大腦怎樣感知數(shù)

本文來自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：徐子龍

撰文 | 徐子龍

數(shù)是什么？我們是怎樣感知數(shù)的？

這好像是一個(gè)很簡(jiǎn)單很天真的問題。但其實(shí)，在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，這是一個(gè)最基礎(chǔ)的問題，一直懸而未決。早在古希臘時(shí)期，就有先哲提出此問題。

本文試圖從生物進(jìn)化、心理學(xué)、神經(jīng)科學(xué)和哲學(xué)等多個(gè)視角來看看人類是怎樣努力探求這個(gè)問題的答案的。

聰明的“寶馬”漢斯

人能識(shí)別數(shù)，并做計(jì)算。這是人類特有的能力，還是從我們的動(dòng)物祖先那里通過基因繼承到大腦中的一種進(jìn)化傳家寶？

真的只有人類能感知數(shù)嗎？動(dòng)物也行嗎？

且聽一段百年前寶馬漢斯的故事。

1904 年，德國(guó)數(shù)學(xué)教師威廉?馮?奧斯騰（Wilhelm von Osten）向柏林的觀眾介紹了他訓(xùn)練的一匹馬，名叫漢斯（Hans），人稱 "聰明的漢斯"（圖 1）。當(dāng)馮?奧斯滕在黑板上寫下一個(gè)算式，比如“2+3”，漢斯會(huì)用蹄子準(zhǔn)確地敲擊五下，然后停下來。而且漢斯還能解決更復(fù)雜的算術(shù)問題（如圖 2）。當(dāng)時(shí)有人懷疑這是馬戲團(tuán)的把戲，十三位著名的專家學(xué)者（包括哲學(xué)家、心理學(xué)家）組成了一個(gè)“漢斯委員會(huì)”，專門調(diào)查此事，但他們最終沒有發(fā)現(xiàn)任何騙局。

后來，德國(guó)心理學(xué)家奧斯卡?豐斯特（Oskar Pfungst，1874-1932）再次調(diào)查了漢斯。豐斯特發(fā)現(xiàn)，即使不是馮?奧斯滕本人提問，馬也能給出正確的答案，這就排除了馬主人作弊的可能性。然而，重要的是，只有當(dāng)提問者知道答案是什么，并且馬能看到提問者時(shí)，漢斯才會(huì)得到正確的答案。如果提問者不知道結(jié)果，或者不在馬的視線范圍內(nèi)，漢斯就無法答出題目。于是，豐斯特得出結(jié)論，漢斯并不是真的會(huì)做算術(shù)，而是利用提問者無意的身體暗示來答題。在漢斯點(diǎn)蹄時(shí)，它會(huì)觀察到提問者以及圍觀者的姿勢(shì)、面部表情或呼吸模式的輕微變化，在正確的時(shí)刻停止點(diǎn)蹄。他據(jù)此提出了所謂的“漢斯效應(yīng)”（圖 3）。

由此可見，漢斯馬并沒有那么聰明，它并不是真都會(huì)做數(shù)學(xué)計(jì)算，而只是通過觀察周圍人的動(dòng)作表情來做出反應(yīng)。從這一點(diǎn)來說我們可以認(rèn)為動(dòng)物是有靈性的，但無法證明動(dòng)物有數(shù)的概念。

心理學(xué)家豐斯特在文章中寫道 ^[1]：

“數(shù)在我們?nèi)祟惾粘Ｉ钪惺潜夭豢缮俚?。但是，在我們的祖先成為智人之前，?shù)的感知對(duì)他們有什么用呢？動(dòng)物一開始就會(huì)使用數(shù)字嗎？根據(jù)生物進(jìn)化需要適應(yīng)環(huán)境的原理，顯然，只有當(dāng)數(shù)的感知能力對(duì)個(gè)體有益（或至少無害）時(shí)，這種能力才會(huì)在種群中世代保持，有時(shí)在大的動(dòng)物分類群中會(huì)保存數(shù)百萬年?！?/p>

從生物進(jìn)化的角度看人類的數(shù)字感知

動(dòng)物為了生存和繁衍，必須采取一定的策略，以確保自己的存活，直到個(gè)體性成熟并且可以進(jìn)行繁殖。對(duì)于某些物種來說，還需要呵護(hù)后代，以確保它們生存足夠長(zhǎng)的時(shí)間。對(duì)于一個(gè)個(gè)體來說，這首先意味著要找到食物并避免成為食物，還要在雜亂的環(huán)境選擇合適的道路，并在日常事務(wù)中與朋友互相幫助。

對(duì)數(shù)的感知可以幫助動(dòng)物實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)。研究表明，對(duì)數(shù)的感知能力可以增強(qiáng)動(dòng)物尋找食物、抓取獵物、避免被捕食、在棲息地中導(dǎo)航以及在社會(huì)互動(dòng)中持續(xù)生存的能力。

1. 導(dǎo)航

動(dòng)物經(jīng)常會(huì)使用對(duì)地標(biāo)做計(jì)數(shù)的辦法來尋找適合的路線。例如，蜜蜂依靠地標(biāo)來測(cè)量食物與蜂巢的距離。在某項(xiàng)研究蜜蜂行為的實(shí)驗(yàn)中 ^[2]，研究人員放置了四個(gè)帳篷，并在第三個(gè)和第四個(gè)帳篷之間擺放裝有糖水的喂食器。蜜蜂會(huì)將帳篷認(rèn)定為地標(biāo)，并以此為導(dǎo)航依據(jù)來尋找食物。如果改變帳篷的數(shù)量和帳篷的間距，會(huì)影響蜜蜂對(duì)距離的判斷。蜜蜂究竟是直接記錄飛過的絕對(duì)距離，還是通過對(duì)地標(biāo)（此處為帳篷）的計(jì)數(shù)來測(cè)量距離，目前仍未弄清。但地標(biāo)數(shù)量仍然是一個(gè)重要因素。

2. 捕獵

普通的蜘蛛是獨(dú)居動(dòng)物，而以蜘蛛為食的食蛛蜘蛛則是一種社會(huì)性動(dòng)物，有一些個(gè)體會(huì)相對(duì)持久地聚集在一起?？夏醽営幸环N名叫 Portia africana（以下簡(jiǎn)稱 Portia）的食蛛蜘蛛就是這樣的，它們所獵捕的小型蜘蛛喜歡在巨石、樹干和建筑物的墻壁上建造帳篷狀的絲巢 ^[3]。Portia 在捕獵時(shí)，通常會(huì)利用數(shù)量線索。以一種很典型的場(chǎng)景為例：兩只 Portia 在一只獵物的巢穴旁定居，當(dāng)一只 Portia 捕捉到獵物時(shí)，另一只 Portia 就會(huì)加入，并一起進(jìn)食。Portia 怎樣決定在哪只獵物蜘蛛的巢穴附近定居呢？依據(jù)就是那里已經(jīng)定居的同伴的數(shù)量。它們更喜歡成對(duì)捕獵，而不愿意單獨(dú)捕獵，也不樂于跟兩只、三只更多的同伴一起捕獵，因?yàn)橐粋€(gè)狩獵隊(duì)的成員越多，一些成員就越可能不合作，導(dǎo)致大群體捕捉獵物的水平往往比小群體更差。

看來，“兩個(gè)和尚抬水喝，三個(gè)和尚沒水喝”的道理，不僅人懂，蜘蛛也懂。

3. 避免被捕食

缺少自衛(wèi)能力的動(dòng)物經(jīng)常在社會(huì)伙伴的大群體中尋求庇護(hù)。通過加入大群體，每個(gè)個(gè)體成為獵物的概率就會(huì)降低。因此，對(duì)許多魚類來說，加入魚群是主要的反捕食策略。魚群越大，對(duì)魚類越有利。當(dāng)單獨(dú)的一條或幾條魚來到一個(gè)不熟悉的、有潛在危險(xiǎn)的環(huán)境中時(shí)，往往會(huì)加入其他同種魚。如果有兩個(gè)魚群，它們通常會(huì)加入較大的魚群，這意味著它們能夠區(qū)分較大的魚群和較小的魚群。因此，在關(guān)乎生死的情況下，比較同種生物數(shù)量的能力可能是至關(guān)重要的。

4. 社會(huì)領(lǐng)地防御

如果個(gè)體無法單獨(dú)保衛(wèi)資源，群體和群體規(guī)模就很重要了。許多動(dòng)物生活在社會(huì)群體中，共同抵御入侵者。捍衛(wèi)領(lǐng)地通常意味著可能與敵對(duì)群體發(fā)生致命沖突，因此，動(dòng)物需要能夠評(píng)估自己群體和敵方群體的數(shù)量 —— 這種能力顯然就具有適應(yīng)性價(jià)值 —— 它是決定進(jìn)攻還是撤退的基礎(chǔ)。對(duì)于群體規(guī)模的評(píng)估顯然就是 一種對(duì)群體中個(gè)體數(shù)量的感知。

“人多力量大”，動(dòng)物也明白這個(gè)道理。

數(shù)的概念及其認(rèn)知心理學(xué)機(jī)制

在人類的日常生活中，數(shù)和數(shù)字是無處不在的。牙牙學(xué)語之時(shí)，父母就開始教我們認(rèn)數(shù)，教我們數(shù)手指、讀數(shù)字…… 那么，數(shù)的概念究竟是什么？數(shù)在人類心中又是如何表示的？

要回答這些問題，我們需要首先了解數(shù)有哪些類型，分別表示什么含義，不同類型之間有什么區(qū)別。

第一類數(shù)的概念是基數(shù)（Cardinal number）。基數(shù)表示的是數(shù)量，也就是“多少”的概念。基數(shù)的基本功能就是計(jì)數(shù) ^[4]。

日常生活里的基數(shù)實(shí)在是太常見了。比如，一個(gè)水果籃子里面裝有 5 個(gè)芒果，賬號(hào)上還有 12.34 元錢。這里的“5”和“12.34”分別是表示有多少芒果和有多少錢，因此是基數(shù)。

在數(shù)學(xué)的集合論中，一個(gè)集合里元素的個(gè)數(shù)就稱為該集合的基數(shù)。

第二類經(jīng)常接觸到的數(shù)的概念是序數(shù)（Ordinal number）。序數(shù)表示的是實(shí)體的順序關(guān)系，或者說排名的前后。比如，玩絕地求生游戲，有幸吃了個(gè)“雞”，也是拿個(gè)第 1 名。這里的 1，顯然不是表示的數(shù)量的多少，而是排名，因此是序數(shù)。

第三類數(shù)的概念是所謂標(biāo)簽。標(biāo)簽既不表示數(shù)量多少，也不表示排名順序，而僅僅是將數(shù)字作為一種標(biāo)記，以區(qū)分不同的物體或?qū)ο蟆?/strong>最常見的一些例子就是身份證編號(hào)、銀行賬號(hào)以及 QQ 號(hào)碼等。

數(shù)的概念的幾種類型其實(shí)就是源于人們對(duì)于不同經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的抽象。

下圖完整地表示了上述三種數(shù)的概念的結(jié)構(gòu)。

那么，人的心理是怎樣表示和處理關(guān)于數(shù)的信息的呢？

認(rèn)知心理學(xué)中有一個(gè)很重要的概念，就是表征（Representation）。表征的意思是外部現(xiàn)實(shí)世界在人腦中的心理模型、圖示，或者說是人的認(rèn)知系統(tǒng)對(duì)于現(xiàn)實(shí)物體的抽象。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，家里桌上放著一個(gè)水杯，我們知道那是一個(gè)水杯。上班時(shí)看到別人桌上放著一個(gè)水杯，雖然跟家里的不一樣，但我們也知道那是水杯。又或者是在商店貨架上，看見各種各樣的水杯，雖然都與家里的那個(gè)不一樣，但我們也完全知道那是水杯，而不會(huì)它們當(dāng)成是椅子，是鮮花，是貓。當(dāng)我們閉上眼睛，雖然什么也看不見，但腦海也能呈現(xiàn)出水杯的面貌。本質(zhì)上說，我們的心里面有一個(gè)水杯的概念，這個(gè)概念是從現(xiàn)實(shí)的具體的物體中抽象出來的。

我們對(duì)數(shù)的心理表征有兩種基本類型：符號(hào)性表征和非符號(hào)性表征?；鶖?shù)和序數(shù)均有這兩種表示方式。而標(biāo)簽型數(shù)只有符號(hào)表征 ^[1]。

符號(hào)性表征是指采用符號(hào)（比如阿拉伯?dāng)?shù)字）來表示數(shù)的概念 ^[5]。非符號(hào)性表征是指不用符號(hào)，而是通過涉及實(shí)際元素?cái)?shù)量的相關(guān)圖形（如點(diǎn)的陣列）直觀地表示數(shù)。

非符號(hào)性的數(shù)的表征是對(duì)集合大小的知覺性表征，是實(shí)際感知到的元素的個(gè)數(shù)與所表示的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一個(gè)典型的表示方法就是使用散落在空間中的若干個(gè)元素 —— 比如點(diǎn)陣中的點(diǎn) —— 來表示對(duì)應(yīng)的數(shù)。此時(shí)，人可以在瞬間并行地感知到點(diǎn)所表示的數(shù)量。

無論是從動(dòng)物進(jìn)化，還是人類發(fā)展的角度，非符號(hào)性數(shù)的表征都是一種原始的表征方法。動(dòng)物有非符號(hào)性表征，人類在嬰兒時(shí)期也有。如果一個(gè)人從沒學(xué)過數(shù)的符號(hào)（數(shù)字），那么他只能采用非符號(hào)性表征 ^[1]。

兩種數(shù)字表征方式如圖 5 所示。圖 5 (A) 通過圓點(diǎn)的多少表示了兩個(gè)數(shù)量：8 和 12，而圖 5 (B) 就直接通過符號(hào) —— 阿拉伯?dāng)?shù)字來表示數(shù)量。

很早以前，就有人研究過嬰幼兒對(duì)數(shù)的認(rèn)知發(fā)展過程。研究者認(rèn)為 ^[7]，嬰幼兒對(duì)數(shù)的表征先后經(jīng)歷了三個(gè)發(fā)展階段。第一個(gè)階段，嬰幼兒會(huì)記住數(shù)的語音模式；第二階段，記住數(shù)的書寫模式，并且關(guān)聯(lián)到語音上；第三個(gè)階段稱為符號(hào)表征階段，嬰幼兒會(huì)形成內(nèi)在的關(guān)于數(shù)的表征。

還有研究表明，在幼兒早期，數(shù)的符號(hào)表示技能是影響幼兒數(shù)學(xué)水平的主要因素。而隨著年齡的增長(zhǎng)，符號(hào)表示技能和非符號(hào)表示技能對(duì)數(shù)學(xué)水平的影響呈現(xiàn)下降趨勢(shì) ^[6]。

還有一個(gè)有意思的問題：人對(duì)于數(shù)值的感知有自動(dòng)化的處理過程嗎？

研究發(fā)現(xiàn)了以下結(jié)論：如果以圖形呈現(xiàn)數(shù)，當(dāng)數(shù)值小于 4（也就是 1、2、3）時(shí)（如圖 6），人可以幾乎瞬間感知到圖形的個(gè)數(shù)，這個(gè)過程叫做估計(jì)（subitizing）。

但如果數(shù)值大于等于 4 時(shí)（如圖 7），就無法瞬間估算了，只能一個(gè)一個(gè)去數(shù)，這個(gè)數(shù)數(shù)的過程，就稱為計(jì)數(shù)（counting）。計(jì)數(shù)的時(shí)候，我們可能會(huì)讀出聲音，也可能只會(huì)在心中默念?？傊?，此時(shí)，必須通過語言符號(hào)來弄清楚有多少個(gè)圖形。

研究結(jié)果（圖 8）展現(xiàn)了非符號(hào)表示的數(shù)值大小對(duì)于人感知數(shù)的影響。圖的橫軸表示數(shù)值大小，左圖縱軸表示反應(yīng)時(shí)，右圖縱軸表示錯(cuò)誤率。從圖中，我們能夠明顯發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)值的增加，反應(yīng)時(shí)增加，錯(cuò)誤率也會(huì)增加。當(dāng)數(shù)值為 1、2、3 的時(shí)候，兩者變化都很小，當(dāng)數(shù)值在 4 附近的時(shí)候，兩者的增加幅度非常明顯。這可能和人的注意廣度有關(guān)。

數(shù)的概念的神經(jīng)機(jī)制

認(rèn)知活動(dòng)的生理基礎(chǔ)是神經(jīng)系統(tǒng)。那么，人類對(duì)數(shù)的概念的感知，對(duì)數(shù)的心理表征，是由什么樣的神經(jīng)機(jī)制所產(chǎn)生的呢？

為了回答這個(gè)問題，認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)研究者采用各種無創(chuàng)技術(shù)手段來測(cè)量人在數(shù)學(xué)過程中的神經(jīng)元活動(dòng)狀況。現(xiàn)在最常用的方法之一是功能磁共振成像（fMRI）。這項(xiàng)技術(shù)能夠探測(cè)到大腦皮層的激活情況，這樣研究人員就能觀察到人類被試在執(zhí)行某項(xiàng)認(rèn)知任務(wù)時(shí)，大腦的哪部分區(qū)域較為活躍。顯然，活躍的一個(gè)或多個(gè)腦區(qū)可能跟當(dāng)前正在發(fā)生的認(rèn)知活動(dòng)有密切聯(lián)系。

2003 年，法國(guó)一個(gè)研究小組用 fMRI 掃描了被試在感知數(shù)的時(shí)候的大腦活動(dòng) ^[8]。掃描影像顯示（如圖 8 所示），有三個(gè)腦區(qū)的神經(jīng)元較為活躍，分別是：雙側(cè)腦頂內(nèi)溝的水平部分（bilateral horizontal segment of intraparietal sulcus，紅色區(qū)域）、頂上小葉后側(cè)（bilateral posterior superior parietal lobe，藍(lán)色區(qū)域），以及左側(cè)腦的角回（left angular gyrus，綠色區(qū)域）。也就是說，這幾個(gè)區(qū)域都參加了對(duì)數(shù)的感知這一認(rèn)知 / 心理過程。

從圖中，我們還能看出左腦激活的區(qū)域相對(duì)右腦要多一點(diǎn)。這說明，人類在感知數(shù)的概念時(shí)，左腦可能比右腦提供了更多的神經(jīng)資源。

意大利一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)在 2004 年用另一種思路對(duì)數(shù)感知的腦區(qū)做了研究 ^[9]。他們采用的是經(jīng)顱磁刺激（transcranial magnetic stimuli, TMS）技術(shù)：實(shí)驗(yàn)設(shè)備能夠產(chǎn)生一個(gè)磁場(chǎng)，穿過顱骨，干擾特定腦區(qū)，抑制其神經(jīng)元活動(dòng)，造成“虛擬損傷”。這個(gè)過程也是無創(chuàng)的（圖 10）。

實(shí)驗(yàn)人員要求被試做一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)感知任務(wù)，同時(shí)將磁場(chǎng)發(fā)射設(shè)備干擾下頂葉（inferior parietal lobule, IPL）區(qū)域（相當(dāng)于圖 9 中的紅色區(qū)域），結(jié)果發(fā)現(xiàn)被試完成任務(wù)的準(zhǔn)確率下降，反應(yīng)時(shí)間上升。一旦移開設(shè)備，被試解決問題的準(zhǔn)確率又迅速回升，反應(yīng)速度也恢復(fù)正常。作為對(duì)照，實(shí)驗(yàn)人員還把設(shè)備對(duì)準(zhǔn)與數(shù)感知無關(guān)的腦區(qū)，果然，這些腦區(qū)受干擾并不影響被試完成數(shù)感知任務(wù)。

進(jìn)一步地，科學(xué)家們還研究了我們做加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)的腦區(qū)激活情況。如此可以幫助我們了解，在做四種不同運(yùn)算時(shí)，認(rèn)知過程所依賴的神經(jīng)活動(dòng)是否有區(qū)別 ^[10]。

圖 11 展示了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。彩色表示在做計(jì)算時(shí)激活（紅黃色）和抑制（藍(lán)綠色）的腦區(qū)。從圖中可以看出，在做乘法和除法時(shí)，激活的腦區(qū)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于加法減法，也就是說做乘除法需要調(diào)用更多的認(rèn)知資源 —— 換言之，乘除法更難。這個(gè)結(jié)果完全符合我們的常識(shí)。

同時(shí)我們還能觀察到，在每種運(yùn)算下，左腦頂內(nèi)溝（Left IPS）區(qū)域都有激活。因此可以認(rèn)為這一區(qū)域參與了每一種運(yùn)算，是非常重要的與計(jì)算相關(guān)的腦區(qū)。

除了 fMRI 和 TMS，研究腦活動(dòng)的無創(chuàng)技術(shù)還有很多，如腦電圖（EEG）、腦磁圖（EMG）、近紅外等等，用這些技術(shù)來研究數(shù)的感知、研究數(shù)學(xué)能力的神經(jīng)科學(xué)文獻(xiàn)也是浩如煙海，許多問題都還沒有得到確定的、統(tǒng)一的答案，許多結(jié)論也是暫時(shí)性的。以上所舉的研究例子只是掛一漏萬，要回答“大腦怎樣感知數(shù)”，我們還需要做更多的探索。

總  結(jié)

我們?nèi)粘Ｉ钪刑焯於紩?huì)接觸的“數(shù)”，到底是本來就存在而被人所發(fā)現(xiàn)的，還是人類發(fā)明創(chuàng)造的產(chǎn)物呢？

正如《上帝是數(shù)學(xué)家嗎》的作者馬里奧?利維奧（Mario Livio）所表達(dá)的那樣，這個(gè)問題長(zhǎng)久以來深深困擾著數(shù)學(xué)家們。

一派堅(jiān)持實(shí)在論，認(rèn)為數(shù)是獨(dú)立于人的思想而存在的，我們只不過是發(fā)現(xiàn)了它們。另一派支持反實(shí)在論，堅(jiān)信數(shù)并不獨(dú)立于我們的感知，是我們發(fā)明了它們。

也許這個(gè)問題還會(huì)在未來相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)繼續(xù)引起爭(zhēng)論。但隨著認(rèn)知心理學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展，人們也越來越接近關(guān)于數(shù)的認(rèn)知背后的奧秘。

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