中國女數(shù)學家首個菲爾茲獎要來了？？
就在最近，數(shù)學大佬陶哲軒激動宣布：
困擾數(shù)學家上百年的經(jīng)典難題 —— 掛谷猜想（Kakeya 猜想），被北大校友王虹及哥大數(shù)學副教授 Joshua Zahl 在三維空間中證明了。
根據(jù)陶哲軒的科普，三維 Kakeya 猜想斷言：
一個包含每個方向上單位長度線段的集合（Kakeya 集），在三維空間中必須具有 Minkowski 和 Hausdorff 維度等于三。（具體下文再詳細展開）
雖然看起來只有一句話，但這個問題卻與調(diào)和分析、數(shù)論等多個數(shù)學分支有著緊密聯(lián)系，因此一直以來吸引了無數(shù)數(shù)學家競相攻克。
現(xiàn)在，北大校友王虹和 Joshua Zahl 用 127 頁論文證明了這一說法。
這事兒馬上在國內(nèi)引發(fā)諸多熱議。
有人表示，一旦上述 arXiv 預印本通過審稿，憑借這一突破，王虹成為了 2026 年菲爾茲獎的熱門人選。
要知道，菲爾茲獎是國際數(shù)學界最負盛名的獎項之一，被稱為數(shù)學界的“諾貝爾獎”。
它旨在表彰那些在數(shù)學領域做出杰出貢獻的年輕數(shù)學家（40 歲以下）。該獎項每四年頒發(fā)一次，通常在國際數(shù)學大會（International Congress of Mathematicians, ICM）上宣布獲獎者。
根據(jù)平樂縣宣傳部的一則報道，王虹出生于 1991 年，如今只有 34 歲。如果她能夠獲獎，將實現(xiàn)“首位中國籍女性數(shù)學家獲菲爾茲獎的成就”。
Kakeya 猜想：數(shù)學領域的經(jīng)典難題
首先，Kakeya 猜想由日本數(shù)學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）于 1917 年提出，也被稱為掛谷猜想。
這個問題的原型是：
一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要將短棒旋轉(zhuǎn)一周 360°（支點可以變化）。但廁所很小，應當使短棒掃過的面積盡可能小。面積可以小到多少？
轉(zhuǎn)換成數(shù)學表達即為：
當一根無限細的針向所有可能的方向旋轉(zhuǎn)時，可以掃過的最小面積是多少？
數(shù)學家將這些排列稱為 Kakeya 集，在三維空間中，Kakeya 集包含了從所有方向都能看到的一根短線（單位長度的線段），而三維 Kakeya 猜想斷言：
即使 Kakeya 集（R3）可能看起來非常稀疏，因為它們是由一系列的線段軌跡組成的，但其 Minkowski 維度和 Hausdorff 維度都等于 3。
其中 Minkowski 維度也被稱為“盒子維度”，通過不斷縮小覆蓋 Kakeya 集的結構（如使用盒子或球體），可以計算出在不同尺度下覆蓋集合所需的數(shù)量與尺度大小的關系。
而 Hausdorff 維度則更精細，它考慮了更細致的覆蓋方式，允許使用不同大小和形狀的集合來覆蓋 Kakeya 集，并通過這些覆蓋的最小化程度來定義維度。
當這兩個維度均為 3，從數(shù)學的角度來看，這些集合在幾何上與整個三維空間相同，它們在某種意義上填滿了空間的大部分。
換句話說，盡管這些集合的外觀可能非常稀疏，但它們實際上在幾何上具有與整個空間相同的“體積”或“大小”。
以上說法轉(zhuǎn)換成數(shù)學表達式如下：
使用小尺度參數(shù)（0<??<1），考慮一個由??x??x1 的管子組成的集合??。
這里的管子可以看作是一種細長的三維幾何體，其橫截面是邊長為??的正方形，長度為 1。集合??中的管子數(shù)量大致為≈??-2，并且這些管子的指向是在一個??-分離的集合方向上。
所謂??-分離，意味著任意兩個管子的方向之間的夾角至少為??。通過這樣的方式，將連續(xù)的、復雜的 Kakeya 集問題，轉(zhuǎn)化為對這些離散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究。
而猜想在這種離散化情況下，這些管子的并集 U???????的體積應該大約為 1。
為了簡化證明過程，論文引入了幾種簡化假設。例如，假設管集合是“粘性的”，即它們在多個尺度上保持相似的結構。
基于此，該領域先前研究集中于形式為下界的研究（集合的最小可能維數(shù)）：
具體而言，在三維空間中，對于各種介于 (0 < d < 3) 之間的維數(shù)，人們期望 d 盡可能大。
早期研究中，人們陸續(xù)證明了 d=1（僅考慮單管）、d=2（結合 L2 論證與線相交性質(zhì)）、d=2.5（1995 年 Wolff 梳子論證）的情況。
對維度參數(shù) d 進行歸納
直到最近，王虹、Joshua Zahl 二人證明了 d=3 的情況。
概括而言，他們采用的證明策略十分復雜，通過引入非聚集條件、Wolff 公理、多尺度分析等技術來進行了一系列論證。
這里我們直接看陶哲軒幫忙總結的關鍵技術環(huán)節(jié)：
他們證明的總體思路是對維度參數(shù) d 進行歸納。
他們先定義了一種情況 K (d)，目標是通過數(shù)學推導，證明對于處于一定范圍的維度參數(shù) d，存在一種能從 K (d) 推導出 K (d+??) 的關系，其中??是一個大于 0 且和 d 有關的數(shù)。
PS：K (d) 是指對于所有尺寸為??x??x1、方向為??分隔的約??-2 個管子的配置，不等式（1）成立。
通過不斷重復這個推導過程，讓維度參數(shù) d 逐漸接近 3。
具體來說，他們核心使用多尺度分析技術，對于管子的集合及其組織結構進行了深入研究。
他們對粗細管進行了分組，并將細管組合成粗管。因為細管的方向具有特定的分布性質(zhì)，所以每個粗管能容納的細管數(shù)量是有限的，相應地，要覆蓋所有細管就需要一定數(shù)量的粗管。
然后，基于 K (d) 定義下的不等式，他們計算出了粗管的總體積下限，再結合之前計算粗管總體積的方法和結果，進一步分析出了粗管的一個特殊屬性 —— “多重性”。
這是指在粗管占據(jù)的空間里，管子分布的一種密集程度或重疊程度。
接下來，通過對粗管里的細管進行縮放，并再次結合 K (d) 定義下的不等式，他們得出了縮放之后細管的多重性。
綜合上述粗管和細管多重性的信息，理論上就能得出所有細管集合的多重性范圍。
結果是，在一種叫做“粘性”（sticky）的特殊情況下，他們發(fā)現(xiàn)得到的結果和一開始想要證明的不等式相符。
這里補充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此緊密貼合，形成了所謂的“發(fā)際”（hairbrush）結構。
另外，在處理非粘性情況時，他們引入了“粒狀化”（graininess）理論，這是對集合內(nèi)部結構的一種描述，它可以幫助理解集合如何在不同尺度上組織。
由于在“非粘性”情況下，粗管和細管的配置出現(xiàn)了不平衡，沒辦法直接使用前面的 K (d)，于是他們考慮了一個特殊集合（加厚的 Kakeya 集）和一個球的相交情況。
如果 K (d) 成立，那么這個特殊集合可能會表現(xiàn)得像某種維度的分形；要是這個特殊集合在某個尺度下比預期的更密集，結合這個特殊集合的鄰域體積和球的體積進行分析，就能得到一個新的結論。
而這個結論就是他們期望證明的 K (d+??)，這個特殊的密集情況也被看作是一種“Frostman 測度違反”。
除此之外，研究還涉及到了對“Katz-Tao Convex Wolff axioms”的應用，這是一組描述管子集合行為的假設，它們在證明中作為歸納假設使用。
更多細節(jié)可查看原論文。
16 歲考入北大，轉(zhuǎn)專業(yè)來到數(shù)學系
這項研究的作者一共只有兩位：王虹和 Joshua Zahl。
其中北大校友王虹目前是紐約大學數(shù)學系副教授。
她 1991 年出生于廣西桂林平樂縣，小學期間連跳兩級，16 歲時以 653 分考入北京大學地球與空間物理系，后轉(zhuǎn)入數(shù)學系，2011 年獲得學士學位。
2014 年獲得巴黎綜合理工學院工程師學位和巴黎第十一大學碩士學位。2019 年博士畢業(yè)于麻省理工大學，師從 Larry Guth。
2019-2021 年是普林斯頓高等研究院的博士后成員；2021-2023 年在加州大學洛杉磯分校擔任助理教授。
主要的研究方向為傅里葉變換相關問題。
例如，如果我們知道一個函數(shù)的傅里葉變換在某些曲線物體上有定義，比如球面，或者在一些“彎曲”的離散點集合上有定義，那我們可以對這個函數(shù)做出什么樣的判斷？如何以一種有意義的方式將這個函數(shù)分解成若干部分（這與解耦理論有關）？事實證明，這類問題還與 Falconer 距離問題和交點幾何學有關，我對這些關聯(lián)也很感興趣。
另一位作者為 Joshua Zahl。他現(xiàn)在是不列顛哥倫比亞大學數(shù)學系副教授。
主要研究方向為古典傅里葉分析和組合學。對交點幾何學、限制問題和 Kakeya 問題非常感興趣。
論文：
https://arxiv.org/abs/2502.17655
參考鏈接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631
[2]https://sites.google.com/view/hongwang/home
[3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/
[4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml
本文來自微信公眾號：量子位（ID：QbitAI），作者：一水，原標題《90 后北大校友破解掛谷猜想，陶哲軒激動轉(zhuǎn)發(fā)！網(wǎng)友：預定菲爾茲獎》
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