數(shù)學(xué)家

北京大學(xué)劉若川教授憑借著對(duì) p 進(jìn)霍奇理論的基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)，榮膺 2024 年度拉馬努金獎(jiǎng)。

2024 年阿貝爾獎(jiǎng)得主 Michel Talagrand 向年輕數(shù)學(xué)家分享了自己的一些建議，并鼓舞他們繼續(xù)前進(jìn)。

Simons 基金會(huì)宣布了創(chuàng)始人 Jim Simons 逝世的消息，他的去世引發(fā)了金融界、科技界和數(shù)學(xué)界等多個(gè)領(lǐng)域的悼念。他年輕時(shí)追求學(xué)術(shù)道路，中年進(jìn)入商界，晚年成為了一名億萬富翁慈善家。

整件事最意味深長(zhǎng)的地方在于，AI 即將解決的費(fèi)馬大定理，正是為了證明 AI 無用。

被譽(yù)為“20 世紀(jì)最有影響力之一”的數(shù)學(xué)家卡拉比（Eugenio Calabi）逝世了，享年 100 歲。他的一生，為人類幾何學(xué)的進(jìn)步做出了眾多重要貢獻(xiàn)。其中最為著名的，當(dāng)屬卡拉比在 1954 年提出的關(guān)于一類特殊流形的猜想 —— 卡拉比猜想。

1801 年，天文學(xué)家應(yīng)該能在夜空中觀察到，一群出色的數(shù)學(xué)天才即將大放異彩，開創(chuàng)數(shù)學(xué)史上最偉大的世紀(jì)。在那一群光彩奪目的天才中，沒有比尼爾斯?亨里克?阿貝爾（Niels Henrik Abel）更閃耀了。埃爾米特在談到阿貝爾時(shí)說，" 他給數(shù)學(xué)家們留下了夠他們忙上 500 年的東西?！?/div>

“人類生活在十維的宇宙中?！? 這可不是什么《三體》看上頭后的狂言，而是出自丘成桐之口。 這位數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng) —— 菲爾茲獎(jiǎng)首位華人得主，曾在公開演講中談到： 人類生活在十維的宇宙中，但只有四維時(shí)空可見，剩下的六維空間蜷縮在一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)特異的空間中。 沒想到，這個(gè)看上去玄乎又難以理解的概念，會(huì)被世界級(jí)數(shù)學(xué)家肯定。

這篇文章簡(jiǎn)明地回顧了從古典時(shí)代到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，闡述了他對(duì)于采用范疇論的語言統(tǒng)一不同數(shù)學(xué)分支的設(shè)想。那時(shí)距范疇最初的概念在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中正式出現(xiàn)不過 21 年的時(shí)間。到如今，將近 60 年的時(shí)間過去了，范疇論無論是在其自身還是在統(tǒng)一數(shù)學(xué)方面都有了長(zhǎng)足的發(fā)展，因此埃雷斯曼文章所規(guī)劃的藍(lán)圖與提出的問題不見得仍在現(xiàn)在的語境下適用。但范疇論發(fā)展所取得的成果卻沒有在更廣泛的數(shù)學(xué)家群體中得到它應(yīng)有的重視。翻譯這篇幾乎是 60 年前的文章，是希望和讀者一起回到半個(gè)世紀(jì)之前，重新思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)、體會(huì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維方式。翻譯整體遵照原文，對(duì)個(gè)別細(xì)節(jié)進(jìn)行了修改，注釋與粗體均為譯者所加。

他是科學(xué)史上一位罕見的全才，是概率論的創(chuàng)始人，近代天文學(xué)的重要開拓者，被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的先驅(qū)，他就是人稱“法國(guó)牛頓”的比埃爾?拉普拉斯。

卡拉西奧多里是 20 世紀(jì)最具影響力的數(shù)學(xué)家之一，一位被愛因斯坦尊稱為老師的希臘裔數(shù)學(xué)家。他的教育與研究經(jīng)歷融匯歐洲兩種文化，歷經(jīng)兩次希土戰(zhàn)爭(zhēng)和兩次世界大戰(zhàn)的崢嶸歲月，為希臘一生赤誠(chéng)。在學(xué)術(shù)方面，卡拉西奧多里對(duì)變分法、復(fù)分析、實(shí)變函數(shù)論、測(cè)度論等數(shù)學(xué)理論作出重要貢獻(xiàn)；在物理學(xué)公理化問題上更是有杰出工作。而才華橫溢的他精通多門外語，研究涉獵極廣，還是一位出色的演說家。更不為人知的是，他有兩位中國(guó)學(xué)生。關(guān)于這位大師級(jí)人物的中文資料較少，本文是作者精心梳理后所作，以饗讀者。

卡爾?弗里德里希?高斯（1777~1855）是一個(gè)神童。19 歲差一個(gè)月的他作出了一項(xiàng)非凡的發(fā)現(xiàn)。2000 多年以來，人們知道如何用直尺和圓規(guī)作等邊三角形和正五邊形（還有其他的正多邊形，其邊數(shù)是 2、3、5 的倍數(shù)），但不知道如何作出邊數(shù)為素?cái)?shù)的正多邊形。高斯證明，正七邊形也能用直尺和圓規(guī)作出。 高斯通過寫日記來紀(jì)念他的發(fā)現(xiàn)，在接下來的 18 年里，他在這本日記中記下了他的很多發(fā)現(xiàn)。他還是一個(gè)學(xué)生的時(shí)候就獲得了很多成功。其中有一些是對(duì)歐拉、拉格朗日及其他 18 世紀(jì)數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明的定理的重新發(fā)現(xiàn)；有很多是新發(fā)現(xiàn)。在他學(xué)生時(shí)代的更重要的發(fā)現(xiàn)中，我們可以挑出最小平方法、數(shù)論中二次互反律的證明，以及他對(duì)代數(shù)基本定理的研究。他獲得了博士學(xué)位，學(xué)位論文的標(biāo)題是《關(guān)于所有含一個(gè)變量的有理代數(shù)整函數(shù)都能分解為一次或二次實(shí)因子的定理的新證明》。這是他一生中所發(fā)表的代數(shù)基本定理的 4 個(gè)證明當(dāng)中的第一個(gè)，在這篇論文中，高斯強(qiáng)調(diào)了在證明這個(gè)定理的過程中證實(shí)至少有一個(gè)根的重要性。下面的說明可以顯示他的思路。

數(shù)學(xué)是一門真正有趣的學(xué)科，部分原因在于它是自然界通用的語言。但同時(shí)，它包含了一個(gè)邏輯解釋系統(tǒng) —— 在沒有任何通過觀測(cè)自然現(xiàn)象得到的知識(shí)的情況下，仍然可以對(duì)其自身進(jìn)行發(fā)展。每一代人從一開始就要使用數(shù)學(xué)，但人們對(duì)數(shù)學(xué)使用的程度有多深入呢？呃，還沒人知道。 人們可能會(huì)用數(shù)學(xué)來分割土地，測(cè)量高度，了解白晝黑夜的變化規(guī)律，搭建石堆，最重要的是對(duì)物品計(jì)數(shù)。但是數(shù)學(xué)起源于什么時(shí)候？我們能找到數(shù)學(xué)最初的起點(diǎn)嗎？可能不會(huì)！ 縱然如此，我們今天還是要給大家?guī)硪晃还糯鷶?shù)學(xué)家的故事。他可能是古代西方的第一位數(shù)學(xué)家。

龐加萊是當(dāng)代法國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家、工程師，被譽(yù)為人類最后一個(gè)啥都懂的人，其學(xué)問達(dá)到了現(xiàn)象級(jí)的深度。龐加萊是一個(gè)自成一類的科學(xué)家，主導(dǎo)了他所處時(shí)代的數(shù)學(xué)與物理，對(duì)所有他投身其中的領(lǐng)域他都做出了重大貢獻(xiàn)，其對(duì)相對(duì)論和量子力學(xué)的貢獻(xiàn)都是奠基性的、一錘定音式的。龐加萊還是哲學(xué)家，其實(shí)用偶然主義對(duì)科學(xué)實(shí)踐具有普遍的指導(dǎo)意義，而他的那些普及科學(xué)的優(yōu)雅文字將持續(xù)影響著這個(gè)世界。

面、邊和頂點(diǎn)的數(shù)量不是獨(dú)立的，而是以一種簡(jiǎn)單的方式聯(lián)系在一起的。它使用最早的拓?fù)洳蛔兞康睦觼韰^(qū)分具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的固體。純數(shù)學(xué)中最重要和最強(qiáng)大的領(lǐng)域之一 —— 拓?fù)鋵W(xué)，是研究幾何物體在連續(xù)變形后不變的性質(zhì)。它幫助我們理解酶如何作用于細(xì)胞中的 DNA，以及為什么天體的運(yùn)動(dòng)可以是混亂的。

一個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家在舊的抽象上面建立了新的抽象，與其說數(shù)學(xué)家做出了新東西，不如說被考慮的對(duì)象變得更為抽象了。以霍奇猜想為例，微積分的運(yùn)算在這里扮演了一個(gè)主要的角色，但是這個(gè)微積分不是像許多高中生所學(xué)到的那樣在實(shí)數(shù)上進(jìn)行，甚至也不在復(fù)數(shù)上進(jìn)行。這是在更一般、更抽象的背景上進(jìn)行的微積分。 對(duì)普通人來說，這個(gè)問題的難以理解正是它最有趣的地方。話雖如此，但我還是想試圖解釋一下霍奇猜想說的是什么。

埃爾米特于 1822 年 12 月 24 日出生在法國(guó)。創(chuàng)造性的才能與掌握他人理論精華的能力，在他身上罕見地結(jié)合在了一起。而 19 世紀(jì)中葉所需要的，把高斯的算術(shù)創(chuàng)造與阿貝爾和雅可比在橢圓函數(shù)中的發(fā)現(xiàn)、以及由英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾、凱萊和西爾維斯特發(fā)展的代數(shù)不變量理論協(xié)調(diào)在一起的，正是埃爾米特的這種能力。

格奧爾格?弗里德里希?伯恩哈德?黎曼（Georg Friedrich Bernhard Rie-mann）于 1826 年 9 月 17 日出生在德國(guó)漢諾威一個(gè)名叫布列斯倫茨的小村莊。黎曼在大約 6 歲時(shí)開始學(xué)算術(shù)，他天生的數(shù)學(xué)才能立即就表現(xiàn)出來了。在 10 歲時(shí)，他向一個(gè)叫舒爾茨的專職教師學(xué)習(xí)高等算術(shù)和幾何，舒爾茨很快就發(fā)現(xiàn)自己得跟著這個(gè)學(xué)生走，這孩子常有比他更好的解題方法。 黎曼中學(xué)時(shí)的校長(zhǎng)施馬爾富斯注意到黎曼的數(shù)學(xué)才能，允許他隨意進(jìn)出圖書館，并允許他不上數(shù)學(xué)課。在施馬爾富斯的推薦下，黎曼借走了勒讓德的《數(shù)論》。這無疑是黎曼對(duì)素?cái)?shù)之謎感興趣的開始。勒讓德有一個(gè)用來估計(jì)小于任意給定數(shù)的素?cái)?shù)的近似數(shù)目的經(jīng)驗(yàn)公式。在黎曼最深刻、最有啟發(fā)性的論文中，有一篇就是屬于這個(gè)領(lǐng)域。事實(shí)上，從他試圖改進(jìn)勒讓德的公式而產(chǎn)生的“黎曼猜想”，成了今天最困難的數(shù)學(xué)難題之一。

英國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)是在獨(dú)創(chuàng)性方面。布爾的就是一個(gè)典型的例子。布爾的邏輯代數(shù)迅速發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。各國(guó)數(shù)學(xué)家們把它擴(kuò)展到一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域。伯特蘭?羅素說，純數(shù)學(xué)是布爾在 1854 年出版的他的《思維規(guī)律》一書中發(fā)現(xiàn)的。 這表明了數(shù)學(xué)邏輯及其分支在今天的重要程度。布爾以前的其他人，特別是萊布尼茨和德?摩根，曾經(jīng)夢(mèng)想過要把邏輯本身加進(jìn)代數(shù)的領(lǐng)域。布爾將它變成了現(xiàn)實(shí)。

專研長(zhǎng)達(dá) 10 年，論文足足 177 頁。 數(shù)學(xué)家通過計(jì)算機(jī)，找到了讓著名歐拉方程失效的“奇點(diǎn)”。

黎曼猜想是一位名叫伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）的數(shù)學(xué)家提出的。黎曼是一位英年早逝的德國(guó)數(shù)學(xué)家，出生于 1826 年，去世于 1866 年，享年還不到 40 歲。黎曼的一生雖然短暫，卻對(duì)數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都做出了巨大貢獻(xiàn)，影響之廣甚至波及了物理。比如以他名字命名的“黎曼幾何”不僅是重要的數(shù)學(xué)分支，而且成為阿爾伯特?愛因斯坦（Albert Einstein）創(chuàng)立廣義相對(duì)論不可或缺的數(shù)學(xué)工具。