繼給 GPT-4“代言”之后，Copilot 也被陶哲軒瘋狂安利。
他直言，在編程時，Copilot 能直接預測出他下一步要做什么。
有了 Copilot 之后，研究做起來也更方便了，陶哲軒也用它輔助自己完成了最新的研究成果。
陶哲軒說，這次的論文中，有關這一部分的內(nèi)容其實只有一頁。
但具體完成這一頁紙的證明，他足足寫了 200 多行代碼，用的還是新學的編程語言 Lean4。
而在陶哲軒公開代碼的 GitHub 頁面上顯示，Copilot 將寫代碼的速度提升了一半以上。
陶哲軒介紹，之所以選擇 Lean4 是看中了它的“重寫策略”，也就是對一長段表達式進行針對性的局部替換。
舉個例子，假如定義了一個復雜的函數(shù) f (x)，當我們想輸入 f (114514) 的表達式時，直接用代碼把 x“重寫”成 114514 就可以了。
陶哲軒說，這個特性相比于需要反復輸入公式的 LaTeX 簡直不要太方便。
那么陶哲軒這次的“一頁紙證明”又給我們帶來了什么新成果呢？
一頁紙證明新不等式
這篇論文談論了有關麥克勞林不等式的問題。
麥克勞林不等式是數(shù)學中一個經(jīng)典的不等式，它基于“非負實數(shù)的算數(shù)平均值大于等于幾何平均值”這一定律導出，可以表述為：
設 y1…yn 為非負實數(shù)，對 k=1…n，定義均值 Sk 為（分母為分子的項數(shù)）：
它作為具有根的 n 次多項式的歸一化系數(shù)而出現(xiàn)。
（記住這個式子，我們稱它為式 1）
則麥克勞林不等式可以表示為：
其中，當且僅當所有 yi 相等時等號成立。
在微積分中，還有一個經(jīng)典的牛頓不等式：
對任意 1≤k<n，如果實變量 y1…yn 均為非負，牛頓不等式就可以簡單地描述麥克勞林不等式了：
但如果不加上這個限制條件，即允許負數(shù)項的存在，用牛頓不等式就無法表示麥克勞林不等式了。
于是針對牛頓不等式中可能存在負數(shù)項的情況，陶哲軒提出了一組新的不等式變體：
對任意 r>0 且 1≤?≤n，必有式 2 或式 3 成立。
這便是陶哲軒這一頁紙所要證明的內(nèi)容，具體證明過程是這樣的：
不妨構建一個關于復雜變量 z 的多項式 P (z)：
由前面的式 1 和三角不等式可得：
所以只需要建立下界：
對 P (z) 取絕對值再取對數(shù)可得：
由于對任意實數(shù) t，t ? log (et+a) 呈凸性且 a>0，可以得到不等式：
當 a=r2，t=2log yj 時，可以得出：
以上就是陶哲軒給出的證明過程，但是，當歸一化的 | Sn|=1 時，下式成立：
下一步：建立細化版本
除了這次提到的“一頁紙證明”，陶哲軒的這篇論文中還提出了另一項新的定理，即對任意 1 ≤ k ≤ ?≤ n.：
在博客文章中，陶哲軒透露，他的下一步計劃就是提出這一不等式的細化版本。
陶哲軒說，證明的過程“就像練習一樣”會很簡單，用微積分就能搞定。
不過，他也提到會有一個小困難，因為這部分論證過程使用到了漸進符號。
新的結論具體怎樣，讓我們拭目以待。
One More Thing
陶哲軒可謂是 AI 工具的忠實粉絲，Copilot、GPT-4，還有一些其他輔助工具都受到過他的推薦。
這次，他還對大模型的發(fā)展提出了新的期待，希望有一天模型可以直接生成不等式變體。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2310.05328
參考鏈接：
https://mathstodon.xyz/@tao/111271244206606941
廣告聲明：文內(nèi)含有的對外跳轉鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時間，結果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。