數(shù)學(xué)讓很多人感到恐懼，但我們天生就對(duì)數(shù)字敏感。
弗吉尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)系主任小野健一（Ken Ono）談到某個(gè)包含圓周率 π 的一個(gè)公式就興奮不已，π 是一個(gè)神奇的數(shù)字，是圓周長(zhǎng)與直徑之比。他給我看了《國(guó)家地理》的一個(gè)片段，節(jié)目中尼爾?德格拉斯?泰森（Neil Degrasse Tyson）問(wèn)他如何向街上的普通人傳達(dá)數(shù)學(xué)之美。
作為回答，小野給泰森和我展示了一個(gè)關(guān)于圓周率的級(jí)聯(lián)分?jǐn)?shù)，即分子是 1，分母包含一個(gè)分子為 1 的分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母也包含一個(gè)分子為 1 的分?jǐn)?shù)，以此類(lèi)推，無(wú)窮無(wú)盡。寫(xiě)出來(lái)，這個(gè)公式看起來(lái)就像一個(gè)樓梯，當(dāng)你沿著它的梯級(jí)往下追尋時(shí)，梯級(jí)會(huì)逐漸變窄。這個(gè)計(jì)算公式由英國(guó)數(shù)學(xué)家倫納德?杰伊?羅杰斯（Leonard Jay Rogers）和自學(xué)成才的印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦薩?拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）分別獨(dú)立完成，并不涉及任何比加法、除法和平方數(shù)更復(fù)雜的計(jì)算?！霸趺茨懿徽f(shuō)這太神奇了呢？”小野對(duì)我說(shuō)。
我們應(yīng)該重新規(guī)劃數(shù)學(xué)教育，使其促進(jìn)而不是減弱學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望。
作為一個(gè)圓周率愛(ài)好者 —— 我在朋友中以舉辦圓周率日派對(duì)而出名 —— 我不得不同意他的觀點(diǎn)，即這是一個(gè)令人眼花繚亂的公式。但并不是每個(gè)人都能從分?jǐn)?shù)或數(shù)學(xué)中看到美。事實(shí)上，在美國(guó)，數(shù)學(xué)往往讓人感到恐懼多于敬畏。20 世紀(jì) 50 年代，一些教育工作者開(kāi)始在學(xué)生中觀察到一種他們稱(chēng)之為數(shù)學(xué)恐懼癥的現(xiàn)象，盡管這只是他們?cè)趯W(xué)生身上看到的眾多一長(zhǎng)串學(xué)習(xí)恐懼癥之一。
斯坦福大學(xué)和芝加哥大學(xué) 2020 年的一項(xiàng)研究表明，數(shù)學(xué)焦慮似乎與全世界數(shù)學(xué)成績(jī)的下降相關(guān)。雖然對(duì)其根本原因仍有許多疑問(wèn)，但美國(guó)的高中數(shù)學(xué)成績(jī)往往明顯低于其他許多國(guó)家。例如，在 2018 年的國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）考試中，美國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谌蚺琶?30 位。
一些學(xué)者認(rèn)為，美國(guó)文化中充斥著對(duì)數(shù)學(xué)的負(fù)面刻板印象，再加上目前的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這些都導(dǎo)致焦慮情緒長(zhǎng)期存在，讓使一些孩子認(rèn)為自己數(shù)學(xué)不好，無(wú)法取得優(yōu)異成績(jī)。研究表明，人類(lèi)與生俱來(lái)就對(duì)數(shù)字敏感，即“數(shù)感”。數(shù)字概念是唯一一個(gè)映射到大腦特定區(qū)域的高級(jí)認(rèn)知功能之一。換句話說(shuō)，我們天生就會(huì)做基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算，只是文化阻礙了我們。最近的神經(jīng)科學(xué)、行為學(xué)和認(rèn)知學(xué)研究可以幫助我們重新設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教育，使其支持而不是破壞學(xué)習(xí)，甚至在學(xué)習(xí)的過(guò)程中激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)神秘之美的熱愛(ài)。
“數(shù)學(xué)”這一學(xué)科影響深遠(yuǎn)，范圍廣泛，從基本算術(shù)到代數(shù)，再到拓?fù)鋵W(xué)，無(wú)所不包。但在最基本的層面上，研究表明，我們每個(gè)人都天生具有數(shù)量感。人類(lèi)嬰兒早在 6 個(gè)月大的時(shí)候就能理解這一概念，而此時(shí)他們還沒(méi)有大量接觸人類(lèi)文化或語(yǔ)言。這種語(yǔ)言前的數(shù)字感被認(rèn)為是日后兒童期和成年期數(shù)學(xué)能力的基石。在一項(xiàng)研究中，研究人員發(fā)現(xiàn)，即使在控制了一般智力的情況下，那些嬰兒時(shí)期就具有較強(qiáng)數(shù)字感的 3 歲兒童在數(shù)學(xué)成績(jī)測(cè)試中的得分也明顯更高。2013 年，杜克大學(xué)的樸俊國(guó)（Joonkoo Park）和心理學(xué)家伊麗莎白?布蘭農(nóng)（Elizabeth Brannon）研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以通過(guò)訓(xùn)練來(lái)激發(fā)他們的數(shù)量估算能力，從而提高他們的數(shù)學(xué)能力。
這種估計(jì)和理解數(shù)量的能力可能是作為一種基本生存技能進(jìn)化而來(lái)的。例如，它可以幫助我們的祖先和其他物種的成員迅速判斷捕食者的數(shù)量是否超過(guò)自己，或者在相對(duì)于其他物種有更多食物的地方覓食。德國(guó)圖賓根大學(xué)的安德烈亞斯?尼德?tīng)枺ˋndreas Nieder）研究了多種物種的數(shù)字感知能力，他認(rèn)為，在進(jìn)化樹(shù)上相距甚遠(yuǎn)的猴子、鳥(niǎo)類(lèi)和昆蟲(chóng)等物種中，數(shù)字感知系統(tǒng)是獨(dú)立平行進(jìn)化的。鴿子可以被訓(xùn)練在木板上啄一定的次數(shù)。海豚似乎能夠理解“少”這一數(shù)字概念，而研究表明，蜜蜂能夠掌握“零”的概念。
然而，科學(xué)家們似乎一致認(rèn)為，只有人類(lèi)才會(huì)用符號(hào)精確地表示數(shù)字，并且還需要接受教育才能做到這一點(diǎn)。這可能是因?yàn)榘ㄋ阈g(shù)在內(nèi)的許多高級(jí)數(shù)學(xué)技能都依賴(lài)于語(yǔ)言的使用，只有其中基于數(shù)量的判斷是前語(yǔ)言的。事實(shí)上，如果沒(méi)有語(yǔ)言，算術(shù)難以進(jìn)行是很難完成的。例如，2004 年的一項(xiàng)研究調(diào)查了亞馬遜語(yǔ)言“蒙杜魯庫(kù)”（Mundurukú）的使用者，該語(yǔ)言系統(tǒng)沒(méi)有表示大于 5 的數(shù)字的詞匯，研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于大于 4 或 5 的數(shù)字的精確算術(shù)，“蒙杜魯庫(kù)”的使用者做得并不好。2013 年，《神經(jīng)科學(xué)與教育趨勢(shì)》（Trends in Neuroscience and Education）雜志上發(fā)表的一項(xiàng)研究比較了受過(guò)教育和未受過(guò)教育的西方成年人的相對(duì)數(shù)學(xué)能力，發(fā)現(xiàn)他們估算大數(shù)的能力存在顯著差異。
如果我們與生俱來(lái)就有理解數(shù)學(xué)的能力，并承認(rèn)數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)世界方面的重要性，那么為什么這么多人 —— 主要是西方文化中的人 —— 對(duì)數(shù)學(xué)如此厭惡呢？研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的學(xué)者很難回答這個(gè)問(wèn)題。
也許這與西方人傾向于將數(shù)學(xué)能力概念化的方式有關(guān)。他們經(jīng)常說(shuō)“我數(shù)學(xué)不好”，好像這是一種個(gè)性特征，甚至是一種榮譽(yù)勛章。威斯康星大學(xué)麥迪遜分校數(shù)學(xué)教授喬丹?艾倫伯格（Jordan Ellenberg）說(shuō)：“與其他學(xué)科相比，我認(rèn)為人們對(duì)數(shù)學(xué)有更多的固定思維模式，就好像他們‘把旋鈕轉(zhuǎn)到了某個(gè)設(shè)定值‘，這是一個(gè)非常糟糕的誤解?！?/p>
當(dāng)然，有些孩子確實(shí)存在臨床學(xué)習(xí)障礙，但這并不是焦慮、文化迷思或教學(xué)不當(dāng)造成的。發(fā)育性計(jì)算障礙是指患有與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)障礙，有這種障礙的人約占總?cè)丝诘?3% 至 7%。發(fā)育性計(jì)算障礙是與閱讀障礙（一種與閱讀有關(guān)的學(xué)習(xí)障礙）相對(duì)應(yīng)的一種不太為人所知的癥狀，這兩種癥狀經(jīng)常同時(shí)出現(xiàn)。
但是，認(rèn)為自己數(shù)學(xué)學(xué)不好可能會(huì)一語(yǔ)成讖。有證據(jù)表明，認(rèn)為女性數(shù)學(xué)能力不如男性的文化假設(shè)可能是造成數(shù)學(xué)成績(jī)性別差距的主要原因。種族成見(jiàn)也會(huì)影響數(shù)學(xué)成績(jī)。美國(guó)范德比爾特大學(xué)（Vanderbilt University）的埃博妮?麥琪（Ebony McGee）教授花了十多年時(shí)間研究系統(tǒng)性種族主義問(wèn)題。她在她的書(shū)中指出，黑人、土著和拉美裔學(xué)生經(jīng)常有“被孤立或被定位為冒名頂替者”的經(jīng)歷，以及其他種族化偏見(jiàn)，這些偏見(jiàn)消耗了他們的精力。
數(shù)學(xué)焦慮也可能會(huì)從老師和父母那里傳染給孩子。在 2017 年的一項(xiàng)研究中，作者寫(xiě)道，“來(lái)自美國(guó)的證據(jù)表明，與高度數(shù)學(xué)焦慮的成年人互動(dòng)的孩子，其數(shù)學(xué)成績(jī)相對(duì)于同齡人會(huì)受到影響”。斯坦福大學(xué)的喬?布勒（Jo Boaler）及其同事們正在為家長(zhǎng)們開(kāi)發(fā)一種名為“Struggly”的在線資源，他們認(rèn)為，孩子們應(yīng)該因?yàn)榕W(xué)習(xí)和花時(shí)間理解數(shù)學(xué)概念得到獎(jiǎng)勵(lì)，而不僅僅是當(dāng)他們給出正確答案的時(shí)候?！吧窠?jīng)科學(xué)清楚地表明，每個(gè)人都在經(jīng)歷成長(zhǎng)的過(guò)程，沒(méi)有誰(shuí)能突然變得天賦異稟?！盉oaler 說(shuō)到。
長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教育工作者面臨的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是，如何在講授基本概念和促進(jìn)深刻理解的同時(shí)，平衡課堂上孩子們通常最害怕的部分：記憶和重復(fù)。
布勒及其同事主張改革加州數(shù)學(xué)框架（與共同核心課程并行的一套教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)），將數(shù)學(xué)概念歸納為與生活相關(guān)的“大概念”。例如，三年級(jí)學(xué)生可以根據(jù)地板磚的形狀學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和多邊形等概念，通常這些概念是被分開(kāi)講授的。她說(shuō)：“通過(guò)將數(shù)學(xué)概念和生活結(jié)合起來(lái)，教師可以集中精力講更少的內(nèi)容，但是這些內(nèi)容之間的聯(lián)系會(huì)更緊密”。布勒不喜歡定時(shí)的記憶練習(xí)，她認(rèn)為這會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)焦慮。她說(shuō)，像 7 乘 8 等于 56 這樣的數(shù)學(xué)事實(shí)固然重要，但強(qiáng)調(diào)其意義和情景相關(guān)性的教學(xué)最有助于學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)。
數(shù)學(xué)和音樂(lè)在共同的大腦區(qū)域中存在相關(guān)性
芭芭拉?奧克利（Barbara Oakley）提出了一個(gè)相反的觀點(diǎn)：她認(rèn)為，歸根結(jié)底，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更像是學(xué)習(xí)語(yǔ)言或音樂(lè)。而不是像其他形式的學(xué)習(xí)。她在一篇個(gè)人文章中講述了她是如何開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并在晚年成為數(shù)學(xué)家的。她在文章中寫(xiě)道，重復(fù)和記憶是必不可少的，如果只注重理解概念而忽視死記硬背的練習(xí)，可能會(huì)影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這看似是一場(chǎng)辯論，但并非如此 —— 任何課程都不會(huì)是純粹的概念驅(qū)動(dòng)或純粹的記憶驅(qū)動(dòng)。每個(gè)人都需要理解概念，也需要練習(xí)使用概念。事實(shí)上，在 PISA 國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目的數(shù)學(xué)評(píng)估中，僅靠死記硬背來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生成績(jī)一直不如那些注重理解概念之間關(guān)系的學(xué)生。
一種或許能將概念與練習(xí)相結(jié)合的方法叫做“分塊法”。奧克利在書(shū)中寫(xiě)道：“這種方法就是把你需要學(xué)習(xí)的材料分成‘塊’，‘塊’就是‘通過(guò)意義結(jié)合在一起的信息片段’”。這種方法的理念是，通過(guò)分解大的問(wèn)題、概念或過(guò)程，你可以集中精力，以可消化的方式解決各個(gè)組成部分。
在采訪中，奧克利經(jīng)常以倒車(chē)為例。如果你從來(lái)沒(méi)有開(kāi)過(guò)車(chē)，你需要思考倒車(chē)的整個(gè)動(dòng)作順序：看后視鏡、檢查盲點(diǎn)、掛倒擋倒車(chē)、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)等等。但是，一旦你經(jīng)常倒車(chē)，倒車(chē)就會(huì)成為你的第二天性，你甚至不會(huì)去想各個(gè)步驟。同樣的道理也適用于你嘗試學(xué)習(xí)的任何數(shù)學(xué)原理。她概述了分塊學(xué)習(xí)的三個(gè)步驟：將注意力集中在一個(gè)部分上，理解這一部分背后的基本思想，查看其上下文。當(dāng)你記住并徹底練習(xí)每一個(gè)信息塊時(shí)，你就可以將它們整合成概念上有聯(lián)系的更大的信息塊。
在愛(ài)爾蘭，弗拉維亞?桑托斯（Flávia Santos）的研究小組一直在探索如何利用數(shù)學(xué)和音樂(lè)之間的相互聯(lián)系來(lái)幫助患有計(jì)算障礙的孩子。神經(jīng)科學(xué)研究支持這樣一種觀點(diǎn)，即數(shù)學(xué)和音樂(lè)在相關(guān)活動(dòng)中激活的腦區(qū)之間存在相關(guān)性。
桑托斯指出，數(shù)學(xué)和音樂(lè)本質(zhì)上都是帶有符號(hào)的系統(tǒng)。雖然我們無(wú)法證明熟練掌握一種技能會(huì)帶來(lái)另一種技能的卓越，但分?jǐn)?shù)、比率和模式識(shí)別對(duì)兩者都很重要。因此，桑托斯認(rèn)為，音樂(lè)訓(xùn)練可能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有好處。研究表明，音樂(lè)能增強(qiáng)空間-時(shí)間推理能力，而這種能力空間-時(shí)間推理能力有助于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。到目前為止，盡管只觀察到了小群體的情況，但結(jié)果還是很有希望的。例如，2020 年發(fā)表在《心理學(xué)前沿》（Frontiers in Psychology）雜志上的一項(xiàng)研究中，桑托斯的研究小組報(bào)告說(shuō)，在巴西的一個(gè)小樣本中，涉及唱歌、打擊樂(lè)和體操的訓(xùn)練與數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)有正相關(guān)的聯(lián)系。
歸根結(jié)底，每個(gè)孩子都有自己的獨(dú)特需求，家長(zhǎng)可以與老師合作，找出適合自己孩子的方法。但是，一般來(lái)說(shuō)，家長(zhǎng)可以通過(guò)避免與孩子分擔(dān)分享自己的數(shù)學(xué)焦慮，鼓勵(lì)孩子創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，來(lái)培養(yǎng)孩子對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。布勒說(shuō)：“永遠(yuǎn)不要跟孩子說(shuō)‘我數(shù)學(xué)不好’、‘我討厭數(shù)學(xué)’，這些話會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響，而是要努力參與進(jìn)來(lái)，幫助他們將數(shù)學(xué)視為有趣的謎題?！?/p>
作者：ELIZABETH LANDAU
翻譯：小聰
審校：悅悅
原文鏈接：Are All Brains Good at Math?
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：ELIZABETH LANDAU
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