埃爾米特于 1822 年 12 月 24 日出生在法國。創(chuàng)造性的才能與掌握他人理論精華的能力，在他身上罕見地結(jié)合在了一起。而 19 世紀(jì)中葉所需要的，把高斯的算術(shù)創(chuàng)造與阿貝爾和雅可比在橢圓函數(shù)中的發(fā)現(xiàn)、以及由英國數(shù)學(xué)家布爾、凱萊和西爾維斯特發(fā)展的代數(shù)不變量理論協(xié)調(diào)在一起的，正是埃爾米特的這種能力。
當(dāng)埃爾米特還是中學(xué)生時，就在圖書館里掌握了拉格朗日關(guān)于數(shù)字方程求解的論文。他還買了高斯的《算術(shù)研究》，而且掌握了它，而在這以前或以后，只有極少數(shù)人掌握了它。在埃爾米特領(lǐng)悟了高斯做過的數(shù)學(xué)研究后，他就準(zhǔn)備開始自己的研究了。他后來說，從拉格朗日和高斯的著作中，我學(xué)會了代數(shù)。
《新數(shù)學(xué)年報》（創(chuàng)刊于 1842 年）第一卷收錄了埃爾米特還是學(xué)生時寫的兩篇文章。第一篇文章是關(guān)于圓錐曲線的解析幾何，沒有顯示出什么獨(dú)創(chuàng)性。第二篇是《對五次方程代數(shù)解的探討》。
埃爾米特說，
拉格朗日使一般五次方程的代數(shù)解依賴于確定一個特殊的六次方程的根，他稱這個六次方程為簡化方程（今天稱為預(yù)解方程）…… 因此，如果這個簡化方程可以分解成二次或三次的有理因子，我們就會得到五次方程的解。我將試著說明這樣一個分解是不可能的。
埃爾米特在他的嘗試中獲得了成功，從而躋身了代數(shù)學(xué)家行列。奇怪的是，埃爾米特竟認(rèn)為初等數(shù)學(xué)是困難的。他在學(xué)校的成績很一般。
1842 年下半年，埃爾米特 20 歲時參加了綜合工科學(xué)校的入學(xué)考試。但是成績僅僅名列第 68 名。這次考試成了這位年輕數(shù)學(xué)大師的“污點(diǎn)”，他日后的全部成功也未能消除。
埃爾米特在綜合工科學(xué)校只讀了一年，這一年，他把他的時間都用在了阿貝爾函數(shù)上。阿貝爾函數(shù)是當(dāng)時數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)和重點(diǎn)。他還結(jié)識了一位一流的數(shù)學(xué)家，劉維爾。
埃爾米特在阿貝爾函數(shù)方面的開拓性工作，在他 21 歲之前就開始了。1843 年，埃爾米特給雅克比寫了一封信，
學(xué)習(xí)您關(guān)于從阿貝爾函數(shù)理論中產(chǎn)生的四重周期函數(shù)的論文，使我得出了一個定理，是關(guān)于這些函數(shù)的變量的分離的，類似于您給出的…… 得出由阿貝爾探討的方程根的最簡表示式的定理。
我大致解釋一下所論問題的性質(zhì)。三角函數(shù)是有一個變量、一個周期的函數(shù)，
其中 x 是變量，2π 是周期；阿貝爾和雅可比通過“逆轉(zhuǎn)”橢圓積分，發(fā)現(xiàn)了有一個變量、兩個周期的函數(shù)，比如說，
其中 p 和 q 是周期；雅可比發(fā)現(xiàn)了兩個變量、四個周期的函數(shù)，比如說，
其中 a，b，c，d 是周期。在三角學(xué)中早期碰到的一個問題是用 sinx 表示
其中 n 是任意整數(shù)。埃爾米特要解決的是有兩個變量四個周期的函數(shù)的相應(yīng)問題；在埃爾米特的無與倫比的更困難的問題中，結(jié)果仍然是一個方程，關(guān)于這個方程，出人意料的是它能夠代數(shù)求解，也就是說，用根式求解。
埃爾米特不僅同雅克比分享了在阿貝爾函數(shù)方面的發(fā)現(xiàn)，而且給他寫了 4 封關(guān)于數(shù)論的長信。這些信件中的第一封是埃爾米特年僅 24 歲時寫的，開辟了新的領(lǐng)域（我們不久就將指出是在什么方面），僅僅這些信就足以確立埃爾米特為一名富有創(chuàng)造力的第一流數(shù)學(xué)家。
雅可比證明了下面的論斷∶有三個不同周期的單變量單值函數(shù)是不可能存在的。有一個周期或兩個周期的單變量單值函數(shù)可以存在。
單值函數(shù)對變量的每一個值，只取一個值。
埃爾米特宣稱，雅可比的這個定理給了他引進(jìn)高等算術(shù)的思想。這些方法過于專業(yè)，無法在這里描述，但是可以簡單地指出其中的思想。
高斯意義下的算術(shù)，討論有理整數(shù)的性質(zhì)。高斯特別研究了具有兩個或三個未知數(shù)的不定方程的整數(shù)解，例如在
中，a，b，c，m 是任意整數(shù)，要求討論方程的全部整數(shù)解 x，y。這里要注意的是，問題是確定的，并且得完全在有理整數(shù)域求解。要讓用于研究連續(xù)數(shù)的“分析”，研究這樣一個離散問題似乎是不可能的，而這正是埃爾米特所要做的。他從離散的系統(tǒng)表述開始，把分析應(yīng)用于這個問題，最后在離散的領(lǐng)域得到結(jié)果。由于分析學(xué)比任何離散方法都發(fā)展得更為充分，因此埃爾米特的工作可與為中世紀(jì)的手工業(yè)引進(jìn)現(xiàn)代機(jī)器相提并論。
在代數(shù)和分析這兩方面，供埃爾米特使用的方法，比高斯在寫《算術(shù)研究》時所能使用的方法有力得多。這些更現(xiàn)代的方法使埃爾米特能夠解決在 1800 年讓高斯困惑的問題。在一項(xiàng)進(jìn)展中，埃爾米特趕上了高斯和愛森斯坦討論過的那種類型的一般問題，他至少開始了任意多個未知數(shù)的二次型的算術(shù)研究。
算術(shù)“型理論”的一般性質(zhì)，可以從一個特殊問題的陳述中看出來。代替兩個未知量（x，y）的二次高斯方程
要求 s 個未知量 n 次的類似方程的整數(shù)解，其中 n，s 是任意整數(shù)，方程左邊的每一項(xiàng)都是 n 次的。埃爾米特敘述了他在仔細(xì)思考之后，怎樣看出了雅可比對于單值函數(shù)的周期性研究依賴于二次型理論中一些更深刻的問題，
在高斯先生給我們展現(xiàn)的這個無限廣闊的研究領(lǐng)域中，代數(shù)和數(shù)論似乎必然會融進(jìn)同一階的分析概念，我們目前的知識還不足以讓我們形成一個有關(guān)它的精確想法。
對于 x^3-1=0，理解
是既充分又必要的；對于 x^7+ax+b=0，其中 a，b 是任意已知數(shù)，為使 x 可以用 a，b 明顯地表示出來，必須發(fā)明什么樣的“數(shù)”x 呢？高斯提供了一類解答∶任意的根 x 是一個復(fù)數(shù)。但是這只是開始。阿貝爾證明了如果只允許作有限次的有理運(yùn)算和開方，那么就不存在把 x 按 a，b 表示出來的顯式。我們將在稍后再回到這個問題；埃爾米特甚至在更早的時候，就在心里的某個地方產(chǎn)生了他的一個最偉大的發(fā)現(xiàn)。
這里可以提到埃爾米特的一項(xiàng)算術(shù)研究（雖然它相當(dāng)專業(yè)），作為純數(shù)學(xué)的預(yù)言方面的一個例子。我們回想起高斯為了給雙二次互反性以最簡單的表述，把復(fù)整數(shù)引入高等算術(shù)中。然后狄利克雷討論了這樣一些二次型，其中作為變量和系數(shù)出現(xiàn)的有理整數(shù)，被高斯的復(fù)整數(shù)所代替。埃爾米特探討了這種情形的一般情況，在今天所說的埃爾米特形式中研究了整數(shù)的表示。這樣一種形式的一個例子（以兩個復(fù)變量 x_1，x_2 和它們的共軛代替 n 個變量的特殊情形）是
a_12 和 a_21 是共軛的，且 a_11，a_22 是它們各自的共軛（因此 a_11，a_22 是實(shí)數(shù)）。非常容易就能夠看出，如果把所有的積都乘出來，整個形式是實(shí)的（沒有 i）。
當(dāng)埃爾米特發(fā)明這樣的形式時，他感興趣的是發(fā)現(xiàn)什么樣的數(shù)由這些形式表示。70 多年后，人們發(fā)現(xiàn)埃爾米特形式的代數(shù)在數(shù)理物理學(xué)中，特別是在現(xiàn)代量子理論中，是不可缺少的。埃爾米特不知道，他的純數(shù)學(xué)會在他去世很久以后在科學(xué)上成為有價值的。
埃爾米特在代數(shù)不變量理論中的發(fā)明過于專業(yè)，無法在這里討論。我們介紹他在其他領(lǐng)域中的兩項(xiàng)驚人的成就。埃爾米特在兩個領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了一些他全部工作中最令人吃驚的獨(dú)創(chuàng)性成果，這兩個領(lǐng)域是一般五次方程和超越數(shù)。他在第一個領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，清楚地表現(xiàn)在他的短論《論一般五次方程的解》的引言中：
大家知道，一般五次方程能夠由系數(shù)除平方根和立方根之外不用任何無理性確定的替換化簡為下面的形式，
這就是說，如果我們能夠解這個方程，那么我們就能解一般五次方程。
這個歸功于英格蘭數(shù)學(xué)家杰拉德（Jerrard）的卓越結(jié)果，是自阿貝爾證明了根式解不可能以來，在五次方程的代數(shù)理論中邁出的最重要的一步。阿貝爾證明的不可能性，表明了在尋找解答時，有必要引進(jìn)某些新的分析元素（某種新的函數(shù)），因此，以我們剛剛提及的那個非常簡單的方程的根作為輔助量，似乎是很自然的。然而，為了證明把它嚴(yán)格地用作一般方程解中的一個基本元素是合理的，還得了解形式的這個簡單性是否能讓我們得出關(guān)于其根的性質(zhì)的一些想法，掌握這些量的存在方式上特殊的和基本的東西，我們對這些量，除了知道它們不能用根式表示這一事實(shí)之外，什么也不知道。
現(xiàn)在很值得注意的是，杰拉德的方程以其極大地簡便運(yùn)用于這項(xiàng)研究，并且在我們將要解釋的意義上，可能有一個真正的分析解。因?yàn)槲覀円苍S確實(shí)可以從與長期以來由前四次方程的解所表明的、我們特別專注地解不同的觀點(diǎn)，考慮方程的代數(shù)解的問題。
代替用一個包括多值根式的公式，表示被認(rèn)為是系數(shù)的函數(shù)的、互相密切相聯(lián)的根系，我們可以試圖得到用多個互不相同的輔助變量的單值函數(shù)來分別表示的根，這些變量的個數(shù)有三次方程所用到的那么多。在這種情形下，所討論的方程是
如我們所知道的，只要用一個角（比如說 A）的正弦表示系數(shù) a，就足以把方程的根分別表示為如下確定的函數(shù)
埃爾米特在這里回顧了三次方程的“三角解”。“輔助變量”是 A；“單值函數(shù)”在這里是正弦函數(shù)。
現(xiàn)在的有關(guān)方程是
我們必須展示的是一個完全相似的事實(shí)。只是必須采用橢圓函數(shù)，而不是正弦和余弦函數(shù)……
然后，埃爾米特立即著手解一般五次方程，為此目的用了橢圓函數(shù)。要向非數(shù)學(xué)家解釋這個問題，幾乎是不可能的。打一個很不恰當(dāng)?shù)谋确?，埃爾米特發(fā)現(xiàn)了著名的“失去的和弦”，而當(dāng)時沒有人對這樣一個無法捉摸的東西會存在于時空中的某處有過絲毫的猜疑。他的完全出人意料的成功轟動了數(shù)學(xué)界。更了不起的是，它開創(chuàng)了代數(shù)和分析學(xué)的一個新的部門，其中的主要問題是發(fā)現(xiàn)和研究那樣一些函數(shù)，按照這些函數(shù)能夠以有限形式明確地解出一般 n 次方程。目前所得到的最好結(jié)果，是埃爾米特的學(xué)生龐加萊得到的，他創(chuàng)造出了提供所需要的解的那些函數(shù)。這些函數(shù)實(shí)際上是橢圓函數(shù)的“自然”推廣。被推廣的那些函數(shù)的特征是周期性。
埃爾米特另一個轟動數(shù)學(xué)界的成果是，是證明了自然對數(shù)的底數(shù) e 的超越性，
e 大約為 2.718281828…。e 在現(xiàn)時的數(shù)學(xué)（純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)）中到處出現(xiàn)。“超越”的概念是極其簡單，也是極為重要的。一個系數(shù)是有理整數(shù)的代數(shù)方程的任何根，稱為代數(shù)數(shù)。不是代數(shù)數(shù)的“數(shù)”就稱為超越數(shù)。
現(xiàn)在，給定任何根據(jù)某種確定規(guī)律構(gòu)造的“數(shù)”，要問它是代數(shù)的還是超越的，是一個有意義的問題。例如，考慮下面簡單定義的數(shù)
其中指數(shù) 2，6，24，120，… 是相繼的“階乘”，即 2=1×2，6=1×2×3，24=1×2×3×4，120=1×2×3×4×5，…。這個數(shù)是任何有理整系數(shù)代數(shù)方程的根嗎？但其答案是否定的。另一方面，由無窮級數(shù)
確定的數(shù)是代數(shù)數(shù)；它是 99900x-1=0 的根。
第一個證明某些數(shù)是超越數(shù)的人，是劉維爾，他在 1844 年發(fā)現(xiàn)了很廣泛的一類超越數(shù)，其中所有形為
的那些數(shù)，皆屬最簡單的超越數(shù)。但是要證明一個特定的數(shù)，如 e 或 π，是超越數(shù)或不是超越數(shù)，是非常困難的。所以當(dāng)埃爾米特在 1873 年證明了 e 是超越數(shù)時，數(shù)學(xué)界不僅十分高興，而且對證明的不可思議的精巧大為吃驚。
自埃爾米特那時以來，已經(jīng)證明了許多數(shù)是超越數(shù)。1934 年，年輕的俄國數(shù)學(xué)家亞歷克西斯?蓋爾方德（Alexis Gelfond）證明了一切類型為
的數(shù)是超越數(shù)，其中 a 不是 0 和 1，b 是任意的無理代數(shù)數(shù)。這解決了希爾伯特 23 問中的第 7 問。
埃爾米特在證明 e 是超越數(shù)后，慕尼黑大學(xué)的林德曼證明了 π 是超越數(shù)，他用的方法與埃爾米特證明 e 的方法非常相似。這樣就永遠(yuǎn)解決了“化圓為方”的問題。從林德曼證明的中，推斷出不可能只用尺規(guī)畫出面積等于任何給定的圓的正方形，這個問題從歐幾里得時代開始，一直折磨著一代又一代的數(shù)學(xué)家。
附：關(guān)于 e 的超越性的證明（希爾伯特版）
首先，假設(shè) e 是 n 次的代數(shù)數(shù)：
方程 1：如果 e 是 n 次的代數(shù)數(shù)，它滿足這個方程。
我們用有理數(shù)逼近 e 的冪，定義了以下對象：
方程 2
其中，
對于方程 2 中 e 的每一次方，有：
對于非常小的 ? 函數(shù)，這個方程意味著所有 e^t 都非常接近一個有理數(shù)?，F(xiàn)在我們將方程 2 代入方程 1，并消去因子 M，得到：
方程 3
注意，方程 1 和方程 3 中的 n 是相同的量。方程 3 有兩個明顯的特征：
第一個括號內(nèi)的表達(dá)式是一個整數(shù)，M 使表達(dá)式不為零
在第二個表達(dá)式中，? 將被選得足夠小，以至于表達(dá)式的絕對值 < 1
式 1
定義 M 和 ?
埃爾米特首先定義了 M 和 ?。首先，他將 M 定義為：
其中 p 為質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù) p 可以取為我們想要的任意大（但是 M 對于 p 的任意值都是整數(shù)）。其他的 M 和 ? 的定義為：
方程 4
我們現(xiàn)在繼續(xù)選擇 p，以便滿足上面的性質(zhì) 1 和 2。
讓我們先求積分 M 的值，把分子上的二項(xiàng)式乘出來，就得到了
它有積分系數(shù)。把這個代入 M，然后用
得到：
限定在大于 n 的質(zhì)數(shù)上，我們馬上就會發(fā)現(xiàn)這個方程的第一項(xiàng)不能被 p 整除。但是，我們很快就會發(fā)現(xiàn)第二項(xiàng)可以。展開階乘：
因?yàn)?M 不能被 p 整除，所以方程 3 中的第一個括號也不能被 p 整除?，F(xiàn)在考慮方程 4 中的第一個積分。引入變量 y：
積分變成：
分子括號里的多項(xiàng)式有積分系數(shù)項(xiàng)從
經(jīng)過幾個步驟，得到：
對于整數(shù) cs。每個 M (k) 都是一個能被 p 整除的整數(shù)，因此，方程 3 中的第一個括號不能被 p 整除。因此，我們得出結(jié)論，方程 3 的第一個括號中的項(xiàng)是一個非零整數(shù)。如果它是 0，它就能被 p 整除，但我們得出的結(jié)論是不能。
剩下的最后一部分是證明，只要我們選擇一個足夠大的 p 值，證明式 1 是正確的。利用方程 4，經(jīng)過幾個步驟，我們發(fā)現(xiàn)：
如果這個二項(xiàng)式積的絕對值對 x∈[0,n] 有一個上界 B，我們得到：
由于 p → 無窮時 RHS → 0，得證。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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