摯愛(ài)數(shù)學(xué)：非凡的天才伽羅瓦和他優(yōu)美的理論

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：Kasper Müller，翻譯：許釗箐

1832 年 5 月 30 日清晨，隨著一聲槍響，只有 20 歲的埃瓦里斯特?伽羅瓦（évariste Galois）受傷倒在滿是露珠的草地上。歷史上最迷人，最神秘的人物之一即將走向生命的終結(jié)。

引言

這是一個(gè)關(guān)于愛(ài)情和數(shù)學(xué)的故事，和一個(gè)非常聰明的年輕人有關(guān)。他潦草的手稿開(kāi)啟了數(shù)學(xué)中最優(yōu)美、最有趣的領(lǐng)域之一，也引發(fā)了一場(chǎng)關(guān)于我們?nèi)绾嗡伎挤匠痰母锩?。他不僅解決了一個(gè) 350 年懸而未決的問(wèn)題，他的理論還為幾個(gè)兩千年未解的問(wèn)題提供了答案。我們稍后會(huì)講到這些。

更具體地說(shuō)，伽羅瓦考慮了多項(xiàng)式求根的問(wèn)題。（譯者注：多項(xiàng)式的根，也被稱為多項(xiàng)式的解，即使得多項(xiàng)式 p (x) 函數(shù)值為零的 x 的值）

當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道，五次以及五次以上的多項(xiàng)式?jīng)]有可以求根的通用公式。（對(duì)于這里的公式，我們指的是取 n 次方根并應(yīng)用四則運(yùn)算。這個(gè)概念也被稱為根式可解，本文中簡(jiǎn)稱為可解。）但是，伽羅瓦想理解為什么有的高次多項(xiàng)式是根式可解的，而其他的是不可解的。（譯者注：這里讀者可以利用二次多項(xiàng)式求根公式為例來(lái)理解根式可解這個(gè)概念。）

例如方程 x⁵-1=0 是可解的，我們稱這些解為五次單位根。這些解十分漂亮地均勻分布在復(fù)數(shù)平面的單位圓上，也是一個(gè)正五邊形的頂點(diǎn)，即五個(gè)五次單位根。

所以一些 d 階（其中 d≥5）的多項(xiàng)式方程，事實(shí)上是可解的！伽羅瓦理論解決的問(wèn)題正是為什么是這樣的，以及哪些方程是根式可解的，而不是僅僅知道一些方程是不可解的。

一些多項(xiàng)式方程不可解的事實(shí)是被另一位天才 —— 年輕的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯?亨利克?阿貝爾（Niels Henrik Abel）所證明的。其實(shí)幾位大數(shù)學(xué)家，比如魯菲尼（Paolo  Ruffini）和柯西（Augustin-Louis Cauchy），也對(duì)此有所貢獻(xiàn)，但是沒(méi)人提出接近于伽羅瓦的理論，也沒(méi)人可以確切地解釋原因。

在本文中，我們將首先了解歷史概況和伽羅瓦的生平，然后簡(jiǎn)要地介紹他的英年早逝，年僅 20 歲的神秘死亡。之后，我們會(huì)看到其優(yōu)美的數(shù)學(xué)理論的全貌，以及討論為什么它是如此的優(yōu)雅。

盡管一篇文章無(wú)法涵蓋伽羅瓦理論的全部，但我希望可以向你們展示其優(yōu)雅和美麗的一部分，希望它激勵(lì)你們自己去學(xué)習(xí)和探索。

伽羅瓦其人

伽羅瓦出生在 1811 年 10 月 25 日。他很早就對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，在 14 歲時(shí)，他找到了勒讓德（Adrien-Marie Legendre）的《幾何基礎(chǔ)》（éléments de Géométrie）一書(shū)。據(jù)說(shuō)，他讀這本書(shū)“像讀小說(shuō)一樣”，并在第一次閱讀時(shí)就掌握了它。

15 歲時(shí)，他開(kāi)始閱讀拉格朗日的論文，他可能因此受到很大啟發(fā)。

盡管伽羅瓦在自己的時(shí)間里努力學(xué)習(xí)，但他在課堂上卻沒(méi)有什么動(dòng)力。

1828 和 1829 年，他被巴黎綜合理工學(xué)院兩次拒之門外，這里有當(dāng)時(shí)法國(guó)最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)學(xué)院。第一次是因?yàn)槠?，第二次是因?yàn)闆](méi)有通過(guò)口試，據(jù)說(shuō)他把口試搞砸了。（譯者注：巴黎綜合理工學(xué)院被認(rèn)為是法國(guó)最頂尖的工程師大學(xué)，被譽(yù)為法國(guó)精英教育模式的巔峰。）

從這個(gè)時(shí)刻開(kāi)始，日月如梭，1829 年伽羅瓦發(fā)表了一篇關(guān)于連分?jǐn)?shù)的論文，大約在同一時(shí)間，他投稿了一些關(guān)于多項(xiàng)式方程的論文。審稿人正是當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家之一：奧古斯丁-路易斯?柯西。

但是，盡管柯西建議伽羅瓦將文章提交到法國(guó)科學(xué)院以參加學(xué)院獎(jiǎng)（Grand Prix），但是他并沒(méi)有發(fā)表伽羅瓦的論文。

直到今天，沒(méi)有人知道為什么柯西沒(méi)有發(fā)表它。有人說(shuō)，他認(rèn)識(shí)到伽羅瓦思想的重要性，但建議伽羅瓦在出版前進(jìn)行一些編輯。也有些人說(shuō)，政治因素起到了一定作用。(顯然，柯西和伽羅瓦的政治觀點(diǎn)相沖突，這在當(dāng)時(shí)是一件大事。)

1829 年 7 月 28 日，伽羅瓦的父親去世了。伽羅瓦和他父親的關(guān)系非常親密，所以對(duì)他來(lái)說(shuō)，這是生命中一次沉重的打擊。

1830 年，在柯西的建議下，伽羅瓦向另一位數(shù)學(xué)巨匠 —— 約瑟夫?傅里葉（Joseph Fourier）—— 提交了關(guān)于方程理論的論文。不幸的是，不久之后傅里葉就去世了，伽羅瓦的論文也丟失了。

這對(duì)伽羅瓦來(lái)說(shuō)，當(dāng)然是一個(gè)挫折，但他并沒(méi)有輕言放棄。同年晚些時(shí)候，他發(fā)表了三篇論文。其中一篇概述了后來(lái)被稱為伽羅瓦理論的內(nèi)容，另一篇?jiǎng)t首次研究了我們現(xiàn)在稱之為有限域（Finite field）的數(shù)學(xué)概念，它后來(lái)在數(shù)論領(lǐng)域非常重要。

為了了解伽羅瓦的處境和生活，我們需要了解法國(guó)當(dāng)時(shí)發(fā)生了什么。那時(shí)正值法國(guó)七月革命中期，也被稱為法國(guó)第二次革命，伽羅瓦不僅參與了這場(chǎng)革命，還參加了戰(zhàn)斗和辯論。他加入了街頭的暴亂，把時(shí)間都花在了數(shù)學(xué)和政治上。

伽羅瓦死亡之謎

在父親死后的幾年里，伽羅瓦變得越來(lái)越暴力，他被逮捕了多次。1831 年 1 月，伽羅瓦再次試圖發(fā)表他的理論，但是偉大的數(shù)學(xué)家西莫恩?丹尼斯?泊松（Siméon Denis Poisson）認(rèn)為他的工作是“令人費(fèi)解的”。

伽羅瓦當(dāng)時(shí)在監(jiān)獄里，對(duì)泊松的拒稿非常憤怒。但不知為何，這次他很認(rèn)真地對(duì)待了批評(píng)，并開(kāi)始整理自己的工作，更仔細(xì)地撰寫(xiě)了自己的陳述。

伽羅瓦于 1832 年 4 月 29 日獲釋。不久之后，他參與了一場(chǎng)決斗。

關(guān)于那場(chǎng)著名的決斗，有許多猜測(cè)。一封伽羅瓦寫(xiě)于決斗前 5 天的信表明他戀愛(ài)了，而這場(chǎng)決斗正是為了他的愛(ài)人。

在決斗的前一天晚上，伽羅瓦確信自己即將死去，他整夜未眠，寫(xiě)下了后來(lái)他對(duì)數(shù)學(xué)界貢獻(xiàn)最大的一篇論文：寫(xiě)給奧古斯特?謝瓦利埃（Auguste Chevalier）的那封表達(dá)自己觀點(diǎn)的著名信件，以及三份附呈的手稿。

數(shù)學(xué)家赫爾曼?外爾（Hermann Weyl）在談到這篇手稿時(shí)說(shuō)，

“如果從這封信所包含思想的新穎性和深刻性來(lái)判斷，它也許是整個(gè)人類文獻(xiàn)中最豐富的一篇文章?！?/strong>

這就是偉人名言。

1832 年 5 月 30 日清晨，伽羅瓦腹部中槍，隨后被對(duì)手拋棄。

第二天早上，年僅 20 歲的伽羅瓦去世了。

之后的故事

在 1843 年，約瑟夫?劉維爾（Joseph Liouville）審閱了伽羅瓦的手稿，并宣布它是正確的。這篇論文最終在 1846 年，也就是伽羅瓦死后 14 年出版。

然而這個(gè)理論花了更長(zhǎng)的時(shí)間才在數(shù)學(xué)家中流行起來(lái)，人們才真正理解它的奧妙。

事實(shí)上，劉維爾完全錯(cuò)過(guò)了伽羅瓦方法的理論核心 —— 群（Group），直到世紀(jì)之交，伽羅瓦理論才被完全理解，并被確立為抽象代數(shù)（Abstract algebra）的核心部分。這一理論花了將近一百年才成為代數(shù)課程的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容。

伽羅瓦手稿中最著名的部分是證明五次多項(xiàng)式的求根公式不存在 —— 也就是說(shuō)，五次和高次多項(xiàng)式方程通常不能被根式求解。

如上所述，阿貝爾在 1824 年就已經(jīng)證明了根式求解的“五次公式”是不可能存在的，但是伽羅瓦進(jìn)行了更深入的理論研究，提出了現(xiàn)在的伽羅瓦理論。

這一理論可以用來(lái)確定任意的一個(gè)多項(xiàng)式方程是不是有根式解。

伽羅瓦是第一個(gè)創(chuàng)造“群”這個(gè)詞的人，他使用的定義（幾乎）和我們今天在不同的大學(xué)和學(xué)院使用的定義一樣。他提出了正規(guī)子群（Normal subgroup）和有限域的概念，我們稍后也將對(duì)此進(jìn)行討論。

本質(zhì)上說(shuō)，伽羅瓦是現(xiàn)代群論和抽象代數(shù)領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng)者之一。

群論是研究對(duì)稱的數(shù)學(xué)，在很多數(shù)學(xué)和物理的學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。而抽象代數(shù)也被稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”。

我清晰地記著，當(dāng)我在學(xué)習(xí)伽羅瓦理論的課程之前，我已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了多門抽象代數(shù)的課程，比如群論（Group Theory），環(huán)論以及理想（Ring and Ideal Theory），域論（Field Theory）和模理論（Module Theory，模是指在環(huán)上的線性空間，而不是域上的），這一切都非常的抽象。

之后我學(xué)到了伽羅瓦理論，很多之前學(xué)到的內(nèi)容，特別是群論和域論，都得到了應(yīng)用。最后，我可以使用所有的這些抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)證明，為什么一些特定的多項(xiàng)式方程沒(méi)有根式解，而且這些還不是全部的伽羅瓦理論。

這正是我認(rèn)為伽羅瓦理論美妙的原因。

伽羅瓦理論

伽羅瓦理論將抽象代數(shù)中兩個(gè)的子領(lǐng)域聯(lián)系起來(lái) —— 群論和域論。

就像之前提到的，伽羅瓦理論的誕生是由以下這個(gè)問(wèn)題引出的：

對(duì)于一個(gè)五次或者更高次的多項(xiàng)式方程，是否存在一個(gè)公式可以通過(guò)使用多項(xiàng)式的系數(shù)，常用的代數(shù)運(yùn)算（加，減，乘，除）以及根式（平方根、三次方根等等）將所有的根，也就是方程的所有解表示出來(lái)？

盡管阿貝爾-魯菲尼定理（The Abel-Ruffini theorem）提供了一個(gè)反例，證明了存在多項(xiàng)式方程使得這樣一個(gè)表達(dá)式不存在，但是伽羅瓦的理論可以解釋為什么有些方程，包括所有四次以及更低次的方程，求根式解是可能的，以及為什么很多五次以及更高次方程是沒(méi)有根式解公式的，從而為之前的問(wèn)題提供了一個(gè)更完備也更清晰的答案。

現(xiàn)代的伽羅瓦理論使用了群和域的語(yǔ)言，所以我將試著在避免涉及太多其他知識(shí)的同時(shí)解釋伽羅瓦理論，但為了完整性起見(jiàn)，我們將簡(jiǎn)要地介紹這些數(shù)學(xué)概念。

群論

群論是研究對(duì)稱性的。

想象一個(gè)正方形：這個(gè)正方形具有一定的對(duì)稱性 —— 如果旋轉(zhuǎn) 90 度，它看起來(lái)是一樣的，旋轉(zhuǎn) 180 度和 270 度也是一樣的；當(dāng)然，如果旋轉(zhuǎn) 360 度后，會(huì)回到初始的狀態(tài)。

為了記錄下來(lái)，我們可以想象正方形的四個(gè)角都被標(biāo)記了，這樣我們就知道是如何變換的。

還有一種反射對(duì)稱，比如選擇一個(gè)軸，或者說(shuō)一條線，穿過(guò)正方形中間，將其分割成為兩個(gè)大小相等的矩形。你可以沿這條線翻轉(zhuǎn)這個(gè)正方形，它看起來(lái)還是一樣的，但是這個(gè)變換是和旋轉(zhuǎn)不同的。

最后一種就是平凡對(duì)稱性（什么都不變）。

每一種對(duì)稱都有一種反對(duì)稱：比如，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度之后再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度，兩個(gè)變換會(huì)相互抵消，最后等價(jià)于平凡對(duì)稱。

這個(gè)概念可以用代數(shù)的方法進(jìn)行推廣。

一個(gè)群 G 是由滿足以下條件的一個(gè)集合和一個(gè)運(yùn)算構(gòu)成：

1. 對(duì)于兩個(gè)群中的元素 g, h，運(yùn)算之后會(huì)得到在群中的元素 g*h；

2. 存在一個(gè)單位元 e 使得任意一個(gè)元素 g 與其運(yùn)算之后不變，g*e=e*g=g；

3. 對(duì)于任意元素 g，存在一個(gè)逆元 a 使得 g*a=a*g=e。

在以上的例子中，群中的元素正是變換本身。比如說(shuō)，旋轉(zhuǎn) 90 度和上文提到的反射變換都是群中的元素，我們把旋轉(zhuǎn) 90 度記作 σ，把反射變換記作 τ。

這個(gè)群的運(yùn)算正是變換的復(fù)合。所以我們可以得到 σ*τ，也就是先沿著對(duì)稱軸做一次翻轉(zhuǎn)，再旋轉(zhuǎn) 90 度。但是我們可以注意到，σ*τ≠τ*σ，所以在群中，元素運(yùn)算的順序是很重要的。（譯者注：我們這里不妨假設(shè)旋轉(zhuǎn)是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，并且正方形的四個(gè)角是有標(biāo)號(hào)的，這樣讀者可以通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證，先翻轉(zhuǎn)再旋轉(zhuǎn)的結(jié)果與先旋轉(zhuǎn)再翻轉(zhuǎn)的結(jié)果不同。）

因此群的概念是一種將對(duì)稱抽象化的方式。事實(shí)上，抽象變換的群很多，我們甚至不知道如何將其中的一些群可視化。

但是最簡(jiǎn)單的群之一是大家耳熟能詳?shù)模喊姓麛?shù)的集合和加法運(yùn)算就構(gòu)成了一個(gè)群。

當(dāng)我們加兩個(gè)整數(shù)時(shí)，我們會(huì)得到第三個(gè)整數(shù)（這個(gè)集合對(duì)于加法來(lái)說(shuō)是穩(wěn)定的）。單位元是 0，因?yàn)閷?duì)任意整數(shù) k, 0+k=k+0=k，并且逆元正是-k, k+(-k)=0。

所以，是一個(gè)群。但是整數(shù)集合和加法運(yùn)算的群體現(xiàn)了什么對(duì)稱性呢？答案是平移對(duì)稱性。加上一個(gè)整數(shù) k 可以看成是沿著數(shù)軸平移距離 k，正負(fù)代表方向。

而群 G 的子群 H，一般記作 H＜G，表示是的一個(gè)子集，同時(shí)也構(gòu)成一個(gè)群。比如說(shuō)，偶數(shù)的集合是整數(shù)加法群的子群，。

域論

在數(shù)學(xué)中，域是一種特殊的環(huán)。你可以認(rèn)為一個(gè)域是一個(gè)具有兩種運(yùn)算的集合，運(yùn)算通常記為加法和乘法，即 + 和 *，這里的加法和乘法可能并不是平常使用的運(yùn)算，它們?nèi)Q于域的定義，但是你會(huì)看到為什么這個(gè)記號(hào)是有意義的。其中有一個(gè)零元，使得對(duì)于任意中元素 a, a+0=0+a。

并且，集合對(duì)于定義的加法 + 是一個(gè)群，集合 \{0} 對(duì)于定義的乘法 * 也是一個(gè)群。不僅如此，兩個(gè)運(yùn)算是滿足分配律的，a*(b+c)=a*b+a*c，其中的乘法和加法運(yùn)算是域中定義的運(yùn)算。

其他眾所周知的性質(zhì)是，域中存在單位元 1 以及運(yùn)算的交換律，a+b=b+a, a*b=b*a。

這兩個(gè)性質(zhì)可能看起來(lái)很熟悉。確實(shí)如此，因?yàn)榇蠹沂煜さ膶?shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都是域，并且滿足這些性質(zhì)。

如果你了解模運(yùn)算的話，你會(huì)知道整數(shù)對(duì)任意素?cái)?shù) p 取模是一個(gè)域，（常常記作），并且是一個(gè)有限域！這是伽羅瓦的發(fā)現(xiàn)之一。

所以，域是一個(gè)包含“數(shù)字”的集合，我們可以在域中以通常的規(guī)則進(jìn)行四種運(yùn)算，而且它們都有逆。（除了零元的乘法逆，因?yàn)樵谟蛑校粤闳匀皇遣豢赡艿?。?/p>

伽羅瓦理論關(guān)注的正是有理數(shù)域的擴(kuò)張（表示有理數(shù)，即可以表示為分子分母都為整數(shù)的分?jǐn)?shù)）以及復(fù)數(shù)域的子域，，其中只包含有限多個(gè)非有理數(shù)。

我們必須向有理數(shù)域中增加至少一個(gè)非有理數(shù)來(lái)得到這樣處在中間位置的域。那這些域是什么呢？

我們知道，不是有理數(shù)，因?yàn)椴荒軐⑵鋵?xiě)成分子分母為整數(shù)的分?jǐn)?shù)。但是，我們可以將其加入到有理數(shù)中。當(dāng)然，為了得到一個(gè)域，我們還需要加入很多其他的元素，比如說(shuō)-，也就是它的加法逆元。事實(shí)上，我們需要所有形式為 a+b 的數(shù)，其中 a 和 b 為有理數(shù)。

我們稱這個(gè)集合為在中添加生成的擴(kuò)域，或者單擴(kuò)張域，記為?？梢则?yàn)證的是，擴(kuò)域中每一個(gè)非零元素都有加法逆和乘法逆。

更一般的，我們可以把 (α) 看成是包含所有有理數(shù)以及 α 的最小的域。如果 α 是有理數(shù)，則又得到了平凡擴(kuò)張。

在討論伽羅瓦理論美妙之處之前，我們還需要知道分裂域（Splitting feild）是什么。不過(guò)這是非常簡(jiǎn)單的。

考慮一個(gè)系數(shù)均為有理數(shù)的 n 次多項(xiàng)式 f，我們從代數(shù)基本定理可知，n 次多項(xiàng)式 f 恰好有 n 個(gè)復(fù)數(shù)根（根的重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi)）。

所以我們可以考慮包含多項(xiàng)式 f 所有根的基于的域擴(kuò)張。這個(gè)滿足條件的最小域就被稱為多項(xiàng)式 f 的分裂域，因?yàn)槲覀兛梢栽谶@個(gè)域中把多項(xiàng)式 f 因式分解。

最后一個(gè)概念是域 K 的自同構(gòu)（Automorphism）。這是一個(gè)巧妙的詞，用來(lái)表示在域中保持結(jié)構(gòu)的置換。如果 σ 是 K 的自同構(gòu)，則

σ(x+y)=σ(x)+σ(y), σ(x*y)=σ(x)*σ(y)

并且 σ 是一個(gè)雙射，即這個(gè)映射是一個(gè)單射也是滿射。

假設(shè)域 K 是域 F 的擴(kuò)張域，也就是說(shuō)，F(xiàn) 是 K 的子域；我們可以考慮固定域 F 的 K 上的自同構(gòu) σ，對(duì)任意域 F 的元素 x，σ(x)=x。

伽羅瓦理論的基本定理

對(duì)于一個(gè)給定的多項(xiàng)式，不同的代數(shù)方程可以將不同的根聯(lián)系起來(lái)。（本文中代數(shù)方程指的是有理數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式方程。）

伽羅瓦理論的主要思想就在于考慮根的置換，使得其在置換后，原本滿足的代數(shù)方程仍然是成立的。

這些置換形成的群就被稱為該多項(xiàng)式的伽羅瓦群。

比如說(shuō)，我們考慮 f (x)=x²-2x-1。這個(gè)多項(xiàng)式的兩個(gè)根，我們記為 α=1+ ，β=1-。

兩個(gè)根滿足的代數(shù)方程為，

α+β=2

α*β=-1

不難看出，在兩個(gè)方程中交換 α 和 β 后，仍然成立。事實(shí)上，對(duì)于 α 和 β 的所有代數(shù)方程在變換后都是成立的。

一種通俗的理解方式是：在一定意義下，有理數(shù)不能分辨 1+ 和 1-的差別。

“和-對(duì)于有理數(shù)來(lái)說(shuō)是同樣的異類?！?/p>

所以，f 的伽羅瓦群有兩個(gè)元素，平凡置換和交換兩個(gè)根的置換，也就是把 1+ 變?yōu)?1- ，反之亦然，并固定其他的有理數(shù)。這正是 2 階循環(huán)群，同構(gòu)于。（在高等數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)中，這表示“兩個(gè)群相同”。）

以現(xiàn)代的語(yǔ)言，我們可以考慮 f 的分裂域 K，并假設(shè)有相異的根，定義 f 的伽羅瓦群為所有可以固定有理數(shù)的 K 的自同構(gòu)群。

我們一般記這個(gè)自同構(gòu)群為 Gal (K/)，其中 K / F，這個(gè)例子中 F=，表示域擴(kuò)張 K 是基于域 F 的，并且自同構(gòu)可以固定域 F。

或者我們可以換一個(gè)說(shuō)法，這個(gè)自同構(gòu)群包含所有滿足以下條件的置換：在置換作用于多項(xiàng)式根之后，原多項(xiàng)式根滿足的代數(shù)方程仍然成立。

對(duì)于之前的例子，我們有這樣的同構(gòu)關(guān)系，Gal (( )/)。

更一般的說(shuō)，我們定義基于域 F 的域擴(kuò)張 K 的伽羅瓦群為可以固定域 F 的 K 的自同構(gòu)群。

在這個(gè)命名規(guī)則下，多項(xiàng)式 f 的伽羅瓦群指的是其分裂域的伽羅瓦群。（前文提到過(guò)，分裂域指的是在基于下，多項(xiàng)式 f 所有根的域擴(kuò)張。）

對(duì)于任意域 K 的并且可以固定域 F 的自同構(gòu) σ，（通常記為 σ∈Aut (K / F)），任意系數(shù)在中的多項(xiàng)式如果有一個(gè)根 α，則也有一個(gè)根是 σ(α)。所以，這樣的自同構(gòu)確實(shí)將基于域 F，對(duì)于 α 的最小多項(xiàng)式的根進(jìn)行了置換。

另外，用類似的思路，我們可以證明，如果一個(gè)復(fù)數(shù) a+bi 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 f 的一個(gè)根，則它的復(fù)共軛 a-bi 也是多項(xiàng)式 f 的根。

這是因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)自同構(gòu)，可以置換 i 和-i。所以，σ(a+bi)=σ(a)+σ(bi)=a+bσ(i)=a-bi。

將基域設(shè)置為，伽羅瓦理論基本定理是，伽羅瓦群 Gal (K/) 的子群和在與 K 的中間域是一一對(duì)應(yīng)的。

這個(gè)定理其實(shí)不僅于此，給定一個(gè)中間域，?L?K，對(duì)應(yīng)的子群 H＜Gal (K/) 恰好包含那些固定 L 的自同構(gòu)。

可解群

伽羅瓦本人在當(dāng)時(shí)那個(gè)著名的手稿中就理解并研究過(guò)，考慮一個(gè)多項(xiàng)式 f，如果 f 的伽羅瓦群是一個(gè)可解群（Solvable group），那么這個(gè)多項(xiàng)式就是根式可解的，反之則不是。

當(dāng)然，我還需要告訴你，可解對(duì)于一個(gè)群來(lái)說(shuō)意味著什么。

考慮一個(gè)群 G 和其子群 H, H＜G。如果以下的條件成立：對(duì)于 H 中的元素 h，和群 G 中元素 g 和其逆元 a，元素 g*h*a∈H，我們稱 H 是 G 一個(gè)的正規(guī)子群。

這意味著，H 在群 G 的作用下，或者說(shuō)是在群 G 元素的共軛作用下是不變的。

更一般地說(shuō)，通過(guò)正規(guī)子群 H 以及群 G 中的元素，我們可以構(gòu)造一個(gè)等價(jià)關(guān)系。這需要使用陪集（Cosets）的理論，但是我們不假設(shè)讀者熟悉這些，這不在我們這篇文章的范疇里。因此我們?cè)谶@里就說(shuō)，這個(gè)等價(jià)關(guān)系可以構(gòu)造一個(gè)新的群。

當(dāng)我們對(duì)整數(shù)模整數(shù) n 時(shí)，通過(guò)將所有 n 的整數(shù)倍等同于 0，可以構(gòu)造循環(huán)群；此時(shí)就是上述發(fā)生的情況。其中是的正規(guī)子群，因?yàn)?sub>是一個(gè)阿貝爾群（a+b=b+a），而一個(gè)阿貝爾群的任意子群都是正規(guī)子群。

你還可以用一種更抽象的方式理解，考慮任意正規(guī)子群 H＜G，模運(yùn)算對(duì)應(yīng)的群記作 G / H，稱作 G 模 H。

更進(jìn)一步地說(shuō)，如果群 G 包含一個(gè)嵌套的正規(guī)子群鏈，{e}=H₀＜H₁＜H₂＜…＜H_k=G，使得對(duì)于任意的指標(biāo) i∈{0, 1, 2,…, k-1}, H_i+1/H_i，是阿貝爾的，則我們稱群 G 是可解的。

這也就總結(jié)出伽羅瓦理論是如何與多項(xiàng)式的可解性聯(lián)系起來(lái)的。

我們可以找到一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式的例子，通過(guò)研究其對(duì)應(yīng)的伽羅瓦群來(lái)證明它不是根式可解的。

例如多項(xiàng)式 f (x)=x⁵-6x+3，我們可以使用平均值定理以及一些技巧來(lái)證明其對(duì)應(yīng)的伽羅瓦群是五個(gè)字母的置換群 S₅。這不是一個(gè)可解群，所以 f 不是根式可解的。

小 結(jié)

伽羅瓦理論的美在于我們可以把每一個(gè)多項(xiàng)式和保持其根的代數(shù)信息的群聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)研究這個(gè)群，我們可以把該代數(shù)信息轉(zhuǎn)換到多項(xiàng)式的世界里。

我之前提到我們可以使用這個(gè)理論來(lái)證明一些非常古老的問(wèn)題。

作為伽羅瓦理論的副產(chǎn)品，“立方倍積”（Doubling the cube）和“化圓為方”（Squaring the circle）這兩個(gè)問(wèn)題最終被證明是不可能的。它們都與之前提到的有理數(shù)域的擴(kuò)張有關(guān)。

比如，化圓為方問(wèn)題等價(jià)于表明 π 是一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式的根，但是這是不可能的。因?yàn)?π 是一個(gè)超越數(shù)，所以不在任何一個(gè)的有限代數(shù)域擴(kuò)張中。

對(duì)于立方倍積也是類似的，但我們需要考慮加入 2 的三次方根的域擴(kuò)張的次數(shù)。如果你對(duì)這個(gè)問(wèn)題感興趣的話，可以自己來(lái)試試。

埃瓦里斯特?伽羅瓦毫無(wú)疑問(wèn)是一流的天才。時(shí)代和環(huán)境帶給他了很多困難，他的隨意也在數(shù)學(xué)界被認(rèn)為是非常規(guī)的，并且在某種程度上，現(xiàn)在也不被接受，因?yàn)閿?shù)學(xué)需要非常準(zhǔn)確和小心，避免歧義。數(shù)學(xué)家常常用“嚴(yán)密性”（ rigorousness）來(lái)形容這種要求。

但是這不意味著他的理論是不正確的。伽羅瓦理論是正確并優(yōu)美的！現(xiàn)在，它被應(yīng)用在很多不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括安德魯?懷爾斯（Andrew Wiles）對(duì)于費(fèi)馬大定理的證明以及代數(shù)數(shù)論等領(lǐng)域。

使用群來(lái)表示另一個(gè)結(jié)構(gòu)的想法是絕妙的。這一思想現(xiàn)在被應(yīng)用在很多領(lǐng)域，比如在代數(shù)拓?fù)洌ˋlgebraic topology）中，我們可以研究一個(gè)群來(lái)得到拓?fù)淇臻g的信息；在代數(shù)幾何（Algebraic geometry）中，可以通過(guò)使用環(huán)論和理想理論來(lái)研究多項(xiàng)式的解集；橢圓曲線上的點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)群，等等。

親愛(ài)的讀者，如果你閱讀到這里的話，我希望你喜歡這段關(guān)于伽羅瓦的旅程。

感謝閱讀。

本文譯自 Kasper Müller, For the Love of Mathematics，原文地址：https://www.cantorsparadise.com/ for-the-love-of-mathematics-84bf86a8ae09

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