作者：叢雨
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引言
要把探測器送往火星，總共需幾步？一般來講，從地球發(fā)向其他行星的探測器的飛行過程大致分為三個階段：火箭發(fā)射升空并繞地球運行、變軌加速以脫離地球引力前往目標行星、抵達后在目標行星上環(huán)繞或著陸。其中一三階段時間短但步驟和細節(jié)繁雜，而二階段將占據(jù)飛行器旅程的大部分時間。本文將從航天器的運動和軌道問題出發(fā)，介紹天體運動和變軌問題的一些簡單知識。
三種宇宙速度
我們將首先從航天器的速度問題開始。
眾所周知，水平方向拋出的物體，初速度越快，落點越遠，當它的速度達到 7.9 km / s 時，便再也無法落回地面，將僅在地球引力的影響下環(huán)繞地球做勻速圓周運動。這便是地球的第一宇宙速度，是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小初速度，也是以圓軌道繞地球運動的最大線速度。
如果發(fā)射時初速度達到約 11.2 km / s，即地球的第二宇宙速度時，飛行器就能恰好完全擺脫地球的引力，且之后無需加速。天體的第二宇宙速度又稱逃逸速度，以逃逸速度從天體表面沿任何方向發(fā)射的無動力物體，在引力作用下速度會慢慢減小，當飛行至無窮遠時速度恰好為 0。逃逸速度是第一宇宙速度的 倍，可用動能和引力勢能（ ，無窮遠處為勢能零點）相互轉(zhuǎn)化來計算，這一過程中，動能逐漸轉(zhuǎn)換成引力勢能，直到無窮遠處雙雙為 0。
第三宇宙速度是同時脫離地球和太陽引力所需的最小發(fā)射初速度，與方向任意的第二宇宙速度不同，它要求飛行器的初始運動方向必須與地球公轉(zhuǎn)相同，從而可以借助地球公轉(zhuǎn)的速度，減少燃料消耗。根據(jù)上文可知，地球軌道處太陽的逃逸速度是圓軌道速度 29.8 km / s 的 倍，約 42.1 km / s，因此飛行器除了需要二者相差的 12.3 km / s 對應(yīng)的動能來脫離太陽引力，還需另外的 11.2 km / s 對應(yīng)的動能以逃離地球，這兩個動能數(shù)值之和對應(yīng)的速度就是第三宇宙速度 16.7 km / s。
顯然，往返于地球與其他行星之間的行星際飛行器，目的地距離地球較遠，可以說需要完全克服地球引力，但又不會離開太陽的引力范圍，因此它們的速度通常介于 和 之間。
不同速度的軌道
其次，我們考慮不同的軌道速度和發(fā)射方向所對應(yīng)的具體軌道形狀。
最簡單的情形是物體沿水平方向拋出。第一宇宙速度 的軌道形狀是圓形，假如速度略大于此，物體的向心加速度將大于引力所提供的，軌道將會是一個橢圓 —— 以地球中心為焦點，發(fā)射位置為近地點。而隨著初速度的增大，橢圓將越來越扁，遠地點高度、半長軸和偏心率也慢慢增加，倘若以第二宇宙速度 發(fā)射，軌道的偏心率將變成 1，半長軸和遠地點距無窮大，也就是一個開放的拋物線軌道。如果初速度比 還大，飛行器相對地球的軌道將是雙曲線的一支，偏心率大于 1，半長軸在天體力學(xué)中被定義為一個負值。
而回顧一下那些發(fā)射速度小于 的平拋運動，嚴格來講，它們的軌跡其實也是橢圓，只是初速度很小時，橢圓同樣很扁，離心率無限接近 1，因此可以當作拋物線來看待。這時的初始拋射位置是橢圓的遠地點，近地點則在地球內(nèi)部。
實際上，除去豎直向上發(fā)射這一種特殊情況，當物體的初速度分別小于、等于和大于 時，哪怕發(fā)射方向并非水平，軌道依舊會分別是橢圓、拋物線和雙曲線，不過方向不同的情況下，橢圓或雙曲線的半長軸和偏心率、拋物線的焦距也有所不同。對于這些方向并非水平的情形，若已知速度大小和矢徑長度，我們可以通過計算物體的機械能來判斷軌道形狀和半長軸的大小，動能與勢能之和小于、等于或大于 0 分別對應(yīng)著橢圓、拋物線和雙曲線軌道。由于二體問題中系統(tǒng)的機械能 ，繼而可以求得它們的半長軸 。
變軌運動與霍曼轉(zhuǎn)移
最后，讓我們來到航天器的變軌話題上。由于實際的變軌和軌道設(shè)計必然極其復(fù)雜，因此以下只介紹一些簡單的理論和思路。
考慮一艘在近地軌道以圓形繞地球運轉(zhuǎn)的飛船或衛(wèi)星，突然沿原本的運動方向點火加速。此時它的運動速度將大于此處的圓軌道環(huán)繞速度，向心加速度也將大于圓周運動所需，軌道變成以加速位置為近地點的橢圓軌道，這與我們上文談?wù)摰牡乇硭俣冉橛?nbsp; 和 之間的情形相同。待它運行至遠地點，飛船再沿運動方向進行一次適當?shù)募铀?，使速度恰好等于當前距離的環(huán)繞速度，它便成功地變軌至一個半徑比最初更大、高度比原來更高的圓軌道上 —— 這就是變軌操作的基本思路。而降低軌道高度只需逆向操作，減速降至橢圓軌道，并在近地點再次減速即可。
當然，變軌后的軌道并不一定必須是圓，短時間內(nèi)引擎單次點火釋放的能量也許不足以抵達目標高度，可以等衛(wèi)星環(huán)繞一圈返回初始位置后再次點火，或采用每次達到遠地點都進行加速的多次變軌方式，此時的衛(wèi)星軌道就是一個個大小不同的橢圓環(huán)環(huán)相套；加速（或減速）的位置也并不僅局限于遠地點（或近地點），但是將目標軌道設(shè)置為遠地點的方法，消耗的燃料是最少的 —— 更大的初速度則代表著需要更高的初動能，而以恰到好處的初速度前往確定的位置，自然可以節(jié)約能量。
把上述雙切軌道推廣到不同行星之間也是一樣的，這種以內(nèi)行星軌道上的某一位置作為近日點、外行星軌道上的某一位置作為遠日點，且與兩行星軌道均相切的軌道被稱作霍曼轉(zhuǎn)移軌道，是行星際旅行最節(jié)省能源的路線。飛往外行星時沿地球公轉(zhuǎn)方向加速，靠近目標行星時再次加速追趕；前往內(nèi)行星時朝公轉(zhuǎn)的反方向減速，接近目標行星時再次減速停留。因為太陽系的諸多行星處于不斷的運動之中，它們與地球的相對位置也在時刻改變，所以行星際飛行器發(fā)射的最佳時機是呈周期性變化的，它等同于地球和目標行星的會合周期。
霍曼轉(zhuǎn)移由于路程遠且速度慢，消耗的時間太長，某些時候僅僅為了節(jié)約燃料卻浪費大量時間似乎有些得不償失，因此還可以采用拋物線軌道，即需達到地球軌道處太陽的逃逸速度（相對地球的初速度當然是 16.7 km / s），在出發(fā)和抵達階段花費更多燃料加速和減速。下表列出了去往各行星所需的時間，可以看出與雙切霍曼轉(zhuǎn)移軌道相比，拋物線軌道的確耗時極短。
最后值得一提的是，各大行星軌道都并非正圓，且軌道傾角各不相同，不僅如此，行星際飛行器的飛行途中還要計算目標之外行星的引力攝動，甚至太陽爆發(fā)的影響和穿越小行星帶的安全問題也是必須考慮的，真實的軌道設(shè)計工作自然不是三言兩語能夠講述清楚的，本文便只做這些簡略介紹，權(quán)當拋磚引玉之用。
本文來自微信公眾號：APC 科學(xué)聯(lián)盟 （ID：apcscience），作者：APC 君
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