1900 年的一個(gè)夏日，兩百多位最杰出的數(shù)學(xué)家在法國(guó)巴黎召開(kāi)了一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)。會(huì)上，著名德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特作了一次題為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的重要演講。
在演講中，他列出了一系列在他看來(lái)最重要的數(shù)學(xué)難題。那些難題吸引了眾多數(shù)學(xué)家的興趣，并對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。
一百年后的 2000 年，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家們也在法國(guó)巴黎召開(kāi)了一次數(shù)學(xué)會(huì)議。會(huì)上，與會(huì)者們也列出了一些在他們看來(lái)最重要的數(shù)學(xué)難題。他們的聲望雖無(wú)法與希爾伯特相比，但他們做了一件希爾伯特做不到的事情：為每個(gè)難題設(shè)立了一百萬(wàn)美元的巨額獎(jiǎng)金。
這兩次遙相呼應(yīng)的數(shù)學(xué)會(huì)議除了都在法國(guó)巴黎召開(kāi)外，還有一個(gè)令人矚目的共同之處，那就是在所列出的難題之中，有一個(gè) —— 并且只有一個(gè) —— 是共同的。
這個(gè)難題就是黎曼猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想。
黎曼猜想是一位名叫伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）的數(shù)學(xué)家提出的。黎曼是一位英年早逝的德國(guó)數(shù)學(xué)家，出生于 1826 年，去世于 1866 年，享年還不到 40 歲。黎曼的一生雖然短暫，卻對(duì)數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都做出了巨大貢獻(xiàn)，影響之廣甚至波及了物理。比如以他名字命名的“黎曼幾何”不僅是重要的數(shù)學(xué)分支，而且成為阿爾伯特?愛(ài)因斯坦（Albert Einstein）創(chuàng)立廣義相對(duì)論不可或缺的數(shù)學(xué)工具。
1859 年，32 歲的黎曼被選為柏林科學(xué)院的通信院士。作為對(duì)這一崇高榮譽(yù)的回報(bào)，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為《論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文。那篇只有短短 8 頁(yè)的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。
為什么說(shuō)黎曼猜想是最重要的數(shù)學(xué)猜想呢？是因?yàn)樗浅ＦD深嗎？不是。
當(dāng)然，黎曼猜想確實(shí)是非常艱深的，它自問(wèn)世以來(lái)，已經(jīng)有一個(gè)半世紀(jì)以上的歷史。在這期間，許多知名數(shù)學(xué)家付出了艱辛的努力，試圖解決它。
但是，如果僅僅用艱深來(lái)衡量的話(huà)，那么其他一些著名數(shù)學(xué)猜想也并不遜色。比如費(fèi)馬猜想是經(jīng)過(guò)三個(gè)半世紀(jì)以上的努力才被證明的；哥德巴赫猜想則比黎曼猜想早了一個(gè)多世紀(jì)就問(wèn)世了，卻跟黎曼猜想一樣迄今屹立不倒。這些紀(jì)錄無(wú)疑也都代表著艱深，而且是黎曼猜想也未必打得破的。
那么，黎曼猜想被稱(chēng)為最重要的數(shù)學(xué)猜想，究竟是什么原因呢？首要的原因是它跟其他數(shù)學(xué)命題之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。
據(jù)統(tǒng)計(jì)，在今天的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已經(jīng)有一千條以上的數(shù)學(xué)命題是以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提的。這表明黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明，對(duì)數(shù)學(xué)的影響將是十分巨大的，所有那一千多條數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被推翻，則那一千多條數(shù)學(xué)命題中也不可避免地會(huì)有一部分成為陪葬。一個(gè)數(shù)學(xué)猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學(xué)命題有著密切關(guān)聯(lián)，這在數(shù)學(xué)中可以說(shuō)是絕無(wú)僅有的。
其次，黎曼猜想與數(shù)論中的素?cái)?shù)分布問(wèn)題有著密切關(guān)系。而數(shù)論是數(shù)學(xué)中一個(gè)極重要的傳統(tǒng)分支，被德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯稱(chēng)為是“數(shù)學(xué)的皇后”。素?cái)?shù)分布問(wèn)題則又是數(shù)論中極重要的傳統(tǒng)課題，一向吸引著眾多的數(shù)學(xué)家。這種深植于傳統(tǒng)的“高貴血統(tǒng)”也在一定程度上增加了黎曼猜想在數(shù)學(xué)家們心中的地位和重要性。
再者，一個(gè)數(shù)學(xué)猜想的重要性還有一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)，那就是在研究該猜想的過(guò)程中能否產(chǎn)生出一些對(duì)數(shù)學(xué)的其他方面有貢獻(xiàn)的結(jié)果。用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，黎曼猜想也是極其重要的。
事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯坷杪孪氲倪^(guò)程中所取得的早期成果之一，就直接導(dǎo)致了有關(guān)素?cái)?shù)分布的一個(gè)重要命題 —— 素?cái)?shù)定理 —— 的證明。而素?cái)?shù)定理在被證明之前，本身也是一個(gè)有著一百多年歷史的重要猜想。
最后，并且最出人意料的，是黎曼猜想的重要性甚至超出了純數(shù)學(xué)的范圍，而“侵入”到了物理學(xué)的領(lǐng)地上。20 世紀(jì) 70 年代初，人們發(fā)現(xiàn)與黎曼猜想有關(guān)的某些研究，居然跟某些非常復(fù)雜的物理現(xiàn)象有著顯著關(guān)聯(lián)。這種關(guān)聯(lián)的原因直到今天也還是一個(gè)謎。但它的存在本身，無(wú)疑就進(jìn)一步增加了黎曼猜想的重要性。
有這許多原因，黎曼猜想被稱(chēng)為最重要的數(shù)學(xué)猜想是當(dāng)之無(wú)愧的。
黎曼猜想的內(nèi)容無(wú)法用完全初等的數(shù)學(xué)來(lái)描述。粗略地說(shuō)，它是針對(duì)一個(gè)被稱(chēng)為黎曼 ζ 函數(shù)的復(fù)變量函數(shù)（變量與函數(shù)值都可以在復(fù)數(shù)域中取值的函數(shù)）的猜想。黎曼 ζ 函數(shù)跟許多其他函數(shù)一樣，在某些點(diǎn)上的取值為零，那些點(diǎn)被稱(chēng)為黎曼 ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。在那些零點(diǎn)中，有一部分特別重要的被稱(chēng)為黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。
黎曼猜想所猜測(cè)的是那些非平凡零點(diǎn)全都分布在一條被稱(chēng)為“臨界線(xiàn)”的特殊直線(xiàn)上。黎曼猜想直到今天仍然懸而未決（既沒(méi)有被證明，也沒(méi)有被推翻）。
不過(guò)，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)從分析和數(shù)值計(jì)算這兩個(gè)不同方面入手，對(duì)它進(jìn)行了深入研究。在分析方面所取得的最強(qiáng)結(jié)果是證明了至少有 41.28% 的非平凡零點(diǎn)位于臨界線(xiàn)上；而數(shù)值計(jì)算方面所取得的最強(qiáng)結(jié)果則是驗(yàn)證了前十萬(wàn)億個(gè)非平凡零點(diǎn)全都位于臨界線(xiàn)上。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：原點(diǎn)閱讀 （ID：tupydread），作者：盧昌海，編輯：張潤(rùn)昕
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