現(xiàn)代概率論之父：柯爾莫哥洛夫的“隨機”人生

本文來自微信公眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：Slava Gerovitch

撰文 | Slava Gerovitch（麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系講師）

編譯 | Leo

踏入數(shù)學(xué)世界

如果兩個統(tǒng)計學(xué)家在森林里迷了路，那他們首先要做的事情就是把自己灌醉，這樣兩個到處亂晃的醉漢或許能彼此相遇。但如果他們是要想背起竹筐采蘑菇，那還是少喝兩杯為好，畢竟毫無目的的隨機走動會讓他們回到已經(jīng)采摘過的地點。

這件事情在統(tǒng)計學(xué)中，被稱之為隨機游走（random walk）或者說是醉漢漫步（drunkard's walk），這一模型表示，系統(tǒng)的未來狀態(tài)僅取決于當(dāng)前的狀態(tài)，而與過去無關(guān)。時至今日，這一模型已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于股價建模、分子擴散、神經(jīng)活動和種群動力學(xué)等過程，也可以用來解釋遺傳學(xué)中的“基因漂變”是如何導(dǎo)致某一基因（比如眼睛顏色）在人群中普遍存在的。

頗具諷刺意味的是，該理論模型不在乎過去、不在乎歷史，但它本身卻可謂是歷史悠久。它是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德烈?柯爾莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov，1903-1987）眾多理論成就之一。這位奇才異能的數(shù)學(xué)家涉獵極廣，他在平衡政治生活與學(xué)術(shù)生活的同時，也改變了“不可能”在數(shù)學(xué)中的地位。

后俄國革命時代的莫斯科文化思想活躍，當(dāng)時氛圍中充滿著實驗性文學(xué)、前衛(wèi)的藝術(shù)與激進(jìn)的新科學(xué)思想。年輕的柯爾莫哥洛夫也受此影響。在 20 世紀(jì) 20 年代初，柯爾莫哥洛夫還只是一名歷史系的學(xué)生，那時他在莫斯科大學(xué)提交了一篇論文，對中世紀(jì)俄羅斯人的生活進(jìn)行了非常規(guī)的統(tǒng)計分析。他發(fā)現(xiàn)，政府對村莊的課稅往往是整數(shù)，而分到每家戶人家時就成為了分?jǐn)?shù)。因此，他認(rèn)為在當(dāng)時稅收政策是按村繳納再攤派到戶，并不是按戶納稅再由村莊收齊上繳?！肮伦C不立”，歷史教授對他的發(fā)現(xiàn)給出了極為嚴(yán)厲的批評，“一個證據(jù)是不夠的，你至少要找到五個例證。”

這也就不奇怪為何柯爾莫哥洛夫會投身數(shù)學(xué) —— 數(shù)學(xué)定理只證明一次就夠了。

學(xué)術(shù)理論背后的政治現(xiàn)實

柯爾莫哥洛夫轉(zhuǎn)向概率論領(lǐng)域也同樣源于一次偶然。當(dāng)時，概率論這一數(shù)學(xué)分支的聲譽并不太好，因為過去的人們總是把概率視為神靈意志的體現(xiàn)。在古埃及和古典希臘，人們就認(rèn)為擲骰子是一種可靠的占卜和算命的方法。到了 19 世紀(jì)初期，歐洲數(shù)學(xué)家已掌握了一些正確計算概率的方法，并將概率定義為目標(biāo)事件數(shù)與所有等可能事件數(shù)的比值。但其缺陷在于，概率是根據(jù)等可能的事件來定義的，因此只適用于元素有限的系統(tǒng)。面對無窮大的系統(tǒng)時，比如有無數(shù)個面的骰子，或者一個連續(xù)的球面，當(dāng)時的概率論就顯得捉襟見肘了。

然而，柯爾莫哥洛夫是珍惜聲譽與名望的。換專業(yè)后，柯爾莫哥洛夫最先被莫斯科大學(xué)里的一個數(shù)學(xué)圈子所吸引。他們的領(lǐng)導(dǎo)者是一位魅力非凡的老師，尼古拉?盧津（Nikolai Luzin，1883-1950）。盧津的弟子們給這個組織起了個綽號叫盧津塔尼亞（Luzitania）—— 把盧津的名字和一戰(zhàn)中被擊沉的著名英國遠(yuǎn)洋郵輪盧西塔尼亞號（RMS Lusitania）連在了一起。如柯爾莫哥洛夫所說，他們是通過“共同的心跳”凝聚在一起。他們常在課后一起批判數(shù)學(xué)創(chuàng)新。在他們的口中，偏微分方程（partial differential equations）成了“偏不尊重方程”（partial irreverential equations），有限差分（finite differences）成了“美夢差分”（fine night differences）。那時，概率論因其理論根基不牢又悖論叢生，在他們口中就變成了“不幸論”（theory of misfortune）。

受盧津塔尼亞的影響，柯爾莫哥洛夫?qū)Ω怕收摰膽B(tài)度也發(fā)生了轉(zhuǎn)變。20 世紀(jì) 30 年代斯大林主義的恐怖活動爆發(fā)，秘密警察會在半夜敲響每個人的房門，毫無規(guī)律的隨機性似乎統(tǒng)治了人們的生活。在恐懼的威懾下，很多人為了自保而告發(fā)他人。數(shù)學(xué)圈中的布爾什維克黨活動人士里就有盧津的學(xué)生。他們以盧津在國外發(fā)表自己的研究論文為由，指控其政治上不忠誠并對其進(jìn)行批判?？聽柲缏宸蛞苍趪獍l(fā)表過文章，出于對自己學(xué)術(shù)生涯的擔(dān)心，他對政治問題表現(xiàn)出了明顯的妥協(xié)。當(dāng)莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長因支持教派而被監(jiān)禁時，他接任了這一職位。此時，柯爾莫哥洛夫也加入了批判盧津的人群。盧津收到了來自蘇聯(lián)科學(xué)院的審判，失去了所有的職務(wù)，但他卻逃脫了來自政府當(dāng)局的逮捕和槍決。

與盧西塔尼亞號一樣，盧津塔尼亞也被擊沉了。不一樣的是，盧津塔尼亞是被自己的船員擊沉的。

“不可能”的大圓

且不談柯爾莫哥洛夫的道德問題，他確實“贏了”，保住了自己的研究工作。而與他在政治上的順從所不同的是，柯爾莫哥洛夫的研究思想?yún)s是比較激進(jìn)的，他將概率論做了根本性的修正。他所使用的是一種由法國傳入的名為測度論（Measure theory）的東西，當(dāng)時算得上是時髦理論。測度論將長度、面積、體積等概念泛化，使得無法被常規(guī)方法測量的數(shù)學(xué)對象可能被測量。例如，一個有無限多個孔的正方形，被切割成了無窮多份并散落在了無限的平面中，借助測度論我們?nèi)匀豢梢员硎境鲞@個七零八碎的物體的“面積”（測度）。

柯爾莫哥洛夫在概率和測量之間進(jìn)行了類比，得出了五個公理，現(xiàn)在通常表述為六個，他的工作使概率論真正成為數(shù)學(xué)分析中的一部分。他的理論中最基本概念是“基本事件（fundamental event）”，即單一實驗的結(jié)果，例如擲硬幣。所有基本事件構(gòu)成了一個 “樣本空間（sample space）”，即所有可能結(jié)果的集合。舉個例子，假如某個區(qū)域常會出現(xiàn)閃電，樣本空間就包括該區(qū)域所有可能發(fā)生閃電的位置 。一個隨機事件被定義為樣本空間中的一個“可測集（measurable set）”，而隨機事件的概率則是可測集的“測度（measure）”。例如，閃電擊中某位置的概率只取決于這個位置的面積（“測度”）。兩個同時發(fā)生的事件可以用它們的測度的交集來表示；條件概率可以看成測度的相除；兩個互不相容的事件其一發(fā)生的概率則用測度的加法來表示（也就是說，A 或 B 被閃電擊中的概率等于它們面積之和）。

大圓悖論（The Paradox of the Great Circle）就是通過柯爾莫哥洛夫的概率論得以解決的。大圓悖論是說，假設(shè)有外星人會隨機降落到一個完美的球形星球上，且降落到每個點的概率也都是平均的，這是否意味著所有球體的大圓（great circle，即過球心的平面和球面的交線，把球體分成了兩個相等的半球）上的降落概率都是一樣的呢？其結(jié)果是，對于赤道所在的大圓而言，圓上每個點的概率是均等的。而對于經(jīng)線來說，靠近赤道的點概率大，靠近兩極的點概率小。這一發(fā)現(xiàn)或許可以用越靠近赤道緯度圈越大來解釋。但是，這種結(jié)果與我們的直覺相違背，因為對于一個完美的球體而言，通過旋轉(zhuǎn)，赤道可以變成任意一條經(jīng)線?？聽柲缏宸蛘J(rèn)為，大圓是一條線段，面積是零，因此測度為零。這一悖論的矛盾之處就在于我們無法嚴(yán)格計算相關(guān)的概率。

在零測度的條件概率世界中短暫的逃避了“大清洗”后，柯爾莫哥洛夫仍然要為現(xiàn)實世界的問題所困擾。二戰(zhàn)時期，蘇聯(lián)當(dāng)局要求柯爾莫哥洛夫研究提高炮火效率的方法。柯爾莫哥洛夫發(fā)現(xiàn)，在某些情形下，與其提高每一顆炮彈的命中率，還不如對小幅度偏離目標(biāo)的范圍進(jìn)行連續(xù)猛擊。這一策略被稱之為是“人工散布（artificial dispersion）”。在柯爾莫哥洛夫主持下的莫斯科大學(xué)概率系也計算了低空、低速轟炸的彈道表。為表彰柯爾莫哥洛夫在二戰(zhàn)時期的貢獻(xiàn)，蘇聯(lián)政府于 1944 年和 1945 年授予了他兩枚列寧勛章。二戰(zhàn)后，他擔(dān)任了熱核武器計劃的數(shù)學(xué)顧問。

洞察藝術(shù)世界的概率視角

出于專業(yè)興趣，柯爾莫哥洛夫?qū)嶋H上對哲學(xué)更加有所偏愛。數(shù)學(xué)出身的他相信，這個由隨機決定的世界卻有序運行，其背后也有概率論的規(guī)律可循。他常常思考那些“不可能”的事情在人類生活中的影響。

1929 年，在一次獨木舟旅行中，柯爾莫哥洛夫與數(shù)學(xué)家帕維爾?亞歷山德羅夫（Pavel Alexandrov，1896-1982）相遇，從此二人也成為了終生的好友。在一封長信中，亞歷山德羅夫坦率地指責(zé)柯爾莫哥洛夫喜歡在火車上與人攀談，并暗示這種交際太膚淺，并不能真實地了解一個人。而柯爾莫哥洛夫表示了反對，他以一種激進(jìn)的概率論視角來看待社會交際。在這樣的交際互動中，交際的對象是更大群體的統(tǒng)計樣本?！叭藭沫h(huán)境中領(lǐng)悟真諦，并將養(yǎng)成的生活方式與世界觀帶給周圍任何的人，不只是特定的朋友?！笨聽柲缏宸蛟诨匦胖姓f。

對柯爾莫哥洛夫來說，音樂和文學(xué)也非常重要，他相信自己可以從概率的視角去洞察人類心靈的運作方式。他也是一個文化精英主義者，認(rèn)為藝術(shù)的價值是分三六九等的。最頂尖的就是歌德、普希金和托馬斯?曼的著作，還有巴赫、維瓦爾第、莫扎特和貝多芬的音樂作品 —— 這些作品的永恒的價值類似于永恒的數(shù)學(xué)真理?？聽柲缏宸驈娬{(diào)，每一件真正的藝術(shù)作品都是獨一無二的，是所謂“不可能”的事物，是超脫統(tǒng)計規(guī)律以外的事物。他在 1965 年的一篇文章中諷刺地問道，“有沒有可能把‘托爾斯泰的《戰(zhàn)爭與和平》’以一種合理的方式納入‘所有可能的小說’集合中，并進(jìn)一步假定這一集合中存在某種特定的概率分布？”

同時，柯爾莫哥洛夫也渴望能找到解密藝術(shù)創(chuàng)作本質(zhì)的鑰匙。1960 年，柯爾莫哥洛夫為一組研究人員配備了機電計算器，指派他們計算俄羅斯詩歌的節(jié)奏結(jié)構(gòu)?？聽柲缏宸?qū)嶋H韻律與古典韻律的偏差特別感興趣。在傳統(tǒng)詩學(xué)中，抑揚格是由一個非重讀音節(jié)跟著一個重讀音節(jié)組成的。但在實際的創(chuàng)作中，這條規(guī)則卻很少被遵守。普希金的《葉甫蓋尼?奧涅金》是俄語中最著名的古典抑揚格詩，全詩的 5300 行中，幾乎有四分之三的詩句違反了抑揚格定義，超過五分之一的音節(jié)都非重讀音節(jié)?？聽柲缌_夫認(rèn)為，重音偏離古典韻律定義的頻率為詩人提供了一個客觀的“統(tǒng)計畫像”。在他看來，一種不太可能出現(xiàn)的重音模式恰好反映了藝術(shù)的創(chuàng)造性和表現(xiàn)力。通過對普希金、帕斯捷爾納克和其他俄國詩人作品的研究，柯爾莫哥洛夫認(rèn)為，詩人對韻律格式的獨特運用，奠定了自己作品的“調(diào)性”。

為了衡量文本的藝術(shù)價值，柯爾莫哥洛夫還采用了字母猜測法來估算自然語言的熵（entropy）。在信息論中，熵是對不確定性或不可預(yù)測性的度量。對于信息而言，一份信息的不可預(yù)測性越大，它所攜帶的信息量就越多。在柯爾莫哥洛夫眼中，熵成為了一種評價藝術(shù)獨創(chuàng)性的指標(biāo)。他的研究小組進(jìn)行了一系列實驗：給志愿者們展示一段俄羅斯散文或詩歌，并讓他們猜下一個字母，再猜一個，以此類推。柯爾莫哥洛夫私下說過，從信息論的觀點來看，蘇聯(lián)報紙的信息量不如詩歌。因為政治話語會使用大量的固定短語，內(nèi)容更容易預(yù)測。而對于詩歌來說，盡管存在嚴(yán)格的格律要求，但那些偉大詩人的作品卻難以預(yù)測。他認(rèn)為這就是詩人的獨特標(biāo)志，也是藝術(shù)上的不可能，但概率論有助于衡量藝術(shù)的價值。

雖然將《戰(zhàn)爭與和平》這樣的小說置于一個概率樣本空間的想法遭到了柯爾莫哥洛夫的蔑視，他卻可以通過計算《戰(zhàn)爭與和平》的復(fù)雜性來表達(dá)其不可預(yù)測性?？聽柲缏宸蚣僭O(shè)，復(fù)雜性是一個對象的最短描述長度，或者是生成一個對象的算法的長度。確定性的對象的描述是簡單的。比如，它可以通過一個周期性的 0 和 1 組成的序列產(chǎn)生。但不確定的、真正隨機的對象則是復(fù)雜的，任何生成算法的長度都必須和對象本身一樣長。比如，無理數(shù)，小數(shù)點以后的數(shù)字沒有規(guī)律可循（循環(huán)小數(shù)可用一個簡潔的分?jǐn)?shù)來表示）。因此，大多數(shù)無理數(shù)都屬于復(fù)雜對象，因為要描述它們就只能原樣再寫一遍。這種對復(fù)雜性的理解是符合直覺的，即沒有任何辦法去預(yù)測、描述一個隨機對象。今日，這一觀點對于衡量一個物體所需的計算資源非常重要，在網(wǎng)絡(luò)路由、排序算法和數(shù)據(jù)壓縮都有所應(yīng)用。

了解不可能就是最大的可能

按照柯爾莫哥洛夫的標(biāo)準(zhǔn)來看，他自己的一生也是復(fù)雜的?？聽柲缏宸蛴?1987 年去世，享年 84 歲。他一生經(jīng)歷過俄國革命、兩次世界大戰(zhàn)和冷戰(zhàn)，而在學(xué)術(shù)上他幾乎觸及了數(shù)學(xué)的一切領(lǐng)域，其影響也遠(yuǎn)超學(xué)術(shù)界。無論他的人生歷程屬于“醉漢游走”，還是“不走回頭路的采蘑菇之旅”，這一段歷程都難以預(yù)測，難以描述。他在描述并應(yīng)用“不可能”的成功，使概率論真正成為“可能”，由此為無數(shù)科學(xué)與工程應(yīng)用開辟了新的天地。當(dāng)然，對于不可預(yù)測性，他的理論也拉大了人類所擁有的直覺和數(shù)學(xué)理論之間的差距。

對于柯爾莫哥洛夫來說，他的思想既沒有消除不確定性，也沒有肯定我們世界根本上的不確定。他只是提供了一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言來討論那些無法確定的事情。他曾經(jīng)說過，“絕對隨機”并不比“絕對必然”更有意義，我們無法對不可知的事物存在確切的認(rèn)知。

但要感謝安德烈?柯爾莫哥洛夫，我們可解釋自己何時以及何因不知道。

本文譯自 The Man Who Invented Modern Probability

https://nautil.us/issue/4/the-unlikely/the-man-who-invented-modern-probability

廣告聲明：文內(nèi)含有的對外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。