢斯?弗羅伊登塔爾在傳記中寫(xiě)道：
廣義相對(duì)論有力地證明了他的工作是正確的。在從黎曼的演講發(fā)展而來(lái)的數(shù)學(xué)中，愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)了符合他的物理思想、宇宙學(xué)和宇宙起源學(xué)的框架。而黎曼演講的精神正是物理學(xué)所需要的：由數(shù)據(jù)決定的度量結(jié)構(gòu)。
黎曼在數(shù)論、分析、函數(shù)、曲面的拓?fù)湫再|(zhì)等方面做出了有價(jià)值的貢獻(xiàn)。
1862 年，他患上了嚴(yán)重的感冒，最終患上了肺結(jié)核。最后，他于 1866 年在意大利馬焦雷湖的塞拉斯卡去世，年僅 39 歲。
戴德金寫(xiě)道：
他的體力迅速下降，他自己也覺(jué)得自己的末日快到了。但是，在他去世的前一天，他在一棵無(wú)花果樹(shù)下休息，他的靈魂充滿了對(duì)壯麗風(fēng)景的喜悅，他仍然在做他最后的作品，不幸的是，他沒(méi)有完成。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
廣告聲明：文內(nèi)含有的對(duì)外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時(shí)間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。