幾何學(xué)與物理學(xué)相關(guān)并不奇怪 —— 畢竟，空間是物理學(xué)發(fā)生的舞臺(tái)。然而，實(shí)際上空間的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)物理學(xué)的重要程度，以及我們宇宙的幾何結(jié)構(gòu)的奇特程度，遠(yuǎn)超過(guò)我們想像。
如果要說(shuō)物理學(xué)與幾何學(xué)之間迷人的相互作用，有一位數(shù)學(xué)家有著第一手的經(jīng)驗(yàn)，他就是丘成桐。
曲率與引力
早在 1915 年，當(dāng)阿爾伯特?愛因斯坦（Albert Einstein）提出他的廣義相對(duì)論時(shí)，就初步暗示了空間不僅僅是一個(gè)物理背景。愛因斯坦構(gòu)建了一個(gè)四維時(shí)空，這個(gè)時(shí)空由我們熟悉的三個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度構(gòu)成。他的理論革命性地提出，引力不是一種在時(shí)空中穿行的無(wú)形的力，而是由大質(zhì)量物體造成的時(shí)空彎曲。想象一個(gè)放在蹦床上的保齡球，它會(huì)形成一個(gè)凹陷，附近的物體（如彈珠）會(huì)滾入這個(gè)凹陷。同樣，廣義相對(duì)論認(rèn)為，恒星和行星等大質(zhì)量物體會(huì)像保齡球一樣彎曲時(shí)空，吸引著經(jīng)過(guò)的物體。
愛因斯坦的這種將空間、時(shí)間、物質(zhì)和引力統(tǒng)一起來(lái)的觀點(diǎn)全新的 —— 物理學(xué)家楊振寧將其描述為一種“純粹的創(chuàng)造”。然而，愛因斯坦用來(lái)描述時(shí)空曲率的數(shù)學(xué)并不是新創(chuàng)造的。這一思想可以追溯到 19 世紀(jì)，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家卡爾?弗里德里希?高斯 (Carl Friedrich Gauss) 以及他杰出的學(xué)生伯恩哈德?黎曼 (Bernhard Riemann) 提出了從內(nèi)部測(cè)量物體曲率的方法：他們不需要再參照物體所在的更大空間。這種內(nèi)在的曲率概念正是愛因斯坦所需要的。
“在黎曼時(shí)代，沒有人相信他的新幾何學(xué)會(huì)有用，”丘成桐解釋道。“但事實(shí)證明，它恰好符合愛因斯坦的目的。沒有黎曼的工作，愛因斯坦可能需要更長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)發(fā)展廣義相對(duì)論。這成為了人們研究幾何學(xué)的重要原因：幾何學(xué)和物理學(xué)是互相推動(dòng)，共同發(fā)展的。”
真空中的引力？
當(dāng)丘成桐第一次了解廣義相對(duì)論時(shí)，他意識(shí)到廣義相對(duì)論提出了一個(gè)有趣的理論問題：是否存在一個(gè)不包含任何物質(zhì)的時(shí)空 —— 一個(gè)真空 —— 但其中仍然存在引力？我們生活的時(shí)空并不是廣義相對(duì)論唯一適用的時(shí)空。愛因斯坦場(chǎng)方程，即描述廣義相對(duì)論的方程，也允許其他解，例如一個(gè)既沒有物質(zhì)也沒有引力的時(shí)空，在這樣的時(shí)空中，什么都不會(huì)發(fā)生。但問題是，一個(gè)仍然具有曲率和引力的真空時(shí)空是否存在？“在這樣的時(shí)空中，引力將因?yàn)橥負(fù)洌纯臻g的形狀）而不是物質(zhì)而存在。”丘成桐解釋說(shuō)。
丘成桐后來(lái)意識(shí)到，數(shù)學(xué)家尤金尼奧?卡拉比 (Eugenio Calabi) 在 20 世紀(jì) 50 年代就已經(jīng)從幾何學(xué)的角度提出了這個(gè)問題?？ɡ葘?duì)物體幾何形狀的精確特征，如大小和角度，與其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的相互作用感興趣。拓?fù)鋵?duì)精細(xì)結(jié)構(gòu)不敏感，只關(guān)注物體的整體輪廓。例如，一個(gè)球和一個(gè)泄了氣的足球在幾何上有很大不同，但它們?cè)谕負(fù)渖鲜窍嗤?，因?yàn)檫@兩者不需要任何撕裂或切割就可以從一個(gè)物體變換成另一個(gè)物體。類似地，拓?fù)鋵W(xué)認(rèn)為甜甜圈和咖啡杯是等價(jià)的，因?yàn)橐粋€(gè)可以連續(xù)變形為另一個(gè)。甜甜圈和球體的區(qū)別在于甜甜圈有一個(gè)洞。
具有給定拓?fù)涞奈矬w可以變形為許多不同的幾何形狀：球體變成泄氣的足球、金字塔或立方體等?？ɡ认?，具有某種拓?fù)涞男螤钍欠裨试S某種特定的幾何結(jié)構(gòu)。如果答案是“是”，那么在廣義相對(duì)論的框架下，所產(chǎn)生的物體可以被視為存在引力的真空。
卡拉比的問題
你可以想象出無(wú)數(shù)種拓?fù)湫螤?，但拓?fù)鋵W(xué)家通常將他們的注意力限制在所謂的流形上。這些對(duì)象在近距離觀察時(shí)，看起來(lái)像我們熟悉的普通“平坦”空間，即歐幾里得空間。例如，球體和甜甜圈在局部看起來(lái)就像平坦的二維平面。如果你足夠小，就不會(huì)注意到它們的曲率，或者它們是否有洞。你可以很容易地在平坦的紙片上繪制球體或甜甜圈的一小塊。因此，這兩個(gè)都是二維流形，也稱為曲面。
球體和甜甜圈的另一個(gè)共同點(diǎn)是它們都是緊致的：你只需要有限數(shù)量的二維映射即可覆蓋它們。這意味著它們的范圍是有限的。給定一個(gè)甜甜圈或球體，你總能找到一個(gè)足夠大的盒子來(lái)容納它，盡管這可能是一個(gè)非常大的盒子。
但是，流形不一定必須是二維的。還有三維流形，從近距離看，它們就像是由三個(gè)垂直坐標(biāo)軸組成的三維歐幾里得空間。由于從數(shù)學(xué)上講，你可以考慮任意維數(shù)的歐幾里得空間（只需使用更多的坐標(biāo)，而不僅僅是三個(gè)），因此也存在任意維數(shù)的流形。
卡拉比對(duì)緊致流形的幾何特性特別感興趣，特別是曲率。想象一下，如果你給一個(gè)拓?fù)淞餍危ū热缫粋€(gè)球體）賦予一個(gè)特定的幾何結(jié)構(gòu)（比如一個(gè)癟了的足球），你就可以測(cè)量流形上每個(gè)點(diǎn)的曲率。這并不總是直觀的：想象一只螞蟻在馬鞍面上爬行，當(dāng)它沿著馬鞍的頂部向上爬時(shí)，它會(huì)感受到向上的彎曲，而當(dāng)它沿著馬鞍的兩側(cè)向下爬時(shí)，它會(huì)感受到向下的彎曲。在二維流形（比如我們想象中的馬鞍面）中，你可以將曲率與通過(guò)給定點(diǎn)的各種一維路徑相關(guān)聯(lián)。
同樣，在更高維度中，你可以將曲率的概念與那些嵌入更大流形并包含你目標(biāo)點(diǎn)的二維曲面聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)取這些二維曲面相關(guān)的所有曲率的平均值，可以得到所謂的里奇曲率，即你所觀察的點(diǎn)的曲率。由于這是一個(gè)平均值，里奇曲率只反應(yīng)黎曼定義的完整曲率概念的一個(gè)方面。這意味著一個(gè)流形在每個(gè)點(diǎn)上都可以有零里奇曲率，而不必整體上是平坦的（或者具有零黎曼曲率）。從物理學(xué)的角度來(lái)看，里奇曲率捕捉到的部分恰好是描述由物質(zhì)存在引起的時(shí)空彎曲的部分。因此，具有零里奇曲率的空間對(duì)應(yīng)于沒有物質(zhì)的空間，即真空。
但卡拉比對(duì)里奇曲率感興趣完全是出于幾何學(xué)的角度。數(shù)學(xué)家陳省身在 20 世紀(jì) 40 年代證明了這樣一個(gè)事實(shí)：一個(gè)在每個(gè)點(diǎn)上里奇曲率都為零的流形只能具有某種特定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在二維空間中，這相當(dāng)于普通的甜甜圈拓?fù)洹?/strong>而在更高維度中，由零里奇曲率表示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)則更加難以描述。數(shù)學(xué)家們指出，具有這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的流形具有一個(gè)特殊性質(zhì)，即它們的第一陳類為零。
卡拉比將陳省身的問題反過(guò)來(lái)考慮：如果有一個(gè)緊致流形，其第一陳類為零，那么能否將其變形為一個(gè)在所有點(diǎn)上黎奇曲率都為零的幾何形狀？換句話說(shuō)，卡拉比想要知道，某種特定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否一定存在相應(yīng)的幾何形狀。然而，卡拉比并不是研究一般的流形，而是專注于所謂的凱勒流形（K?hler manifolds）。這些流形處理起來(lái)更簡(jiǎn)單，因?yàn)樗鼈兤x歐幾里得空間很小，它們也被稱為復(fù)流形，這意味著在繪制這些流形的映射時(shí)，角度會(huì)被保留，流形也展現(xiàn)出一定的局部對(duì)稱性。這種對(duì)稱性使得凱勒流形能夠被強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具所處理，并且賦予了它們一種特殊的對(duì)稱性。
丘成桐的回答
當(dāng)丘成桐在 20 世紀(jì) 70 年代初開始研究這個(gè)問題時(shí)，他主要是出于對(duì)幾何學(xué)的興趣，不過(guò)，正如他告訴我們的那樣，“我一直在想這個(gè)問題對(duì)物理學(xué)也會(huì)很有趣：構(gòu)建一個(gè)封閉的宇宙（緊致流形），它沒有物質(zhì)（因?yàn)槔杵媲蕿榱悖?，?strong>仍然有引力（由于其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)導(dǎo)致的曲率）。但這樣的結(jié)構(gòu)的存在對(duì)幾何學(xué)也意義重大：卡拉比的猜想為理解里奇曲率提供了一個(gè)最清晰的途徑?！?/p>
起初，丘成桐像其他大多數(shù)專家一樣，認(rèn)為卡拉比的問題的答案是“不”。由于拓?fù)涫且粋€(gè)比幾何更寬泛的概念，因此僅憑拓?fù)渚湍鼙ＷC如此特殊的幾何類型似乎有點(diǎn)不可思議。“多年來(lái)，我試圖證明卡拉比追求的那種流形不存在，”他說(shuō)?！暗珶o(wú)論我嘗試什么，我都會(huì)遇到困難。所以我認(rèn)為大自然不可能這么嚴(yán)重地玩弄我，我的推理肯定有問題?！?/p>
1977 年，丘成桐最終證明了卡拉比是對(duì)的。為了完整地陳述他的結(jié)果，他證明了任何第一陳類為零的緊致凱勒流形都可以被賦予零里奇曲率的幾何結(jié)構(gòu)。這些流形存在于所有維度中，后來(lái)被稱為卡拉比-丘流形。
隱藏的維度
1982 年，丘成桐因解決了卡拉比猜想而獲得菲爾茲獎(jiǎng)，這是數(shù)學(xué)界最高的榮譽(yù)，這一突破對(duì)幾何學(xué)以及其他領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。直到后來(lái)他才知道，卡拉比-丘流形正是某些物理學(xué)家一直在尋找的東西。他回憶說(shuō)：“有一天（1984 年），我和妻子在圣地亞哥，眺望美麗的海洋。突然電話響了，是我的朋友安德魯?斯特羅明格（Andrew Strominger）和加里?霍洛維茨（Gary Horowitz）打來(lái)的。他們很興奮，因?yàn)?strong>弦論家們正在構(gòu)建宇宙的模型，需要知道卡拉比-丘流形是否真的存在。我欣然告訴他們，這些流形確實(shí)存在?！?/p>
弦論試圖成為一種“萬(wàn)物理論”，用以解釋宇宙中的所有物理現(xiàn)象。這樣的理論曾經(jīng)是，現(xiàn)在仍然是物理學(xué)的圣杯，因?yàn)楝F(xiàn)有的兩個(gè)主要理論 —— 廣義相對(duì)論（描述宏觀世界）和量子場(chǎng)論（描述亞原子尺度世界）—— 相互矛盾。弦論通過(guò)提出最小的物質(zhì)和能量單位不是點(diǎn)狀粒子，而是一根根微小的弦，從而解決了數(shù)學(xué)上的矛盾。這些弦可以振動(dòng)，就像吉他弦可以振動(dòng)一樣，不同的振動(dòng)類型對(duì)應(yīng)著我們觀察到的基本粒子和物理力。
在 20 世紀(jì) 80 年代初，弦論還處于起步階段。它面臨的一個(gè)主要問題是，為了理論的自洽性，它需要十個(gè)維度。粒子和力被認(rèn)為來(lái)自于弦振動(dòng)的所有不同方式。如果維度少于十個(gè)，那么就不足以產(chǎn)生所有觀察到的物理現(xiàn)象。另一方面，如果維度超過(guò)十個(gè)，弦論可能會(huì)產(chǎn)生一些荒謬的結(jié)果。因此，精確的十個(gè)維度是必要的。但問題是我們?yōu)槭裁粗荒芨兄狡渲械乃膫€(gè)維度，即三個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度？
弦論對(duì)這一謎題的回答是，六個(gè)額外的維度被緊緊地卷曲在一個(gè)極其微小的空間中，這個(gè)空間小到我們無(wú)法直接感知。丘成桐解釋說(shuō)：“在我們所觀察到的四維時(shí)空中的每一個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上都存在著一個(gè)微小的六維空間?！边@些微小的世界太小了，以至于我們無(wú)法察覺它們的存在。那么，什么樣的六維幾何結(jié)構(gòu)能夠容納這樣一個(gè)隱藏的世界，并滿足弦論的其他要求呢？答案已經(jīng)很明顯了：它必須是一個(gè)六維的卡拉比-丘流形。丘成桐補(bǔ)充道：“卡拉比-丘流形最終為弦理論提供了一個(gè)具體的幾何模型?！?/p>
卡拉比-丘流形對(duì)弦論具有吸引力的一個(gè)原因是它們的緊致性：這些流形非常小，直徑大約在 10-30 厘米左右，比一個(gè)電子小上萬(wàn)億倍。但是還有其他原因。為了與當(dāng)時(shí)的物理理解保持一致，隱藏維度的流形必須具有零里奇曲率。更重要的是，弦論假設(shè)了一種特殊的對(duì)稱性，稱為超對(duì)稱性，這對(duì)時(shí)空幾何提出了特殊要求。這些要求使得卡拉比-丘流形（具有特殊的凱勒對(duì)稱性）成為弦論的絕佳候選者，盡管我們?nèi)匀徊恢浪鼈兪欠袷蔷S度難題的唯一可能解決方案。
弦論未來(lái)
伴隨著卡拉比-丘流形的發(fā)現(xiàn)和其他重大進(jìn)展，1984 成了弦論發(fā)展史上具有里程碑意義的一年。但故事并沒有就此結(jié)束。1986 年，弦論遭受了一個(gè)小挫折，當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)弦論需要卡拉比-丘流形的一個(gè)輕微修正版本，其里奇曲率不是零，而是非常接近零。更糟糕的是，有許多不同的六維卡拉比-丘流形可能符合弦論的要求，而且沒有人能夠計(jì)算出哪個(gè)是“正確”的。所有這些都某種程度上削弱了卡拉比-丘流形在物理學(xué)中的地位。然而，當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)成對(duì)的不同的卡拉比-丘流形可以產(chǎn)生具有相同物理學(xué)的理論宇宙時(shí)，另一個(gè)推動(dòng)力出現(xiàn)了。這種流形對(duì)激發(fā)了新的興趣，并產(chǎn)生了一種新的對(duì)稱性概念，稱為鏡像對(duì)稱（這個(gè)名字有些誤導(dǎo)，因?yàn)樗让Q所暗示的要復(fù)雜得多）。
鏡像對(duì)稱的確切物理意義仍然是一個(gè)謎，但是，正如丘成桐所說(shuō)，它導(dǎo)致了“對(duì)卡拉比-丘流形的驚人的新理解。并激發(fā)了許多豐富的數(shù)學(xué)成果，這些成果完全是由弦論的直覺所驅(qū)動(dòng)的。” 特別是，新的鏡像對(duì)稱概念解決了一個(gè)幾何分支中幾乎被遺忘的長(zhǎng)達(dá)一個(gè)世紀(jì)的問題。我們不準(zhǔn)備在這里討論這個(gè)問題，只說(shuō)它涉及到計(jì)算特定幾何空間中的曲線的數(shù)量。鏡像對(duì)稱提供了獲得答案需要的公式，后來(lái)丘成桐和同事們證明了其正確性。
今天，弦論仍然遠(yuǎn)未完善。有許多物理量它還無(wú)法描述。而且它還沒有，目前也不能在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行測(cè)試。然而，丘成桐相信，弦論純粹的數(shù)學(xué)一致性意味著它不會(huì)是一個(gè)誤區(qū)?！皵?shù)學(xué)家們已經(jīng)能夠證明由弦理論的物理直覺所激發(fā)的公式。弦論對(duì)數(shù)學(xué)的許多其他驚人貢獻(xiàn)也是不可忽視的。因?yàn)橄艺摰拇嬖?，許多表面上不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)以一種平滑但完全意想不到的方式融合在一起。這意味著弦論中一定有一些真實(shí)的成分。它最終會(huì)引導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于物質(zhì)的基本理論嗎？現(xiàn)在說(shuō)還為時(shí)過(guò)早，但我們相信它提供的直覺中一定有一些真理?！?/p>
作者：Marianne Freiberger
翻譯：K.Collider
審校：小聰
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本文來(lái)自微信公眾號(hào)：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：M. Freiberger
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