阿基米德、牛頓和高斯這三個人，在大數(shù)學(xué)家中自成一個等級，試圖按照功績排列他們的位置，不是普通人做得到的。這三個人都在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面掀起了浪潮：阿基米德評價他的純數(shù)學(xué)高于它的應(yīng)用數(shù)學(xué)；牛頓把他的數(shù)學(xué)發(fā)明應(yīng)用于科學(xué)；而高斯宣稱，做純數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)，對他都一樣。然而，高斯還是把高等算術(shù)（他那個時代最不實(shí)用的數(shù)學(xué)研究），推崇為全部數(shù)學(xué)的皇后。
數(shù)學(xué)王子高斯是一個貧窮人家的子弟，1777 年 4 月 30 日出生在德意志不倫瑞克的一個村舍里。在整個數(shù)學(xué)史中，從沒有過像高斯那樣早熟的人。人們不知道阿基米德何時顯露出天才的跡象。牛頓最早表現(xiàn)出他極高的數(shù)學(xué)才能時，可能也沒有被注意到。雖然有些難以置信，但是高斯在 3 歲以前就顯示出了他的才能。晚年的高斯喜歡開玩笑，說他在會說話以前就知道怎樣數(shù)數(shù)了。他終生保持著作復(fù)雜心算的非凡能力。
高斯剛過 7 歲就進(jìn)了他的第一所學(xué)校。高斯 10 歲時開始上算術(shù)課。在早期的學(xué)習(xí)中，高斯發(fā)展了一生中的一個主要興趣。他很快掌握了二項式定理，
其中 n 不一定是正整數(shù)，它可以是任何數(shù)。如果 n 不是正整數(shù)，右邊的級數(shù)是無窮的，為了說明這個級數(shù)何時真正等于（1+x）^n，必須研究對 x 和 n 需要加什么限制，才能使無窮級數(shù)收斂到一個確定的有限的極限。因為，如果 x=-2，n=-1，就得出荒唐的結(jié)論（1-2）^-1，就是（-1）^-1，也就是-1，等于 1＋2＋2^2＋2^3＋…，以至無窮；那就是說，-1 等于“無窮數(shù)”，這顯然是荒唐的。
高斯與二項式定理早期的相遇，鼓舞他做出一些最偉大的工作，他成了第一個 "嚴(yán)格主義者"。當(dāng) n 不是一個大于零的整數(shù)時，二項式定理的證明甚至在今天也超出了初級教科書的范圍。高斯不滿意書里的證明，高斯又作了一個證明，這使他開始進(jìn)入數(shù)學(xué)分析。分析學(xué)的真正精髓在于正確使用無窮過程。
高斯將要改變數(shù)學(xué)的整個面貌。牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯 —— 都是他們各自時代的大數(shù)學(xué)家 ———— 實(shí)際上對于現(xiàn)在可以接受的、涉及無窮過程的證明毫無概念。是高斯第一個清楚地看到，可能會導(dǎo)致像“-1 等于無窮大”這樣荒唐的結(jié)論的 "證明"，根本就不是證明。即使在某些情形下，一個公式提供了沒有矛盾的結(jié)果，它在數(shù)學(xué)中也是沒有地位的，除非確定了嚴(yán)格的條件，它在這些條件下能不斷地產(chǎn)生沒有矛盾的結(jié)果。
高斯賦予分析學(xué)的嚴(yán)格性，在他自己的習(xí)慣和他的那些同代人 ——— 阿貝爾、柯西，以及后繼者 —— 魏爾斯特拉斯、戴德金 —— 的習(xí)慣的影響下，漸漸使數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域相形見絀，高斯以后的數(shù)學(xué)成了與牛頓、歐拉和拉格朗日的數(shù)學(xué)完全不同的東西。
從積極的意義上說，高斯是一個革命者。12 歲時他已經(jīng)用懷疑的眼光看歐幾里得幾何基礎(chǔ)了；到 16 歲，他已經(jīng)第一次瞥見了不同于歐幾里得幾何的另一種幾何。一年以后，他開始探索性地批判數(shù)論中他的前輩們感到滿意的那些證明，并從事于填補(bǔ)空白。算術(shù)是他最早獲得成功的領(lǐng)域，成了他發(fā)表巨著的陣地。高斯對于什么是證明的本質(zhì)，具有確信無疑的感知，同時又具有無人超越的、豐富的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力。這二者的結(jié)合是無堅不摧的。
高斯曾受到哲學(xué)研究的強(qiáng)烈吸引，不過他不久就在數(shù)學(xué)中找到了更迷人的吸引力，這對科學(xué)是幸運(yùn)的。高斯在進(jìn)大學(xué)時已熟練掌握了拉丁文，他的許多最偉大的著作都是用拉丁文寫的。
高斯在卡羅林學(xué)院學(xué)習(xí)了三年，在這期間他掌握了歐拉、拉格朗日較為重要的著作，而最重要的是牛頓的《原理》。一個偉大人物所能得到的最高贊揚(yáng)，是從與他同一等級的另一個偉大人物那里得到的贊揚(yáng)。高斯作為一個 17 歲的少年，從來沒有低估牛頓的功績。其他人 —— 歐拉、拉普拉斯、拉格朗日、勒讓德 —— 出現(xiàn)在高斯的拉丁文中的稱贊是 "輝煌的"；而牛頓則是 "最高的"。
還在卡羅林學(xué)院時，高斯就開始了他對高等算術(shù)的研究，這些研究后來使他流芳百世。他那非凡的計算能力起到了關(guān)鍵的作用。他直接探究數(shù)本身，用它們做實(shí)驗，利用歸納法發(fā)現(xiàn)了一些深奧的一般定理，這些定理，甚至他也要費(fèi)一番氣力才能證出來。用這種方法，他重新發(fā)現(xiàn)了 " 算術(shù)的瑰寶”，“黃金定理”，歐拉也曾用歸納法發(fā)現(xiàn)過它，人們把它叫做二次互反律，高斯是第一個證明它的人。
整個研究起源于一個許多算術(shù)初學(xué)者都會向自己提出的簡單問題：在循環(huán)小數(shù)的每一周期中有多少數(shù)字？高斯為了找到說明這個問題的線索，對 n 從 1 到 1000 計算了所有的分?jǐn)?shù) 1 / n 的小數(shù)表示。他發(fā)現(xiàn)了偉大得無與倫比的東西 —— 二次互反律。因為陳述很簡單，我們將描述它，同時介紹高斯發(fā)明的、在算術(shù)的術(shù)語和記號中的一個革命性改進(jìn)，同余。下面涉及的所有的數(shù)都是整數(shù)。
如果兩個數(shù) a，b 之差（a-b 或 b-a）可以用數(shù) m 整除，我們就說 a，b 相對于模 m 同余，或者簡稱為同余于模 m，我們用 a≡b（mod m）的符號表示它。這樣，100≡2（mod7），35≡2（mod11）。
這個方法的優(yōu)點(diǎn)在于，它使我們想起了寫代數(shù)方程的方法。用一種簡潔的記號表示算術(shù)的可除性，讓我們把在代數(shù)中導(dǎo)致有趣結(jié)果的某些方法，引進(jìn)算術(shù)中。例如，我們能夠把一些方程相“加”，我們發(fā)現(xiàn)倘若模都是相同的，同余式也能 "加" 起來，得到另外一些同余式。
設(shè) x 表示一個未知數(shù)，r 和 m 表示給定的數(shù)，r 不能被 m 整除。是否有一個 x 使得
如果有，r 就稱作一個 m 的二次剩余，如果沒有，r 就稱作一個 m 的二次非剩余。
如果 r 是 m 的二次剩余，那么必定能夠找到至少一個 x，其平方被 m 除余 r；如果 r 是 m 的二次非剩余，那么就沒有其平方被 m 除余 r 的 x。這些就是上面定義的直接結(jié)論。
舉例說明：13 是 17 的二次剩余嗎？如果是，必須能夠找到同余。
用 1，2，3，… 去試，我們發(fā)現(xiàn) x=8，25，42，59，… 都是解，所以 13 是 17 的一個二次剩余。但是 x^2=5（mod17）沒有解，所以 5 是 17 的一個二次非剩余。
現(xiàn)在自然要問，一個給定的 m 的二次剩余和二次非剩余是些什么呢？也就是說，在 x^2≡r（modm）中給定 m，當(dāng) x 取所有的數(shù) 1，2，3，… 時，什么樣的數(shù) r 能夠出現(xiàn)，什么樣的數(shù) r 不能出現(xiàn)呢？
不用費(fèi)太大力氣就能表明，要回答這個問題，限定 r 和 m 都是素數(shù)就足夠了。所以我們重新說明這個問題：如果 p 是一個給定的素數(shù)，什么樣的素數(shù) q 能使同余 x^2≡q（mod p）可解呢？在算術(shù)的目前狀態(tài)下，這要求得太多了。不過，這種情形并不是毫無希望的。
在下面這對同余式中存在著美妙的 "互反"，
其中 p 和 q 都是素數(shù)：如果 q≡1 mod 4，那么同余 x^2≡p mod q 是可解的當(dāng)且僅當(dāng) x^2≡ q mod p 是可解的。如果 q≡3 mod 4 和 p ≡ 3mod 4，那么同余 x^2= p mod q 是可解的當(dāng)且僅當(dāng) x^2≡-q mod p 是可以解決的。
它是不容易證明的，事實(shí)上，它曾使歐拉和勒讓德困惑過，高斯則在 19 歲時給出了第一個證明。由于這個互反律在高等算術(shù)以及代數(shù)的許多高深部分中非常重要，高斯試圖找到它的根源。他反復(fù)考慮了許多年，直到他一共給出了 6 種不同的證明，其中有一種取決于正多邊形的尺規(guī)作圖。
高斯在 1795 年 10 月他 18 歲時，離開卡羅林學(xué)院，進(jìn)了哥廷根大學(xué)，那時他仍然沒有決定是以數(shù)學(xué)還是以哲學(xué)作為他畢生的事業(yè)。他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了（18 歲時）“最小二乘”法，這個方法今天在大地測量學(xué)、在觀測的簡化、在實(shí)際上要從大量測量結(jié)果推導(dǎo)出最可能值的所有工作中，都是不可或缺的。高斯與勒讓德共享這一榮譽(yù)，勒讓德在 1806 年獨(dú)立發(fā)表了這個方法。這項工作是高斯對觀測誤差理論感興趣的開始。誤差正態(tài)分布的高斯規(guī)律，以及和它一起的鐘形曲線是統(tǒng)計學(xué)中不可或缺的。
轉(zhuǎn)折
1796 年 3 月 30 日標(biāo)志著高斯一生的一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在那一天，距他 20 歲生日正好一個月，高斯明確地決定了從事數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)語言仍然是他終生保持的一項愛好，但是哲學(xué)在 3 月的這個難忘的一天，永遠(yuǎn)失去了高斯。
同一天高斯開始記他的科學(xué)日記，這些日記是數(shù)學(xué)史上最寶貴的文件之一。第一篇記錄了他的偉大發(fā)現(xiàn)。只是到了 1898 年，高斯去世后 43 年，這本日記才在科學(xué)界傳播，當(dāng)時哥廷根皇家科學(xué)院從高斯的一個孫子手里借來這本日記，進(jìn)行鑒定研究。高斯在 1796 年至 1814 年這段多產(chǎn)期間的所有發(fā)現(xiàn)并沒有被全部記錄下來。但是許多匆匆忙忙記下來的點(diǎn)滴，足以確立高斯在這樣一些領(lǐng)域 —— 例如橢圓函數(shù) —— 中的領(lǐng)先地位。
有幾則日記表明，日記完全是它的作者的私事。如 1796 年 7 月 10 日的日記上，記著
翻譯過來，這是模仿阿基米德歡呼“Eureka（找到了）！”它說明每一個正整數(shù)都是三個三角形數(shù)的和，一個三角形數(shù)是數(shù)列 0，1，3，6，10，15，… 中的一個，其中（0 以后的）每一個都具有 1/2n（n+1）這個形式，n 是任意正整數(shù)。另一種說法是，每一個形式為 8n+3 的數(shù)都是三個奇數(shù)平方的和：
要想證明它是不容易的。
更難理解的是 1796 年 10 月 11 日的日記中神秘的一則，"Vicimus GE-GAN"。這次高斯縛住了什么樣的怪龍呢？再有，1799 年 4 月 8 日，他用整齊的方框圈起 REV.GALEN 時，他征服了什么樣的巨人呢？雖然這些東西的意義已經(jīng)永遠(yuǎn)失去了，但是留下來的那 144 個，大多數(shù)是夠清楚的。特別是有一個具有頭等的重要性：1797 年 3 月 19 日的日記表明，高斯已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一些橢圓函數(shù)的雙周期性。他那時還不到 20 歲。再有，一則較晚的日記表明，高斯已經(jīng)看出了一般情形的雙周期性。要是他發(fā)表這個結(jié)果，就足以使他名聲顯赫。但是他從來沒有發(fā)表它
為什么高斯沒有披露他的偉大發(fā)現(xiàn)呢？高斯說，他從事科學(xué)著作，只是出于他天性的最深層的激勵，至于這些著作是否要為其他人而出版，對他來說，完全是次要的事情。高斯有一次對一位朋友說的另一番話，解釋了他的日記和他遲遲不發(fā)表的原因。他說，在他 26 歲以前，有那樣一堆勢不可擋的新思想在他腦海中翻騰，以致他幾乎無法控制它們，他的時間只來得及記錄下來一小部分。這本日記只包含一些曾經(jīng)使他煞費(fèi)苦心地思考了好幾個星期的研究成果的最后的簡短說明。
高斯認(rèn)為自己留下來的都應(yīng)該是完美的藝術(shù)品，增一分則多，減一分則少。他說，一座大教堂在最后的腳手架拆除和挪走之前，還算不上是一座大教堂。高斯抱著這樣的理想工作，他寧肯三番五次地琢磨修飾一篇杰作，也不愿發(fā)表他很容易就能寫出來的許多杰作的概要。他的座右銘
Pauca sed matura（少些，但是要成熟）。
結(jié)果，他的一些著作必須等待很有天賦的解釋者作出解釋后，一般的數(shù)學(xué)家才能夠理解它們，并向前邁進(jìn)。他的同代人請求他放寬他那僵硬無情的完美，以便數(shù)學(xué)可以前進(jìn)得更快些。但是高斯從沒有放寬。直到他去世以后很久，人們才知道，有多少 19 世紀(jì)的數(shù)學(xué)，高斯在 1800 年以前就已經(jīng)預(yù)見并領(lǐng)先了。要是他公布了他知道的結(jié)論，那么，很可能目前的數(shù)學(xué)要比現(xiàn)在的狀況前進(jìn)了半個世紀(jì)或者更多。阿貝爾和雅可比就能夠在高斯停下來的地方開始，而不必把他們大部分最好的精力用在重新發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生以前就知道的東西上了，非歐幾何的創(chuàng)造者們就能夠把他們的天才轉(zhuǎn)到其他事情上了。
談到他自己，高斯說他 "只是一個數(shù)學(xué)家"，這對他是不公正的，他的第二個座右銘
大自然，你是我的女神，我愿意在你的定律面前俯首聽命……
真正概括了他獻(xiàn)身于他那個時代的數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的一生。
在哥廷根大學(xué)的 3 年是高斯一生中著述最多的時期（1795——1798）。他從 1795 年起就一直在構(gòu)思一部關(guān)于數(shù)論的偉大著作。到 1798 年，這部《算術(shù)研究》實(shí)際上完成了。期間他還結(jié)識了兩位數(shù)學(xué)家沃爾夫?qū)?鮑耶和約翰?弗里德里希?普法夫（當(dāng)時德國最著名的數(shù)學(xué)家）。
在敘述《算術(shù)研究》之前，我們要看一下高斯的博士論文，《每一個單變量的有理整函數(shù)都能分解成一階或二階實(shí)因子的一個新證明》。
這篇論文所證明的就是我們現(xiàn)在所說的，代數(shù)基本定理。高斯證明了任何代數(shù)方程的所有的根都是形式為 a＋bi 的數(shù)，i 是虛數(shù)。這種新類型的 "數(shù)"a＋bi 叫復(fù)數(shù)。
"虛數(shù)" 這個詞是代數(shù)最大的災(zāi)難，但是由于它早已得到公認(rèn)，數(shù)學(xué)家們無法取消它。其實(shí)根本就不該用它。很多數(shù)學(xué)書籍用旋轉(zhuǎn)給虛數(shù)作了一個簡單的解釋。把 i×c（c 是實(shí)數(shù)）解釋成線段 Oc 繞 0 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個直角，Oc 就旋轉(zhuǎn)到 OY 上；再用 i 去乘一次，即 i×i×c，把 Oc 再旋轉(zhuǎn)一個直角，這樣總的效果就是把 Oc 旋轉(zhuǎn)了兩個直角，致使 + Oc 成了-Oc。作為一種運(yùn)算，用 i×i 去乘的乘積與用-1 去乘的乘積有同樣的效果，用 i 去乘的乘積與旋轉(zhuǎn)一個直角有同樣的效果。
高斯認(rèn)為，每一個代數(shù)方程有一個根的定理非常重要，因而他給出了 4 種明確的證明，最后一個證明是在他 70 歲時給出的。今天，一些人會把這個定理從代數(shù)轉(zhuǎn)移到分析。甚至高斯也假定多項式的圖形是連續(xù)曲線，而且如果多項式是奇次的，圖形一定至少與坐標(biāo)軸相交一次。對于任何一個初學(xué)代數(shù)的人，這都是顯然的。但是在今天，沒有證明它就不是顯然的，而要試圖證明它，又一次出現(xiàn)了與連續(xù)和無窮有關(guān)的那些困難。就像 x^2-2=0 這樣簡單的方程的根，也不能在任何有限步內(nèi)精確地計算出來。
《算術(shù)研究》是高斯的第一部杰作，一些人認(rèn)為是他最偉大的杰作。在這之后，他就不再把數(shù)學(xué)作為唯一的興趣了。當(dāng)該著作在 1801 年（高斯那時是 24 歲）出版之后，他把他的活動范圍擴(kuò)大到天文學(xué)、大地測量學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)和實(shí)用兩個方面。他在后期感到后悔的是一直沒有抽出時間來寫出他年輕時計劃寫的第二卷。這本書有 7 節(jié)。
前言的第一句描述了這本書涉及的大致范圍。
這本著作中包含的研究結(jié)果，是屬于涉及整數(shù)和分?jǐn)?shù)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)，無理數(shù)除外。
前 3 節(jié)論述同余式理論，特別詳盡地討論了二項同余式
這個精彩的算術(shù)理論，與相應(yīng)的二項方程 x^n=A 的代數(shù)理論有許多相似之處，但是它獨(dú)特的算術(shù)部分，比之與算術(shù)毫無相似之處的代數(shù)，更是無與倫比地豐富和困難。
在第 4 節(jié)，高斯發(fā)展了二次剩余的理論。在這里可以找到二次互反律的第一個發(fā)表了的證明。證明是令人驚奇地用數(shù)學(xué)歸納法得出的，是在任何地方都能找到的那種巧妙的邏輯的一個極好的例證。
第 5 節(jié)一開始從算術(shù)的觀點(diǎn)討論二元二次形式，接著又討論了三元二次形式，并發(fā)現(xiàn)它對完成二元理論是必不可少的。二次互反律在這些困難的計劃中起了十分重要的作用。對于所說的第一種形式，一般的問題是要討論不定方程
的關(guān)于 x，y 的整數(shù)解，其中 a，b，c，m 是任意給定的整數(shù)；對第二種形式，研究的主題是方程
的整數(shù)解 x，y，z，其中 a，b，c，d，e，f，m 是給定的整數(shù)。這個領(lǐng)域中的一個看起來容易、實(shí)際上困難的問題，是要給 a，c，f，m 施加能夠保證不定方程
的整數(shù)解 x，y，z 存在的充分必要的限制。
第 6 節(jié)把前面的理論應(yīng)用到各種各樣的特殊情形，例如 mx^2+ny^2=A 的整數(shù)解 x，y，其中 m，n，A 是任給的整數(shù)。
這部著作的頂峰是第 7 節(jié)，高斯應(yīng)用前面的發(fā)展，特別是二次同余理論，精彩地討論了代數(shù)方程 x^n+1，其中 n 是任意給定的整數(shù)，從而把算術(shù)、代數(shù)和幾何一起編織成了一幅完美的圖案。方程 x^n=1 是畫正 n 邊形，或者 n 等分圓周的幾何問題的代數(shù)公式；算術(shù)的同余 x^m≡1（mod p），是貫穿代數(shù)和幾何，并給這個圖案以簡單意義的線索。
以前有些人 —— 費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和其他一些人，用其他方法做過所有這一切中的許多部分，但是高斯完全從他個人的觀點(diǎn)進(jìn)行討論，添加了許多他自己的東西，并從他對有關(guān)問題的一般公式和解答，推出了他的前輩們得出的許多孤立的結(jié)果。例如，費(fèi)馬用他的 "無窮下降" 的方法，證明了每一個形為 4n＋1 的素數(shù)是兩個數(shù)的平方和，并且表示成這種和的方式只有一種；他的這個美妙的結(jié)論，是高斯對二元二次形式的一般論述的自然結(jié)果。
高斯晚年時說，"《算術(shù)研究》已經(jīng)成為歷史"。《算術(shù)研究》的出版給高等算術(shù)提出了一個新方向，這樣，在 17 世紀(jì)和 18 世紀(jì)是一堆五花八門、互不相干的特殊結(jié)果的數(shù)論，現(xiàn)采用了統(tǒng)一的形式，上升到在數(shù)學(xué)科學(xué)中與代數(shù)、分析和幾何同等的地位。
高斯的學(xué)生狄利克雷有一個令人驚奇的定理，即每一個算數(shù)級數(shù)
包含著無窮多個素數(shù)，其中 a，b 是沒有比 1 大的公因子的整數(shù)。這是由分析證明的，這一點(diǎn)本身就是一個奇跡，因為定理考慮整數(shù)，而分析論述連續(xù)的非整數(shù)。
我們可能要問，高斯為什么他從來沒有去解決費(fèi)馬大定理。他自己作了回答：
我對作為一個孤立命題的費(fèi)馬定理，實(shí)在沒有什么興趣，因為我可以很輕易地提出一大堆這樣的既不能證明其成立，又不能證明其不成立的命題。
高斯接著說，這個問題使他回想起了他對高等算術(shù)進(jìn)行偉大擴(kuò)展的一些原有想法。這無疑是指庫默爾、戴德金和克羅內(nèi)克后來將要各自獨(dú)立發(fā)展起來的代數(shù)數(shù)的理論。
谷神星
高斯一生的第二個偉大的階段開始于 19 世紀(jì)的第一天，這一天也是哲學(xué)史和天文學(xué)史上用紅字標(biāo)明的一天。自從 1781 年威廉?赫歇爾爵士發(fā)現(xiàn)了天王星，因而把那時已知的行星數(shù)目增加到哲學(xué)上令人滿意的 7 個以來，天文學(xué)家們一直孜孜不倦地搜索太空，尋找太陽家族的其他一些成員。按照波得定律，它們應(yīng)該存在于火星和木星的軌道之間。搜索一直毫無結(jié)果，直到朱塞佩?皮亞齊在 19 世紀(jì)的第一天，觀察到他一開始誤認(rèn)為是一個正接近太陽的小彗星的天體，但是它不久就被認(rèn)出是一顆新的行星 —— 后來命名為谷神星，今天所知道的一大群很小的行星中的第一顆。
谷神星的發(fā)現(xiàn)和著名哲學(xué)家弗里德里希?黑格爾發(fā)表對尋找第八顆行星的天文學(xué)家的諷刺性攻擊，正好在同一時候。黑格爾斷言，要是他們稍稍注意一下哲學(xué)，立刻就會明白，只能有七顆行星，不多也不少。
1844 年 11 月 1 日高斯寫信給他的朋友舒馬赫說：
你在當(dāng)代哲學(xué)家謝林、黑格爾、內(nèi)斯?馮?埃森貝克和他們的追隨者身上看到同樣的東西（數(shù)學(xué)上的無能）；讀讀古代哲學(xué)史中當(dāng)時的大人物 —— 柏拉圖和其他人（我把亞里士多德除外）—— 在解釋方面所用的方法。但是甚至就康德本人來說，常常也好不了多少。我認(rèn)為他對分析命題與綜合命題所作的區(qū)分，要么是平凡不足道的，要么是錯誤的。
高斯在寫這封信時已經(jīng)充分掌握了非歐幾何，非歐幾何本身就足以駁倒康德關(guān)于 " 空間”和幾何的說法。決不能因為有關(guān)純數(shù)學(xué)的術(shù)語的這個孤立的例子，就認(rèn)為高斯不了解哲學(xué)。他了解。一切哲學(xué)上的進(jìn)展對他都有著極大的魅力，盡管他常常不贊成取得這些進(jìn)展所使用的方法。他曾經(jīng)說過，
有些問題，例如令人感動的倫理學(xué)，或我們與上帝的關(guān)系，或關(guān)于我們的命運(yùn)和我們的未來的問題，我對這些問題的解答，比對數(shù)學(xué)問題的解答重視得多；但是這些問題完全不是我們能夠解答的，也完全不是科學(xué)范圍內(nèi)的事。
谷神星對于數(shù)學(xué)是一個災(zāi)難。要了解高斯為什么要那樣極嚴(yán)肅認(rèn)真地對待它，我們必須記住，在 1801 年，牛頓的龐大形象（已去世 70 多年）仍然給數(shù)學(xué)蒙著陰影。當(dāng)代的“大”數(shù)學(xué)家們，是那些孜孜不倦地完成牛頓的天體力學(xué)大廈的人，如拉普拉斯。數(shù)學(xué)依然被當(dāng)做數(shù)理物理學(xué)。阿基米德在公元前 3 世紀(jì)所看出的數(shù)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的幻象，已經(jīng)在牛頓的光輝照耀下消失了。直到年輕的高斯再次抓住這個幻象，數(shù)學(xué)才被承認(rèn)是一門獨(dú)立的科學(xué)。正當(dāng)他將要成為數(shù)學(xué)王國的未經(jīng)耕耘的荒野上，開始緊張地工作的時候，小行星谷神星，在他 24 歲時吸引了他無與倫比的智慧。
一顆新的行星，在它極難觀測到的位置被發(fā)現(xiàn)了。要從能夠得到的少得可憐的數(shù)據(jù)，計算出行星的軌道，這項工作就是拉普拉斯本人也會感到困難。牛頓曾經(jīng)宣稱，這種問題屬于數(shù)理天文學(xué)中最困難的問題。需要確立一條軌道，其精確度要足以保證谷神星在環(huán)繞太陽旋轉(zhuǎn)時能用望遠(yuǎn)鏡觀察到，光是確立這條軌道所需要的算術(shù)，就很可能難倒今天的計算機(jī)。
高斯，這位空前的數(shù)學(xué)之神，在他的日記里描述的那些隱約閃現(xiàn)的、難以捉摸的東西。谷神星被重新發(fā)現(xiàn)了，恰恰是在年輕的高斯經(jīng)過極其巧妙和詳細(xì)的計算，預(yù)計一定會找到它的地方發(fā)現(xiàn)的。歐拉需要三天時間才能完成的計算（據(jù)說正是這種計算使他雙目失明），高斯只需要幾小時。將近 20 年間，他自己的大部分時間都花在天文學(xué)計算上了。
但是甚至這樣使人變得遲鈍而乏味的工作，也不能磨滅高斯的創(chuàng)造天才。1809 年他發(fā)表了他的第二部杰作《天體沿圓錐截線繞日運(yùn)動的理論》，這部著作根據(jù)觀測得到的數(shù)據(jù)，包括困難的攝動分析，對確定行星和彗星軌道作了詳盡的討論，制定了在以后許多年中支配計算天文學(xué)和實(shí)用天文學(xué)的規(guī)律。
1807 年，高斯被任命為哥廷根天文臺臺長。哥廷根天文臺在當(dāng)時能夠付給高斯的薪俸不多，但是足夠滿足高斯和他家庭的簡單需要。正如他的朋友馮?瓦爾特肖森所寫的：
正如他年輕的時候一樣，在他整個老年時代，直到他辭世的那天，始終保持為一個簡樸的高斯。一間小書房，一張鋪著綠色臺布的小小的工作臺，一張漆成白色的必備的書桌，一張單人沙發(fā)，在他 70 歲以后，又有一把扶手椅，一個帶燈罩的燈，一間沒有生火的臥室，簡單的飲食，一件晨衣和一頂天鵝絨的便帽，這些就足以滿足他的全部需要了。
解析函數(shù)
如果高斯公開了他向貝塞爾吐露的一項發(fā)現(xiàn)，那么 1811 年可能就是可以與 1801 年（《算術(shù)研究》出版的那一年）相比的數(shù)學(xué)上的里程碑了。高斯已經(jīng)完全弄懂了復(fù)數(shù)和它們作為解析幾何平面上的點(diǎn)的幾何表示，他向自己提出了研究這種數(shù)的、今天稱為解析函數(shù)的問題。
復(fù)數(shù) z=x＋iy。當(dāng) x，y 以任何指定的連續(xù)方式各自取實(shí)值時，點(diǎn) z 就在平面上移動。當(dāng)給 z 指定一個值時，取任何一個包含 z 的單值表達(dá)式，諸如 z 或 1 / z 等等，稱為 z 的一個單值函數(shù)。我們用 f（z）表示這樣一個函數(shù)。于是，如果 f（z）是特定的函數(shù) z，使得
那么顯然當(dāng)給 z 指定任何值，例如 x=2，y=3，這個 f（z）就因此確切地決定了一個值，z=-5＋12i。
并不是所有的單值函數(shù) f（z）都要在單復(fù)變量函數(shù)的理論中進(jìn)行研究；只是單演函數(shù)被挑選出來進(jìn)行詳盡的討論。
讓 z 移動到另一個位置 z'。函數(shù) f（z）取另一個值 f（x'），由 x' 代替得到。現(xiàn)在用變量的新值和舊值之差去除函數(shù)的新值和舊值之差 f（z’）-f（z），這樣就有
正像在計算一個圖形的斜率以找出圖形所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時做的那樣，這里我們讓 z' 無限接近 z，從而 f（z'）同時接近 f（z）。但是此處出現(xiàn)了一個值得注意的新現(xiàn)象。
x' 怎樣移動到與 z 重合，在這里沒有一條統(tǒng)一的途徑，因為 z' 在與 z 重合之前，可以經(jīng)由無限多個不同的路徑，在復(fù)數(shù)平面上移動。我們無法指望當(dāng) z' 與 z 重合時，（f（z'）-f（z））/（z'-z）對所有這些路徑的極限值都一樣，一般說來是不一樣的。
但是如果 f（z）使得剛剛描述過的極限值，對 z' 移動到與 z 重合時所經(jīng)過的所有路徑都是一樣的，那么就說 f（z）在 z（或者在代表 z 的點(diǎn)）是單演的。
一致性和單演性是單復(fù)變量解析函數(shù)的特殊的特征。
流體運(yùn)動理論的廣闊領(lǐng)域，是由單變量解析函數(shù)處理的，由這個事實(shí)能夠推斷出解析函數(shù)的一些重要意義。假定這樣一個函數(shù) f（z）被分成 "實(shí)" 部和 "虛" 部，比如說 f（z）=U＋iV。對于特殊的解析函數(shù) z^2，我們有
想象一個在平面上流動的流體層。如果流體的運(yùn)動沒有渦流，運(yùn)動的流線就可以通過畫出曲線 U=a，其中 a 是任意的實(shí)數(shù)，由某個解析函數(shù) f（z）得到，同樣可以由 V=b 得到等位線。讓 a，b 變動，我們就得到一個完整的運(yùn)動圖形，其區(qū)域我們想要多大就有多大。對于一個給定的情形，比如說圍繞著一個障礙物流動的流體的情形，問題的困難部分在于選擇什么樣的解析函數(shù)。這樣整個事情就倒了過來：研究一些簡單的函數(shù)，尋找它們適合的物理問題。非常奇怪的是，這些人為準(zhǔn)備的問題，有許多被證明在空氣動力學(xué)和流體運(yùn)動理論的其他實(shí)際應(yīng)用中是最有用的。
單復(fù)變量解析函數(shù)的理論，是 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)取得成功的最偉大的領(lǐng)域之一。高斯在給貝塞爾的信中，說明了這個理論中的基本定理有多么重要，但是他沒有公開它，而留待柯西和后來的魏爾斯特拉斯去重新發(fā)現(xiàn)。由于這是數(shù)學(xué)分析史上的一個里程碑，我們要簡單地描述它。
想象單復(fù)變量 z 在一個沒有扭結(jié)的有限長的閉曲線上移動。在曲線上標(biāo)出 n 個點(diǎn) P1，P2，…，Pn。使得 P1P2，P2P3，P3P4，…，PnP1 的每一段都不超過某個預(yù)先指定的有限長度 l。在每一個這樣的線段上，選一個不在線段的兩端的點(diǎn)；對相應(yīng)于該點(diǎn)的 z 的值，形成 f（z）的值；把這個值與點(diǎn)所在的線段的長度相乘。對于所有的段都這樣做，再把結(jié)果加起來。最后當(dāng)段的數(shù)目無限增加時，取這個和的極限值。這給出了 f（z）對于曲線的 " 線積分”。
這個線積分何時為零呢？為了使線積分為零，充分的條件是 f（z）是在曲線上和曲線內(nèi)的每一點(diǎn) z 都解析（一致和單演）。
超越幾何級數(shù)
這就是高斯在 1811 年告訴貝塞爾的偉大定理，它和同一類型的另一個定理，在獨(dú)立地重新發(fā)現(xiàn)它的柯西手里，將以推論的形式產(chǎn)生分析學(xué)中的許多重要結(jié)果。
1812 年，拿破侖的大軍拼命地掙扎著進(jìn)行穿越冰凍平原的后衛(wèi)戰(zhàn)斗，也正是在這一年，高斯發(fā)表了另一項偉大的工作，這是關(guān)于超越幾何級數(shù)
的工作，其中虛點(diǎn)表示級數(shù)按照所示的規(guī)律無限繼續(xù)下去，下一項是
這個研究報告是另一個里程碑。正如已經(jīng)指出的，高斯是現(xiàn)代第一個嚴(yán)格主義者。在這項工作中，為了使這個級數(shù)收斂，必須給 a，b，c，x 加以一些限制。它作為特殊情形，包括了分析中的許多重要的級數(shù)，例如，用于在牛頓天文學(xué)和數(shù)理物理學(xué)中反復(fù)出現(xiàn)的對數(shù)、三角函數(shù)和其他一些函數(shù)的計算和造表中的級數(shù)；廣義的二項式定理也是一個特例。通過研究這個級數(shù)的一般形式，高斯一舉解決了許多問題。從這項工作中，發(fā)展出了對 19 世紀(jì)物理學(xué)中的微分方程的許多應(yīng)用。
雖然由于篇幅所限，無法討論高斯對純數(shù)學(xué)所作貢獻(xiàn)的許多例子，但是甚至在最簡單的概述中，有一個例子也是不容忽視的，這就是關(guān)于雙二次互反律這項工作。它的重要性在于，它給高等算術(shù)提供了一個完全出人意料的新方向。
既然已經(jīng)解決了二次互反的問題，高斯考慮任何次數(shù)的二項同余式的一般問題就是很自然的了。設(shè) m 是一個給定的、不能用素數(shù) p 整除的整數(shù)，且設(shè) n 是一個已知的正整數(shù)，如果還能找到一個整數(shù) x，使得
那么就稱 m 為 p 的一個 n 次剩余；當(dāng) n=4 時，m 就是 p 的一個雙二次剩余。
二次二項同余（n=2）的情形，對 n 超過 2 時幾乎沒有什么提示。高斯要討論這些高次同余，研究相應(yīng)的互反律，即 x^n≡p（mod q），x^n≡q（mod p）之間（關(guān)于可解或不可解）的相互關(guān)系。特別是 n=3，n=4 的情形是要研究的。
1825 年的論文開辟了新天地。在經(jīng)過多次無法忍受的錯誤之后，高斯發(fā)現(xiàn)，有理整數(shù)，1，2，3，… 不適宜于雙二次互反律的論述；必須發(fā)明一類全新的整數(shù)。這些被稱為高斯復(fù)數(shù)，是所有那些形式為 a＋bi 的復(fù)數(shù)，其中 a，b 是有理數(shù)。為了說明雙二次互反律，必須對這些復(fù)整數(shù)的算術(shù)可除性規(guī)律作詳盡的初步討論。高斯作了這樣的討論，因而開始了代數(shù)數(shù)的理論。對于三次互反（n=3），他也用同樣的方式發(fā)現(xiàn)了正確的途徑。
高斯最喜愛的弟子愛森斯坦解決了三次互反問題。他還發(fā)現(xiàn)了雙二次互反律和橢圓函數(shù)理論的某些部分之間令人驚奇的聯(lián)系，高斯在這方面作過深入的研究。
高斯還在幾何和數(shù)學(xué)對大地測量學(xué)、牛頓引力理論和電磁學(xué)的應(yīng)用方面，取得了同等重要的進(jìn)展。一個人怎么可能完成這樣大量的最高水平的工作呢？高斯說，"如果其他人也像我這樣思考數(shù)學(xué)真理，也像我這樣深入，這樣持久，那么，他們也能作出我所作出的這些發(fā)現(xiàn)。"
高斯不由自主地專注于數(shù)學(xué)思想。他在和朋友們談話的時候，會突然沉默下來，沉浸在他無法控制的思想中，一動不動地站在那里，茫然地凝視著周圍的一切。過后他控制住了自己的思想，有意識地把他的全部力量用于解決一個困難問題，直到成功為止。他一旦抓住一個問題，在征服它之前是不會放手的，盡管他可能會同時專注于幾個問題。
他在一個這樣的例子中，講述了他怎樣在長達(dá) 4 年之久的時間里，幾乎沒有一個星期不花一些時間去試著解決一個確定的符號是正還是負(fù)，最后答案突然自己出現(xiàn)了。高斯經(jīng)常在花費(fèi)了幾天或幾個星期毫無結(jié)果地從事某項研究之后，在經(jīng)過了一個不眠之夜繼續(xù)工作時，發(fā)現(xiàn)障礙消失了，全部解答清楚地閃現(xiàn)在他的腦海中。緊張而持久地集中精力的能力，是他過人之處之一。
這種在自己思考的世界中忘掉自己的能力，高斯與阿基米德、牛頓是相似的。在另外兩個方面，他也和他們不相上下：他具有精密觀察的天賦和科學(xué)獨(dú)創(chuàng)能力。這些才干，使他能夠設(shè)計出他的科學(xué)研究所必需的儀器。大地測量學(xué)中的回照器就歸功于高斯，這是一個巧妙的裝置，信號可以利用反射光即刻實(shí)地傳播出去?；卣掌髟诋?dāng)時是一大進(jìn)步。在高斯手里，他所用的天文儀器也得到了顯著的改進(jìn)。為了用于他對電磁學(xué)的重要研究，高斯發(fā)明了雙線磁強(qiáng)計。最后，他在 1833 年發(fā)明了電報，并和與他一起工作的威廉?韋伯把它用來傳送消息。數(shù)學(xué)天才與第一流的實(shí)驗才能的結(jié)合，是全部科學(xué)中一種極為罕見的情形。
高斯本人極少關(guān)心他的發(fā)明可能有的實(shí)際用途。他像阿基米德一樣，寧要數(shù)學(xué)，也不要地上的全部王國。但是，韋伯清楚地看到了哥廷根的這個小小的電報對文明意味著什么。我們記得鐵路在 19 世紀(jì) 30 年代初剛剛出現(xiàn)，韋伯在 1835 年就預(yù)言，"當(dāng)全球都覆蓋上一張鐵路和電報的網(wǎng)時，這張網(wǎng)所提供的服務(wù)，就可以與人體神經(jīng)系統(tǒng)的作用相當(dāng)了，部分作為運(yùn)輸?shù)姆椒?，部分作為以閃電的速度傳播思想和大事件的方法。"
高斯與勒讓德
有一次經(jīng)歷使勒讓德成為高斯終身的敵人。高斯在他的《天體運(yùn)動理論》中曾經(jīng)提到他很早發(fā)現(xiàn)的最小二乘法。勒讓德在高斯之前，于 1806 年發(fā)表了這個方法。他懷著極大的憤怒寫信給高斯，實(shí)際上是指責(zé)他不誠實(shí)，并抱怨說高斯有那么豐富的發(fā)現(xiàn)，原可以顧及體面，不必盜用最小二乘法 —— 勒讓德視之為他自己最珍愛的東西。拉普拉斯加入了這場爭吵。他沒有說他是否相信高斯所肯定的確實(shí)比勒讓德領(lǐng)先 10 年或者更早，但是他保持他一向溫文爾雅的態(tài)度。
高斯顯然不屑于就這件事再爭論下去。但是他在給一個朋友的信中指出了證據(jù)，要是高斯不是那么“傲慢而不屑于爭吵”，這個證據(jù)當(dāng)時就可以結(jié)束這場爭論。他說："我在 1802 年就把這整個問題告訴奧伯斯了。" 而如果勒讓德對此有所懷疑，他本可以問問奧伯斯，奧伯斯手上有手稿。
這次爭論對數(shù)學(xué)后來的發(fā)展是非常不利的，因為勒讓德把他沒有根據(jù)的懷疑告訴了雅可比，這樣就阻止了雅克比與高斯建立起親密的關(guān)系。在這場誤會中尤其令人遺憾的是，勒讓德是一個品德高尚的人，他本人是極為公正的。他命中注定要在一些領(lǐng)域里被比他富于想象力的數(shù)學(xué)家超過，他漫長而勤勞的一生，大部分都花費(fèi)在這些領(lǐng)域中，而他的辛勞被年輕人 —— 高斯、阿貝爾和雅可比 —— 證明是多余的。高斯每一步都走在勒讓德前面。然而當(dāng)勒讓德指責(zé)高斯做事不公正時，高斯感到他本人陷入了困境。他寫信給舒馬赫，埋怨說，
看來我是命中注定，幾乎在我所有的理論工作中都與勒讓德撞車。在高等算術(shù)中，在與橢圓求長法（尋找曲線的弧長過程）有關(guān)的超越函數(shù)的研究中，在幾何基礎(chǔ)中，都是這樣，而現(xiàn)在，在最小二乘法中，…… 也用在勒讓德的工作中，而且確實(shí)用得很漂亮。
高斯令人詬病的地方是，對于別人的偉大工作，特別是比較年輕的人的工作，缺乏熱誠。當(dāng)柯西開始發(fā)表他在單復(fù)變量函數(shù)理論中的光輝發(fā)現(xiàn)時，高斯對它們置若罔聞，高斯沒有對柯西說一句贊揚(yáng)或鼓勵的話，因為高斯本人在柯西開始這項工作以前很多年，就已達(dá)到了這個問題的核心。還有，當(dāng)哈密頓關(guān)于四元數(shù)的著作在 1852 年引起他的注意時，他什么也沒有說，因為這個問題的關(guān)鍵早已記在他 30 多年前的筆記中了。他保持沉默，沒有提出他的優(yōu)先權(quán)。正如對他在單復(fù)變量函數(shù)理論、橢圓函數(shù)和非歐幾何中的領(lǐng)先地位一樣，高斯?jié)M足于做了這些工作。
其他偉大貢獻(xiàn)
要闡述高斯對數(shù)學(xué)、純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的全部突出的貢獻(xiàn)，需要寫一本很厚的書。這里我們只能考慮一些還沒有提到的、比較重要的工作，我們將選擇那些給數(shù)學(xué)增添了新方法，或者圓滿解決了突出問題的工作。從粗略然而方便的時間表中，我們概括了高斯在 1800 年以后感興趣的主要領(lǐng)域如下：
1800——1820 年，天文學(xué)；
1820——1830 年，測地學(xué)、曲面理論、保角映射；
1830—1840 年，數(shù)理物理學(xué)，特別是電磁學(xué)、地磁學(xué)，以及基于牛頓定律的引力理論；
1841——1855 年，拓?fù)鋵W(xué)、與單復(fù)變量函數(shù)相聯(lián)系的幾何。
1821——1848 年，高斯是漢諾威和丹麥政府大規(guī)模測地勘測的科學(xué)顧問。高斯積極投身于這項工作。他的最小二乘法和他在設(shè)計處理大量數(shù)值數(shù)據(jù)的格式方面的技巧，有了充分發(fā)揮的機(jī)會，但更重要的是，在精確測量一部分大地曲面中出現(xiàn)的問題，無疑提出了與所有曲面有關(guān)的更深刻、更一般的問題。這些研究將引出相對論的數(shù)學(xué)。高斯的幾位前輩，特別是歐拉、拉格朗日和蒙日，已經(jīng)研究過關(guān)于某些類型的曲面幾何，但是它仍然有待于高斯去解決全部一般性的問題，從他的研究中產(chǎn)生了微分幾何的第一個偉大的時期。
微分幾何可以被粗略地描述為在一個點(diǎn)的鄰近處（近到使距離的高于二次的冪可被省略）對曲線、曲面等等性質(zhì)的研究。黎曼受到這項工作的啟發(fā)，在 1854 年寫出了構(gòu)成幾何基礎(chǔ)的假設(shè)的經(jīng)典論文，接著開始了微分幾何的第二個偉大時期，今天它被應(yīng)用于數(shù)理物理學(xué)，特別是廣義相對論中。
高斯在他的關(guān)于曲面的著作中考慮了三個問題，提出了對數(shù)學(xué)和科學(xué)具有重要意義的理論，這三個問題是曲率的測量、保角表示（即映射）和曲面的可貼性。
"彎曲的" 時空，是對一個用四個坐標(biāo)而不是用兩個坐標(biāo)描述的 "空間”中通?？梢姷那实募償?shù)學(xué)的擴(kuò)展，這種并不神秘的推廣是高斯關(guān)于曲面的工作的自然發(fā)展。他的一個定義說明了這一切的合理性。問題是要設(shè)想一些精確的方法，來描述曲面的" 曲率 "怎樣從曲面的一個點(diǎn)變到另一個點(diǎn)；這種描述必須附合我們對于" 彎曲得多 "和" 彎曲得不多 " 的直觀感覺。
由一個沒有扭結(jié)的閉合曲線 C 圍成的曲面，其任何部分的全曲率是如下定義的。曲面在給定點(diǎn)的法線是通過該點(diǎn)的直線，它垂直于在給定點(diǎn)與曲面相切的平面。C 的每一個點(diǎn)處有一根曲面的法線。想象所有這些畫出來的法線?，F(xiàn)在，想象一個球，其半徑為單位長度，從該球的中心，畫出所有平行于 C 的法線的射線。這些射線將在單位半徑的球上交出一條曲線，比如說 C'。球面上由 C' 所圍的那一部分的面積，就定義為給定曲面上由 C 圍出的那一部分的全曲率。稍微想象一下就會看出，這個定義與所要求的普通概念是一致的。
高斯在曲面研究中開拓的另一個基本概念是參數(shù)表示。
表示平面上的一個特殊點(diǎn)，要求兩個坐標(biāo)。在球面或像地球那樣的球體上也一樣：在這種情形下坐標(biāo)可以被想象為經(jīng)度和緯度。這說明了二維流形意味著什么。一般說來，如果要具體表示一類東西（點(diǎn)、聲音、顏色、線）中的每一個特殊成員（使其個性化），恰好 n 個數(shù)是充分且必要的，那么就說這個類是一個 n 維流形。在這樣的表示中，人們同意，只給該類成員的某些特征指定數(shù)。例如，如果我們只考慮聲音的音高，我們就有一個一維流形，因為一個數(shù)，即聲音的振動頻率，就足以決定音高；如果我們加上音量，聲音現(xiàn)在就是一個二維流形了，等等。如果我們現(xiàn)在把曲面看成是由點(diǎn)構(gòu)成的，我們就看出它是一個（點(diǎn)的）二維流形。我們發(fā)現(xiàn)，用幾何的語言把任何二維流形說成 "曲面"，并把幾何推理用于流形 —— 希望發(fā)現(xiàn)一些有趣的東西 —— 是很方便的。
上述考慮導(dǎo)致了曲面的參數(shù)表示。在笛卡兒的幾何中，三個坐標(biāo)之間的一個方程表示一個曲面。設(shè)（笛卡兒）坐標(biāo)是 x，y，z。我們現(xiàn)在用三個方程代替 x，y，z 的單獨(dú)一個方程來表示曲面：
其中 f（u，v），g（u，v），h（u，v）是新變量 u，v 的函數(shù)，當(dāng)這些變量被消去時，就得到 x，y，z 的曲面方程。u，v 稱為曲面的參數(shù)，三個方程 x=f（u，v），y=g（u，v），z=h（u，v）稱為曲面的參數(shù)方程。這種表示曲面的方法當(dāng)用于研究點(diǎn)與點(diǎn)之間變化很快的曲面的曲率和其他性質(zhì)時，要比笛卡兒方法優(yōu)越得多。
注意，參數(shù)表示是內(nèi)蘊(yùn)的；它的坐標(biāo)參照曲面本身，而不是像笛卡兒方法那樣，參照一組外在的與曲面無關(guān)的軸。還應(yīng)該注意到兩個參數(shù) u，v 直接表明曲面的二維性質(zhì)。地球上的經(jīng)度與緯度是這些內(nèi)在的、"自然" 坐標(biāo)的例子。
這個方法的另一個優(yōu)點(diǎn)是，它很容易推廣到任意維數(shù)的空間。只要增加參數(shù)的數(shù)目，像前面那樣做就足夠了。這些簡單的想法導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得的度量幾何的推廣。這個推廣的基礎(chǔ)是由高斯奠定的，但是它們對于數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的重要意義，直到 20 世紀(jì)才受到充分重視。
大地測量學(xué)的研究還向高斯提示了幾何學(xué)中另一個有力的方法，即保角映射方法的發(fā)展。保持角度的映射稱為保角映射。在這樣的映射中，單復(fù)變量解析函數(shù)理論是最有用的工具。保角映射的整個課題經(jīng)常用于數(shù)理物理學(xué)及其應(yīng)用，例如靜電學(xué)、流體力學(xué)和它的分支空氣動力學(xué)，在最后這個學(xué)科中，它在機(jī)翼理論中起了重要作用。
高斯一向仔細(xì)耕耘并取得成功的另一個幾何學(xué)領(lǐng)域，是曲面的可貼性，它要求決定什么樣的曲面能夠不拉伸、不撕裂、彎曲地貼到另一個給定的曲面上。在這里，高斯發(fā)明的方法又是具有普遍性的，并具有廣泛的用途。
高斯還對科學(xué)的其他領(lǐng)域進(jìn)行了重要研究，例如對電磁學(xué)（包括地磁學(xué)），毛細(xì)現(xiàn)象，引力規(guī)律中橢球體（行星是特殊類型的橢球體）之間的吸引力，以及屈光學(xué)，特別是關(guān)于透鏡組的屈光學(xué)等的數(shù)學(xué)理論，都作出了重要的研究。最后這個部門給他提供了一個應(yīng)用他的純抽象方法（連分式）的機(jī)會，這個方法是他在年輕時為了滿足對數(shù)論的好奇心而發(fā)展起來的。
高斯不僅把所有這些東西極端地數(shù)學(xué)化了，他還善于用他的雙手和雙眼將數(shù)學(xué)應(yīng)用于其他學(xué)科。他發(fā)現(xiàn)的許多特殊的定理，特別是他在電磁學(xué)和引力理論的研究中發(fā)現(xiàn)的定理，成了所有在物理科學(xué)方面的人們必不可少的工具。高斯在他的朋友韋伯的幫助下，為所有的電磁現(xiàn)象尋找一個滿意的理論達(dá)許多年之久。由于沒有找到他認(rèn)為滿意的理論，他放棄了這項嘗試。如果他發(fā)現(xiàn)了電磁領(lǐng)域中的克拉克?麥克斯韋方程，他可能就滿意了。
最后，我們必須提及拓?fù)鋵W(xué)，關(guān)于這個學(xué)科他除了在 1799 年他的論文中順便提了一下以外，什么也沒有發(fā)表，但是他預(yù)言它將成為數(shù)學(xué)中一個備受關(guān)注的主要課題。
高斯的最后幾年榮譽(yù)滿身，但是他并沒有得到他有權(quán)享受的幸福。在他去世前幾個月，當(dāng)那致命的疾病顯露出最初的癥狀時，高斯仍然像他過去那樣思想敏捷活躍，有著豐富的創(chuàng)造力。然而他只要能工作就工作，盡管他的手痙攣，他那優(yōu)美清晰的書寫最后難于辨認(rèn)了。他寫的最后一封信是給戴維?布魯斯特爵士的，談到電報的發(fā)明。
他幾乎一直到最后都是清醒的，經(jīng)過一番要活下去的努力掙扎以后，他在 1855 年 2 月 23 日凌晨安詳?shù)厝ナ?，享?78 歲。他活在數(shù)學(xué)的每一個地方。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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