設(shè)想你正駕駛飛機執(zhí)行秘密任務(wù)。你要如何才能盡量避免被地面上的敵人用雷達發(fā)現(xiàn)呢？這是個被數(shù)學家，行業(yè)專家以及國防科學技術(shù)實驗室（DSTL）成員在近期一次會議中共同討論的問題。工作組用精密的數(shù)學給出了這一棘手的現(xiàn)實問題的解決方案，而大概的想法是受到了一些基礎(chǔ)幾何學的啟發(fā)產(chǎn)生的。這正是本文想分享的內(nèi)容。
基本規(guī)則
讓我們考慮下面的這種略微簡化的情況。設(shè)想一個包含發(fā)射臺（transmitter）的雷達系統(tǒng)，其中發(fā)射臺可以發(fā)送短促的向四面八方傳播的雷達脈沖。這種脈沖被稱為聲脈沖。雷達系統(tǒng)還包含著多個可以探測聲脈沖的接收臺（receivers）。每一個接收臺都知道距離發(fā)射臺有多遠，以及知道發(fā)射臺發(fā)出聲脈沖的準確時間。
現(xiàn)在想象你所駕駛的飛機在發(fā)射臺和接收臺的探測范圍內(nèi)。當雷達脈沖碰到飛機后會向許多不同的方向散射。如果一個接收臺在反射的聲脈沖的傳播路徑上，它就會監(jiān)測到這個聲脈沖。由于相較直接傳播到接收臺的聲脈沖，經(jīng)過反射到達接收臺的聲脈沖所走過的路程更遠，后者自然更晚到達接收臺，接收臺因此可以分辨出哪一個是經(jīng)過反射到達的信號。而反射的聲脈沖所走過的總路程正是發(fā)射臺和飛機距離加上接收臺和飛機距離。
你駕駛的飛機在天上，而雷達系統(tǒng)在地上，因此我們面對的是一個三維空間中的問題。為了簡化該問題，我們假設(shè)只在二維空間考慮這一問題。這意味著你駕駛的飛機也在地面上飛！當然實際情況不會是這樣，但是這種簡化并不會影響我們想解決的問題。我們可以將這一情形推廣回三維，這將在下一節(jié)的最后實現(xiàn)。
它們?nèi)绾味ㄎ荒?/h2>
現(xiàn)在想象一個接收臺探測到了經(jīng)一個物體反射后的聲脈沖。聲脈沖是以光速 c，即每秒 30 萬千米的速度運動的。之所以是這樣，因為雷達發(fā)射的無線電波本質(zhì)上與可見光一樣，都是一種電磁輻射，所以都以光速行進。
由于接收臺知道發(fā)射臺發(fā)出信號的準確時間，只需查看是何時收到的信號就可以算出聲脈沖傳播了多久。
用傳播時間 t 乘以傳播速度 c 就得到了聲脈沖的傳播距離 d，即
而在前面已經(jīng)解釋過，這個距離 d 等于發(fā)射臺與物體距離和接收臺與物體距離之和。
這意味著該物體（比如你駕駛的飛機）可能在的位置需要滿足這樣的條件：到發(fā)射臺和接收臺的距離之和為 d。早在雷達被發(fā)明以前，古希臘人就知道這些可能的位置組成的圖形（在二維情況下）是一個橢圓。
下面介紹一下數(shù)學上對于橢圓的定義。在二維平面中給定兩個點 T 和 R，再給定一個距離 d，該距離 d 應(yīng)大于 T 和 R 的間距。那么，所有與 T 和 R 的距離之和為 d 的點就構(gòu)成了一個橢圓。而 T 和 R 這兩個點稱為橢圓的焦點。
在我們的例子中，點 T 和 R 就相當于接收臺和發(fā)射臺的位置。因此接收臺知道反射了聲脈沖的物體就在一個橢圓上的某處，而橢圓的焦點就是接收臺以及發(fā)射臺所在的位置。如果在所關(guān)心的區(qū)域內(nèi)建立坐標系，接收臺可以寫出描述這一橢圓的方程式。于是它就可以知道橢圓上每一個點的準確位置，即物體可能在的每一個位置。
現(xiàn)在想象有另一個接收臺也探測到了信號聲脈沖的反射波。與第一個接收臺的情況一樣，它知道物體就在以自己所在位置以及發(fā)射臺位置為焦點的橢圓上。我們現(xiàn)在知道了兩個不同的橢圓，且物體必然同時位于這兩個橢圓上，這意味著物體必須在兩個橢圓相交的位置上。一般來說，兩個橢圓可以相交于四個點（可以想象兩個橢圓像十字一樣交叉）。然而，在我們的實際例子中兩個橢圓共用一個焦點，它們最多會相交于兩個點。你可以用軟件作圖或者數(shù)學推演的方法確認這一點。
這樣一來，物體可能存在的位置就被鎖定在最多兩個點上：即兩個橢圓的交點處。
以此類推，如果有第三個接收臺探測到反射波，就可以最終確定物體的位置。第三個接收臺會引入與前兩個不同的第三個橢圓，而發(fā)射臺仍處在該橢圓的一個焦點處。這個被定位的物體必須處在所有的三個橢圓上 —— 而平面上這樣的點只會有一個，至少只要第三個反射脈沖與前兩個傳播距離都不同的情況下一定是這樣。如果每一個接收臺都將各自推斷出的橢圓方程發(fā)送給一個控制中心，那么控制中心就可以計算出這個點的位置。實際上，電腦可以在一瞬間計算出這個位置。
我們剛剛說明了，在二維情況下，只要有三個敵人的接收臺收到了從你的飛機反射出去的聲脈沖，他們就可以確定你的位置。如果敵方有足夠多合理排布的接收臺，那么任何飛過附近區(qū)域的物體反射的聲脈沖都會被足夠多的接收臺探測到，這也就意味著無論如何你都會被發(fā)現(xiàn)。
在我們進入到下面的關(guān)于如何蒙蔽敵人的環(huán)節(jié)前，簡要提一下如何將上述情節(jié)推廣到三維。在三維情況下，一個接收到反射信號的接收臺可以推斷該物體處在一個橢球面上 —— 這是一個三維版本的橢圓，將橢圓繞其連接兩個焦點的長軸旋轉(zhuǎn)就可以得到橢球面。此時所面對的數(shù)學運算更復雜了，但是通常來講四個相交的橢球，即對應(yīng)四個接收臺就可以精確定位飛機的位置。
你如何蒙蔽敵人
一種在敵人面前隱藏自己的方法就是在你的飛機表面附上一層顯著吸收雷達聲脈沖而只反射很少部分的材料，這樣一來，反射的部分就不足以讓接收臺監(jiān)測到。但是，即使你沒有這樣的特殊材料，你也可以蒙蔽敵人，
設(shè)想你可以探測到并記錄來自發(fā)射臺的雷達聲脈沖。你可以在一定延遲后重新廣播這一信號。這樣一來你的敵人會定位到兩個你，且處在截然不同的位置上。這可以在某種程度上避免被捕捉到：如果敵人決定跟蹤你，他們需要在你和你的虛構(gòu)出的映像之間分配資源。
在會議的討論中，數(shù)學家們展示了你可以更進一步。剛剛我們忽略的一點是，駕駛飛機的你其實是在移動的。為了確認一個移動物體的軌跡，你的敵人可能發(fā)送重復的聲脈沖。這將使他們可以對于你的去向做出預測并試圖攔截你。
數(shù)學家們表示（假定你以勻速朝著確定方向前進時）你可以調(diào)節(jié)你延遲發(fā)射信號的時間讓接收臺認為第二個物體以與你的飛機截然不同的軌跡在行進。通過發(fā)送幾組延遲信號，你甚至可以讓他們認為有多個物體，每一個都朝著不同的方向前進，這將嚴重迷惑你的敵人，減少你被捕捉的可能性。
超越基礎(chǔ)知識的考慮
數(shù)學家們在會上所用到的數(shù)學比我們提到的更加精密。至關(guān)重要的是，數(shù)學家們考慮到了現(xiàn)實中總會出現(xiàn)的不確定性。例如，由于接收臺無法 100% 準確地測量反射信號的飛行時間，所以他們無法 100% 準確地定位一個物體。此外，電磁輻射從飛機這樣復雜的物體處的散射和吸收行為也會帶來誤差，這些都會引入不確定性。
數(shù)學家們假定，為了應(yīng)對不確定性，敵人將對于接收到的信號進行統(tǒng)計分析以得出所探測物體最可能的位置或者軌跡。這樣的分析是基于貝葉斯理論進行的。該理論使你可以基于新證據(jù)（如反射的信號）以及你已知的信息（如你認為剛剛飛機在哪里）來推測某件事情（例如飛機當前在哪里）發(fā)生的幾率。
現(xiàn)代通信的背景下，每個國家都需要在空間、天空、陸地、海洋和網(wǎng)絡(luò)等多個領(lǐng)域有效運作。在我們關(guān)于雷達的例子中，這種操作使用的是電磁波譜。問題是，由于民用和軍事對電磁波譜的需求持續(xù)增長 (例如對于 5G 的需求)，我們的“電磁環(huán)境”變得越來越擁擠且有競爭。而上面提到的會議正是為了尋求將新的數(shù)學應(yīng)用于這一問題引起的挑戰(zhàn)而進行的活動之一。
很有趣的是，盡管我們考慮的問題十分復雜，我們依然可以從 2000 多年前就知道的基礎(chǔ)數(shù)學中獲得解決問題的靈感。
作者：Marianne Freiberger
翻譯：云開葉落
審校：利有攸往
本文來自微信公眾號：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Freiberger
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