根據(jù)人們所熟知的六度分離理論，你能夠通過(guò)很少的熟人關(guān)系聯(lián)系到世界上的任意一個(gè)人。通常而言，人們普遍只生活在身邊緊密聯(lián)系的小朋友圈中。本文探討了 Stephen Strogatz 和 Duncan J. Watts 提出的數(shù)學(xué)模型，該模型能幫助解釋這個(gè)小世界現(xiàn)象。
六度分離理論（six degrees of separation），或凱文?貝肯（Kevin Bacon）的六度理論，是一個(gè)已進(jìn)入大眾文化的數(shù)學(xué)概念。這個(gè)概念是指地球上任何兩個(gè)人有很大概率通過(guò)六個(gè)熟人建立聯(lián)系。它可以適用于你和英國(guó)國(guó)王、你和演員凱文?貝肯以及你和數(shù)學(xué)家保羅?埃爾德什（Paul Erd?s）。
這一想法源于社會(huì)學(xué)家斯坦利?米爾格拉姆（Stanley Milgram）在 20 世紀(jì) 60 年代進(jìn)行的一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。提起米爾格拉姆，更被眾人所知的或許是他開展的另一項(xiàng)更為危險(xiǎn)的實(shí)驗(yàn)。在這場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中，“權(quán)威”要求參與實(shí)驗(yàn)的志愿者對(duì)扮演的測(cè)試對(duì)象施加“致命的電擊”。米爾格拉姆希望通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)理解數(shù)千名“普通”德國(guó)公民為何會(huì)在大屠殺期間犯下駭人罪行，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)令人驚訝：相當(dāng)一部分被試這樣做了。
相比之下，米爾格拉姆的小世界實(shí)驗(yàn)遠(yuǎn)沒有那么令人不快。這個(gè)實(shí)驗(yàn)想研究我們?cè)S多人都經(jīng)歷過(guò)的事情：你在遠(yuǎn)離故鄉(xiāng)的地方遇到一個(gè)人，令你驚訝的是，你發(fā)現(xiàn)你們竟然有共同的朋友或熟人。這種尋常經(jīng)歷引出了小世界問(wèn)題：能用一條熟人關(guān)系鏈把任何兩個(gè)人聯(lián)系起來(lái)嗎？這樣的關(guān)系鏈有多長(zhǎng)？
為了研究這個(gè)問(wèn)題，米爾格拉姆隨機(jī)選擇了故鄉(xiāng)遠(yuǎn)在內(nèi)布拉斯加州（美國(guó)中西部）的居民，并要求他們通過(guò)朋友或熟人將一封信傳遞給波士頓（美國(guó)東北部）的收件人（米爾格拉姆當(dāng)時(shí)在哈佛大學(xué)，就在波士頓的路上）。如果他們不認(rèn)識(shí)收件人，就將信寄給熟人圈中他們認(rèn)為更接近目標(biāo)人物的那一位。雖然只有一小部分信件能夠到達(dá)目的地，但在到達(dá)的信件中，平均經(jīng)過(guò)的熟人數(shù)量為 6—— 六度分離理論由此誕生。這個(gè)結(jié)果非常令人意外，以至于它啟發(fā)了一部百老匯戲?。▌?chuàng)造了“六度分離理論”一詞）、一部電影、一部電視節(jié)目，甚至一個(gè)慈善社交網(wǎng)絡(luò)。
小世界性
今天，我們比以往任何時(shí)候都更加意識(shí)到，生活是在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳播的：不僅有社交網(wǎng)絡(luò)，還有基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，如電網(wǎng)、水網(wǎng)和交通網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)的物理網(wǎng)絡(luò)和構(gòu)成互聯(lián)網(wǎng)的虛擬網(wǎng)絡(luò)，乃至于大腦神經(jīng)元和細(xì)胞內(nèi)代謝過(guò)程的生物網(wǎng)絡(luò)。所有這些網(wǎng)絡(luò)都是節(jié)點(diǎn)的集合 —— 人、發(fā)電站、計(jì)算機(jī)或神經(jīng)元 —— 通過(guò)鏈接連接起來(lái) —— 友誼、電線、WiFi、互聯(lián)網(wǎng)電纜以及神經(jīng)連接。并且，以上所有網(wǎng)絡(luò)似乎都表現(xiàn)出相似的結(jié)構(gòu)。一方面，節(jié)點(diǎn)之間的平均距離（也就是一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)需要經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)）往往很小；另一方面，網(wǎng)絡(luò)中也都有很多局部團(tuán)簇：如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接，它們各自連接到的節(jié)點(diǎn)往往也會(huì)彼此連接起來(lái)。這兩個(gè)特征定義了數(shù)學(xué)家所說(shuō)的小世界網(wǎng)絡(luò)。
為什么類似的小世界網(wǎng)絡(luò)如此普遍存在于世界上？在社交網(wǎng)絡(luò)中，自然會(huì)形成很多當(dāng)?shù)厝后w —— 朋友的朋友常常會(huì)成為朋友。同時(shí)，熟人也可以在機(jī)場(chǎng)或度假時(shí)偶然結(jié)識(shí)，這會(huì)將距離較遠(yuǎn)的兩個(gè)群體松散的聯(lián)系起來(lái)。這種直覺可以在 20 世紀(jì) 90 年代末數(shù)學(xué)家史蒂文?斯特羅加茨（Steven Strogatz）和鄧肯?J?瓦茨（Duncan J. Watts. Watts）開發(fā)的一個(gè)模型中描述出來(lái)。瓦茨的靈感來(lái)自他自己的經(jīng)歷，他來(lái)自澳大利亞，后前往美國(guó)康奈爾大學(xué)求學(xué)，在斯特羅加茨的指導(dǎo)下攻讀博士學(xué)位。他跨越半個(gè)地球的行為將兩個(gè)原本相距遙遠(yuǎn)的群體聯(lián)系在一起，即他在澳大利亞的朋友和康奈爾的朋友。
在嘗試建立小世界網(wǎng)絡(luò)模型的過(guò)程中，瓦茨和斯特羅加茨做了數(shù)學(xué)家最常做的事情。他們從能找到的最簡(jiǎn)單的模型開始：一個(gè)由朋友關(guān)系構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，其中的每個(gè)人只與指定數(shù)量的最近幾個(gè)鄰居是朋友。這樣的網(wǎng)絡(luò)是高度聚集的，但對(duì)于一個(gè)足夠大的網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，隨機(jī)一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的平均距離卻非常長(zhǎng)。
隨后，瓦特和斯特羅加茨開始修改這個(gè)鄰居網(wǎng)絡(luò)的連接方式。他們隨機(jī)選擇一部分鏈接進(jìn)行重新定向，方式是保持鏈接的一端固定，而另一端則連接到網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇的節(jié)點(diǎn)。由于網(wǎng)絡(luò)中的大部分節(jié)點(diǎn)都不在任何一個(gè)最終連接到的節(jié)點(diǎn)的附近，因此重新建立的鏈接很可能會(huì)連接起兩個(gè)原本距離較遠(yuǎn)的團(tuán)體，從而大大縮短它們之間的距離。事實(shí)證明，只需一點(diǎn)點(diǎn)隨機(jī)性的重連就足以縮短節(jié)點(diǎn)之間的平均距離，并且不會(huì)破壞已有的局部團(tuán)簇：在原本平均距離很遠(yuǎn)的熟人網(wǎng)絡(luò)之間增加少量幾條“捷徑”，就足以使他們的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)成為小世界。
Watts 和 Strogatz 重新連接出了一個(gè)非常有序的網(wǎng)絡(luò)，其中的節(jié)點(diǎn)只與最近的若干鄰居是朋友。其他鏈接則被重新定向到圖中的隨機(jī)節(jié)點(diǎn)，只需進(jìn)行幾次這樣的重新連接即可創(chuàng)建一個(gè)小世界。
在這種小世界網(wǎng)絡(luò)模型中，從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均距離取決于網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)目和給定節(jié)點(diǎn)所連接的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)。如果在重新連接時(shí)將隨機(jī)性發(fā)揮到極致，我們會(huì)得到一個(gè)完全隨機(jī)的網(wǎng)絡(luò)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連接到個(gè)其他節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的平均距離與成正比，其中是節(jié)點(diǎn)總數(shù)。但 Strogatz 和 Watts 發(fā)現(xiàn)，并不需要在在初始“大世界”網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)重連太多次，就可以讓節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的平均距離迅速下降到接近這個(gè)極限值。
具體情景中的分離度
結(jié)合具體場(chǎng)景，當(dāng)前世界人口約為 80 億。如果去掉 15% 社交模式不典型的人（因?yàn)樗麄兪菋雰?、太過(guò)年長(zhǎng)或在其他方面不符合普羅大眾），則剩下 6,800,000,000 人。假設(shè)每個(gè)人平均有 35 個(gè)熟人（這是一個(gè)沒有證據(jù)支撐的猜測(cè)），我們可以估算出世界上任意兩個(gè)人在熟人關(guān)系定義下的平均距離為：
在用超級(jí)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)成功解釋小世界現(xiàn)象的幾年后，瓦茨將他的數(shù)學(xué)知識(shí)帶到了哥倫比亞大學(xué)社會(huì)學(xué)系，并在那成為了一名教授。2001 年，瓦茨和他的同事開展了現(xiàn)代版本的米爾格拉姆實(shí)驗(yàn)，這次使用的是互聯(lián)網(wǎng)而不是慢吞吞的郵政系統(tǒng)。他們招募了來(lái)自 166 個(gè)不同國(guó)家的 60,000 多人，并安排了 18 位目標(biāo)收件人，其中包括在美國(guó)的一名大學(xué)教授、在印度的一名技術(shù)顧問(wèn)和在澳大利亞的一名警察。
與以前一樣，參與者被要求將電子郵件（代替紙質(zhì)信件）傳遞給他們認(rèn)為更接近目標(biāo)收件人的朋友或熟人?？紤]到未完成實(shí)驗(yàn)的比例，該實(shí)驗(yàn)再次發(fā)現(xiàn)，到達(dá)收件人所需的電子郵件數(shù)目平均為 6。有趣的是，或許是因?yàn)榫€上社交平臺(tái)讓人們更容易彼此之間產(chǎn)生聯(lián)系，對(duì)線上社交網(wǎng)絡(luò)的研究得出了略有不同的數(shù)字，例如 X 約為 3.4，F(xiàn)acebook 約為 4.5—— 看來(lái)互聯(lián)網(wǎng)確實(shí)讓世界變得更小了。
作者：Marianne Freiberger & Rachel Thomas
翻譯：virens
審校：7 號(hào)機(jī)
原文鏈接：Six degrees of separation
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Marianne, Rachel
廣告聲明：文內(nèi)含有的對(duì)外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時(shí)間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。