貓貓和人的交互行為，竟然被物理學(xué)家用方程式寫出來了！其成果還正經(jīng)刊登在了《美國物理學(xué)雜志》上。
起因就是這位名叫 Anxo Biasi 的小哥，有一天觀察起了自家貓貓，突發(fā)奇想：能否將貓視為一個(gè)在人產(chǎn)生的勢場中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，用物理方程來描述其行為？
結(jié)果通過仔細(xì)研究，他成功構(gòu)建了一個(gè)能夠定性重現(xiàn)多種貓與人交互行為特征的貓貓運(yùn)動方程。
此前雖然物理學(xué)家已經(jīng)研究過貓的一些特性（比如貓總能四腳著地的能力），還有下圖這種用來描述貓?jiān)叫≡娇蓯鄣摹昂诙簇垺庇哪扔鳌?/p>
但這項(xiàng)研究是首次以方程的形式對貓的典型行為特征進(jìn)行建模。甚至貓貓?jiān)谝归g瘋狂跑酷也被再現(xiàn)了。
還有貓貓通常會對主人的呼喚愛答不理，它們會在最喜歡的人的腿上待更久……
趴在主人腿上 VS 趴在陌生人腿上，be like：
網(wǎng)友們覺得甚是有趣，幫助大家理解一些經(jīng)典力學(xué)概念的例子 + 1。
真沒想到愛貓人士會做到如此地步。
貓運(yùn)動方程，如何建立？
這位小哥將貓貓建模為一個(gè)點(diǎn)粒子，首先結(jié)合日常觀察以及各種討論中定義了貓貓的 7 種常見場景。
（點(diǎn)粒子，物理學(xué)中一種粒子理想化描述，主要特點(diǎn)是不占用空間。舉個(gè)例子，只要離得夠遠(yuǎn)，各種形狀的物體都會看似于一個(gè)點(diǎn)。）
明確指出的是，這是一項(xiàng)理論研究，沒有進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)，所有結(jié)論都建立在日常觀察和物理建模的基礎(chǔ)上。
此次關(guān)注的是貓與人互動的一個(gè)簡單場景：一只貓和一個(gè)靜止的人在一起。
這 7 種行為分別是：
P1：貓休息時(shí)通常會與人保持一定距離。
P2：當(dāng)貓趴在人身上休息時(shí)（如趴在腿上、肚子上、背上），極小的刺激就可能使它們離開這個(gè)位置（如一只蒼蠅、一個(gè)難以察覺的聲音、鄰近星系原子的 β-衰變）。產(chǎn)生離開所需的擾動強(qiáng)度取決于貓對其所依靠的人的依戀程度。
P3：當(dāng)貓被人撫摸時(shí)，它們會前后擺動。
P4：當(dāng)貓被人呼喚時(shí)，它們很少回應(yīng)。
P5：當(dāng)貓決定接近呼喚它們的人時(shí)，它們往往會在途中分心，無法到達(dá)對方身邊。
P6：晚上，貓咪會隨意在屋子里跑酷。（這種情況被稱為“zoomies”）
P7：當(dāng)貓喜歡被人撫摸時(shí)，它們會發(fā)出呼嚕聲（發(fā)出柔和振動的聲音）。
當(dāng)然，這些行為并不具有普遍性。有些貓也可能表現(xiàn)得不太明顯。定義完之后進(jìn)行研究假設(shè)：貓的行為就像它們感知到人周圍有一種力。
作為初步近似，他們將貓的動力學(xué)模型定義為在存在外部勢能（由靜止的人引起）和摩擦項(xiàng)的情況下，一個(gè)服從牛頓力學(xué)的點(diǎn)粒子。
其中 x（t）表示貓?jiān)跁r(shí)間 t 相對于位于 x=0 處的人的位置，m>0 是貓的質(zhì)量，并且 ?>0 是摩擦系數(shù)，其值取決于每只貓。
將微分方程轉(zhuǎn)化為基于有理函數(shù)的形式。它提供了對平衡點(diǎn)的控制，這樣管理平衡點(diǎn)的數(shù)量、相對位置和穩(wěn)定性。
其中，g>0 是耦合常數(shù)（從現(xiàn)在起將 g 簡化設(shè)置為 g=1，但這不會改變模型的定性圖像）；δ 在 [0，1] 區(qū)間，反映了貓對人的依戀。
當(dāng) δ=0 時(shí)，點(diǎn) x=0（人的位置）是不穩(wěn)定的：貓對人沒有依戀。
當(dāng) δ＞0 時(shí)，點(diǎn) x=0 是穩(wěn)定的。并且 δ 值越大，貓的依戀越強(qiáng)。當(dāng) δ=1 時(shí)，這表明貓對人有很強(qiáng)的依戀。
此外，需要公式（1）中的摩擦項(xiàng)來減少能量。否則，貓?jiān)诨顒右欢螘r(shí)間后就不會趨于靜止?fàn)顟B(tài)，比如左右兩側(cè)∞狀態(tài)。
為了阻止貓的運(yùn)動，需要 ?≥0，而且摩擦力必須與速度的奇數(shù)次方成正比。
最后要注意的是，貓是在三維空間中移動的。然而，由于最重要的參數(shù)是貓和人之間的距離，我們假設(shè)貓沿著一條線移動，這進(jìn)一步簡化了分析。
還將跑酷和發(fā)出呼嚕聲模擬出來了
基于貓運(yùn)動方程，小哥將貓的 7 種行為定性地表示了出來。
P1：貓咪休息時(shí)通常會與人保持一定距離。這種行為被中心外的全局最小值所捕捉。
如圖 1 所示，貓可能以不同的速度從許多位置開始，但由于摩擦項(xiàng)，最終會到達(dá)最小值。
在大多數(shù)情況下，最終位置將是全局最小值，特別是對于貓和人之間的弱聯(lián)系（δ 較小時(shí)）。
當(dāng) δ 趨近于 1 時(shí)，x=0 將成為額外的全局最小值。
P2，該陳述的第一部分由勢能平衡點(diǎn) x=0（人的位置）重現(xiàn)，因?yàn)樨埧赡芸吭谌松砩稀?/p>
該陳述的第二部分是通過勢能對 δ 的依賴性來捕捉的。也就是說當(dāng) δ=0 時(shí)，x=0 是不穩(wěn)定的，這表明在任意小的擾動下，貓都會偏離人。隨著 δ 的增長，需要更強(qiáng)的刺激才能將貓從人身上分離。
P3，“當(dāng)貓被人撫摸時(shí)，它們會以振蕩運(yùn)動來回移動?！边@種效應(yīng)也在 x=0 附近的穩(wěn)定區(qū)域重現(xiàn)（對于 δ＞0 的情況）。
當(dāng)貓平靜地靠近人（動能低）時(shí)，它們會圍繞人進(jìn)行小幅度的振蕩，并收斂到靜態(tài)，這歸功于方程中的摩擦項(xiàng)。
即使被陌生人撫摸（δ=0），貓也可能表現(xiàn)出這些穩(wěn)定的振蕩，但為此必須添加一個(gè)新變量（呼嚕聲）。
觀察結(jié)果 P4 和 P5 可以用偏心最小值與人（x=0）之間的勢壘來解釋，如圖 1 所示。
P4 被呼喚的行為被建模為貓向人發(fā)出的沖動，這會導(dǎo)致動能增加，這種能量注入可能足以或不足以克服勢壘。由于能量不足，貓會在一段時(shí)間后，再次收斂到靜止位置。
如下圖藍(lán)色（較暗）和綠色（較亮）軌跡所顯示。
當(dāng)貓受到足夠強(qiáng)的刺激（沖動）接近人時(shí)，也就來到了 P5：“當(dāng)貓決定接近呼喚它們的人時(shí)，它們經(jīng)常在途中分心而無法接近人?！边@一觀察結(jié)果也用上圖綠色（較淺）軌跡所示。
這一現(xiàn)象中，貓的質(zhì)量也會起作用（Doge），貓獲得的速度會隨著質(zhì)量的增加而減小 ——
體重較輕的貓（例如小貓）會表現(xiàn)出精力充沛的動作并對任何刺激做出反應(yīng)，而體重較重的貓（例如老年貓或喂食過度的貓）則不會表現(xiàn)出同樣的熱情。這也與觀察結(jié)果明顯一致。
除此之外，作者還將這一方程進(jìn)行了拓展：貓貓跑酷和呼嚕聲，這兩種行為也被重現(xiàn)了。
貓貓跑酷。
其中 σ 為常數(shù)，f (t) 為外部隨機(jī)強(qiáng)迫。在給定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生快速移動的概率取決于摩擦力 ? 和強(qiáng)迫 σ 的值。
這使我們能夠根據(jù)每只貓的特殊性調(diào)整模型。例如，小貓不斷表現(xiàn)出這些時(shí)期，對應(yīng)于較低的摩擦力和較高的強(qiáng)迫力，而老年貓則很少表現(xiàn)出這種活動。
（a）顯示貓可能突然從一個(gè)平衡點(diǎn)跑到另一個(gè)平衡點(diǎn)，在那里停留一段時(shí)間，然后再次隨機(jī)地回到上一個(gè)平衡點(diǎn)。（b）為小貓（c）為老年貓
對于第 7 種行為，作者定義呼嚕聲是一種穩(wěn)定機(jī)制。
一部分原因在于當(dāng)貓被撫摸并開始發(fā)出呼嚕聲時(shí)，人們通常會有繼續(xù)撫摸貓的沖動，從而通過這種方式增強(qiáng)了過程的穩(wěn)定性。
以卡皮察擺作為類比，貓?jiān)诎l(fā)出呼嚕聲時(shí)會振動，振動可以作為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定機(jī)制，由此定義貓貓呼嚕聲運(yùn)動模型：
振動可以加強(qiáng)貓與人之間的有效聯(lián)系。
在原有貓方程基礎(chǔ)上，引入了外部振動強(qiáng)迫來模擬這種效果。
其中 G (x) 暫時(shí)為無約束函數(shù)，β 和 Ω 分別為貓中振動的振幅和頻率。此類驅(qū)動項(xiàng)模擬了在時(shí)間振蕩場中移動或受到周期性強(qiáng)迫的粒子。
好了，此舉從物理學(xué)的角度探索了貓與人之間的互動。
作者表示，這種互動模型旨在用于經(jīng)典力學(xué)的入門課程，讓學(xué)生更好地熟悉平衡點(diǎn)、勢壘、摩擦或外力等概念。
靈感來自于自家的貓貓
此次研究成果來自理論物理學(xué)家 Anxo Biasi 和他家的貓貓 Eme。
他主要研究非線性演化方程的動態(tài)行為，特別關(guān)注奇異點(diǎn)的形成、長期動態(tài)行為和湍流問題，這在流體動力學(xué)、玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)和廣義相對論等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。
Anxo 此前通過巴黎高等師范學(xué)院物理系的 La Caixa 青年領(lǐng)袖計(jì)劃，加入了加利西亞高能物理研究所（IGFAE）。
在 IGFAE，他已經(jīng)完成了博士論文，并將加入弦理論相關(guān)領(lǐng)域的研究團(tuán)隊(duì)，繼續(xù)研究物理學(xué)和數(shù)學(xué)交叉領(lǐng)域的非線性演化方程。
建立貓運(yùn)動方程，最初源自于他在愚人節(jié)的一個(gè)想法：想找一種對學(xué)生更有吸引力的有趣方式來解釋物理。
他本人的貓貓 Eme 給了他靈感，通過仔細(xì)觀察 Eme 與他互動時(shí)的行為，Anxo 發(fā)現(xiàn)這種行為模式具有重復(fù)性和可預(yù)測性，于是開始自己嘗試用物理模型來描述這些行為。
逐漸地，這一在某種程度上看似是開玩笑的事情，呈現(xiàn)出了學(xué)術(shù)形態(tài)。
為此在致謝中還特意感謝了 Eme。
這項(xiàng)工作還可以延伸到各種場景，除了可以從物理學(xué)角度探索貓與人之間互動其它特征，還可以探討貓與貓、狗與狗或狗與人之間的互動。
好想知道貓貓打架是什么方程哇～
參考鏈接：
[1]https://phys.org/news/2024-10-physicist-cat-reveal-equation-motion.html
[2]https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/92/11/827/3317285/On-cat-human-interaction-from-the-viewpoint-of
[3]https://www.phys.ens.psl.eu/en/article/anxo-farina-biasi
本文來自微信公眾號：量子位（ID：QbitAI），作者：白小交、西小風(fēng)，原標(biāo)題《貓貓運(yùn)動方程，首次被物理學(xué)家破解！ |<美國物理學(xué)雜志> 正經(jīng)研究》
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